Jean-Robert Argand

“ Il a été démontré qu’on pouvait trouver pour non seulement des valeurs sans cesse décroissantes, mais encore une valeur moindre que celle qu’on prétendrait être la plus petite de toutes. Si le polynôme ne peut être amené à zéro, sa plus petite valeur sera donc autre que zéro, et, dans cette supposition la démonstration conserve toute sa force. ”

“ J’observe qu’elle est nouvelle, et que les opérations mentales qu’elle exige, quoique fort simples, peuvent bien demander quelque habitude, pour être exécutées avec la célérité que donne la pratique dans les opérations ordinaires de l’algèbre. ”

“ Il est presque supperflu de s’arrêter à une objection qu’on pourrait faire à ce qui précède, en disant que, si l’on entreprenait de déterminer la valeur de en suivant la marche qui est prescrite pour diminuer progressivement il serait possible qu’on n’y parvînt jamais, parce que la valeur de pourrait, dans les substitutions successives, ne diminuer que par des degrés de plus en plus petits. ”

“ Quant au premier point, il est et sera peut-être toujours sujet à discussion, tant qu’on cherchera à établir la signification de par des conséquences d’analogie avec les notions reçues sur les quantités positives et négatives, et sur leur proportion entre elles. On a discuté et on discute encore sur les quantités négatives ; à plus forte raison pourra-t-on élever des objections contre les nouvelles notions des imaginaires. ”

“ Il semble sur-tout que, comme on ne peut en acquérir la persuasion que par une pratique assez longue dans la science, ce n’est pas le lieu de l’employer, quand il s’agit d’une proposition qui, dans l’ordre théorique, est une des premières qui se présentent à démontrer dans l’analise. ”

“ Faisons successivement il viendra
d’où résultera, en prenant la somme de ces équations,
et en développant les logarithmes, excepté celui de 2,
en sommant les séries verticales, on obtient l’équation (H) .
5. Or, les valeurs de présentent la série suivante, singulière par son irrégularité, tant dans la succession des valeurs absolues, que dans celles des signes :
Faisons ce qui revient à changer les signes des indices impairs ; nous aurons, par les formules (F) ,
Or, la série entre les accolades est toujours positive ”

“ Réduisant les fractions de (D) en séries, procédant suivant les puissances positives de et substituant la valeur que nous venons de trouver pour nous aurons
étant arbitraire, faisons-le infini ; et disparaîtront, et il restera
équation que nous écrirons ainsi :
(E) 3. Or, si l’on fait
étant employé comme indice général, on trouvera
(F) or, les séries sont sommables (Introd. d’Euler. Arith. univ. n.o 599) ; on peut donc déterminer les valeurs numériques des coefficiens
On tire des équations précédentes
formules qu’on peut employer à vérifier le calcul fait par ïea équations (F) . ”

“ La suite présente les mêmes irrégularités que celle des coefficiens , comme les valeurs suivantes le font voir
Si on change le signe des à indices impairs, on aura cette succession
Le signe ★ indique qu’il y a augmentation dans la valeur absolue de deux consécutifs. Cette circonstance a lieu, comme pour les aux deux premiers termes qui suivent chaque changement de signe.
11. En faisant dans l’équation (L) , on en tirera
et, en mettant pour
puis, développant par la formule (M) ,
expression au moyen de laquelle on pourra calculer facilement la fonction d’un très-grand nombre. ”

“ Dans ce qui suit, les accens, indifféremment placés, seront employés pour indiquer la grandeur absolue des quantités qu’ils affectent ; ainsi, si et étant réels, on devra, entendre que ou
Soit donc le polynôme proposé
est un nombre entier ; peuvent être de la forme Il s’agit de prouver qu’on peut toujours trouver une quantité de cette même forme qui, prise pour rende
Pour une valeur quelconque de le polynôme peut être construit, par les règles précédentes. ”

“ Ayant pris une direction pour celle des quantités positives, la direction opposée sera, comme à l’ordinaire, celle des quantités négatives. Tirant par la perpendiculaire une des directions la première par exemple, appartiendra aux imaginaires la seconde aux imaginaires . ”

“ Pour on a et les valeurs de dans ce cas, seront donc
sont les diviseurs de non compris, de manière que leur nombre est et que, s’ils sont disposés par ordre de grandeur, on a
2. sont des signes de fonctions dont on va successivement expliquer la nature. ”

“ Nous pouvons remarquer que l’équation (O) donne, en vertu de (n.o 6)
mais
donc
ou, en reprenant l’expression de M,
9. M. Kramp a fait voir que (Annales, tom. 3, pag. 11) . On pourra encore calculer ce même nombre en faisant dans l’équation (M) , ce qui donnera
10. ”