Moyenne arithmétique

“ Le plus souvent on est obligé de se borner à un nombre d'épreuves assez restreint.
Les valeurs que l'on obtient pour l'écart moyen et le carré moyen des écarts sont alors fort douteuses, et les valeurs fournies par les formules ne sont pas de nature à inspirer une grande confiance ; en leur accordant une certaine importance, on s'exposerait à des erreurs.
On peut chercher à apprécier la probabilité de valeurs ainsi obtenues pour l'écart moyen et le carré moyen des écarts. Le procédé qui se présente naturellement à l'esprit est identique à celui qu'on a employé pour la moyenne arithmétique. ”

“ Des courbes statistiques pareillement superposées donneraient instantanément des moyennes qu’il serait fort difficile d’obtenir par de lentes additions. Bien plus, la méthode arithmétique est assurément moins bonne, car une variation exceptionnelle suffit pour altérer la moyenne d’un certain nombre de valeurs qui concordaient parfaitement entre elles. ”

“ DÉFtNITtON. La moyenne arithmétique entre plusieurs quantités est le quotient lue l'on obtient en divisant la somme de ces quantités par leur nombre*.
Les moyennes arithmétiques sont d'un usage continuel dans la pratique. Elles se sont présentées dans les problèmes sur l'échéance commune, les mélanges et les alliages..
Le prix du blé; celui d'une journée de travail dans un atelier; celui d'une rente sur l'État basée sur les différents cours; l'intérêt de l'argent lorsqu'on emprunte à différents taux le rapport d'une propriété qui chaque année ne produit pas la même somme ”

“ Pour trouver une moyenne proportionnelle entre deux nombres, il faudra prendre la moitié de la somme des deux nombres, si c’est une moyenne proportionnelle arithmétique qu’on cherche, & la racine quarrée du produit des deux nombres, si c’est une moyenne proportionnelle géométrique. ”

“ Or, (9) est précisément la moyenne arithmétique des deux sommes précédentes, et doit, par conséquent, dans notre hypothèse, approcher davantage de l’aire Au reste, on voit ce qu’il y aurait à faire pour introduire, au lieu de l’une de ces deux sommes de rectangles dans la série (10) , puisqu’on a, en désignant la première par et la seconde par les relations
(11) On a aussi, d’après la formule (4) ”

“ Le cas le plus simple est celui par lequel on veut connaître une quantité moyenne à plusieurs autres, ou un prix moyen à plusieurs prix d'une même marchandise.
- Dans" ce cas, l'opération est aussi nommée règle des moyennes. Pour l'effectuer, additionnez les quantités entre lesquelles vous chercherez une moyenne, et divisez la somme par le nombre des quantités. ”

“ Soient 12, 4 et 15 les trois premiers termes d'une proportion; en représentant par x le quatrième terme inconnu, on doit avoir la proportion 12 : 4 : IJ ; x ;
le produit des extrêmes étant égal au produit des moyens, il en résulte 12 X x = 4 X 15,
COROLLAIRE 11. On appelle moyenne proportionnelle entre deux nombres donnés un nombre qui occupe les deux places moyennes dans une proportion dont les deux nombres donnés sont les
extrêmes. ”

“ Cours moyen. — Le cours moyen est la moyenne arithmétique entre le cours le plus élevé du jour et le cours le plus bas. Ainsi pour le 3 0/0, la cote d'un jour étant 70,50, 69,50 et 69,30 : le cours moyen est égal à 70 50 + 69 30 = 69,90. Les opérations au comptant moyen est égal à' 2 , = 69,90. Les op6ratlOlls au comptant se font généralement au cours moyen.
502. Courtage et timbre. — L'agent de change prend, pour les opérations au comptant, à l'acheteur, ainsi qu'au vendeur, une 1 commission nu courtage de - 0/0 du capital; de telle sorte que son droit 8 1 est réellement de - 0/0 ”

“ On divise 425 par le nombre 600 obtenu des litres et le quotient, 0 fr. 75 c., prix demandé. ',1 Le même procédé sert à déterminer un terme moyen entre plusieurs résultais différents. Par exemple, si on a mesuré trois fois la superficie d'un terrain, et que l'on ait trouvé la première fois 825 ares, la deuxième fois 824 ares 60 centiares, la troisième fois 826 ares 15 centiares , en faisant la
somme 2475 ares 75 centiares , des trois nombres, on aura pour mesure moyenne le tiers de cette somme , ou 8ïi5 ares 25 centiares. ”

“ En résumé, on voit que, dans l’un et dans l’autre cas, on peut distinguer deux sortes de moyennes, savoir ; une moyenne absolue, qui est la véritable, et une moyenne relative, qui est celle que, d’après les données, on doit présumer s’écarter le moins de celle-là, et qui, quelque méthode qu’on emploie pour l’obtenir, ne saurait être rigoureusement égale à l’autre que dans des cas particuliers, et par l’effet d’un concours de circonstances favorables. ”

“ La détermination de ce fait unique, qui en représente un grand nombre, qu’on peut substituer à ces faits dans les raisonnements ou dans les calculs, est une sorte d’appréciation des faits observés ou regardés comme également possibles ; et c’est ce qu’on nomme une valeur moyenne.
La théorie des valeurs moyennes doit être considérée comme un préliminaire de la mathématique sociale ; car elle n’est pas bornée à cette application particulière en calcul. ”

“ À quelque puissance qu’on élève la valeur virtuelle du plus grand facteur, on ne pourra jamais établir une équation intégrale entre la moyenne engendrée et ce facteur, sans que les mathématiques cessent d’être mathématiques. ”

“ On appelle en général quantité tout ce qui est susceptible d'augmentation ou de diminution. L'étendue, la durée, le poids, etc., sont des quantités. Tout ce qui est quantité est de l'objet des mathématiques; mais l'arithmétique, qui fait partie de ces sciences, ne considère les quantités qu'en tant qu'elles sont exprimées en nombres.
2. L'arithmétique est donc la science des nombres : elle en considère la nature et les propriétés, et son but est de donner des moyens faciles , tant pour représenter les nombres , que pour les composer et décomposer, ce qu'on appelle calculer. ”

“ Le raisonnement est le même pour le cas de la soustraction.
177. Puisque dans la proportion continue les deux termes moyens sont égaux, il suit de ce qu'on vient de démontrer, que dans cette même proportion, la somme des extrêmes est double du terme moyen, ou que le terme moyen est la moitié de la somme des extrêmes; ainsi, pour avoir un moyen arithmétique entre 7 et 15 par exemple, j'ajoute 7 à 15, et prenant la moitié
de la somme 22, j'ai 11 pour le terme moyeu, en sorte que v7.ll.15. ”

“ Quoiqu’il soit impossible d’assigner la valeur des diverses erreurs, nous pouvons cependant comparer les erreurs moyennes à craindre dans les diverses combinaisons. La combinaison la plus avantageuse sera celle qui donnera, à l’erreur moyenne, la valeur minimum. ”

“ Les nombres concrets décimaux, dont le calcul est fondé sur la théorie arithmétique des nombres abstraits de même sorte, sont généralement désignés sous le nom de mesures.
Une mesure est un objet pris par convention, comme unité ou terme de comparaison pour former des grandeurs ou des collections d'unités de même espèce.
Mesurer une chose, c'est donc la comparer avec l'unité de même nature qu'elle.
Pour les besoins les plus ordinaires de la vie, on peut avoir à mesurer: 1° la longueur ou distance : 2° la surface ou superficie; 3° le volume ou solidité ; 4° le poids ”

“ La notion de nombre incommensurable sera déduite de la mesure des grandeurs ; on pourra définir les nombres incommensurables soit par des suites, soit par des coupures opérées dans l'ensemble des nombres rationnels. Il ne sera pas nécessaire de donner une théorie complète des opérations sur ces nombres, et l'on pourra admettre qu'elles sont soumises aux mêmes règles que les opérations élémentaires de l'arithmétique. L'essentiel est que les élèves sachent dans quels cas de tels nombres se trouvent définis, et comment ils interviennent dans les calculs numériques. ”

“ Si les valeurs approchées de quantités sont fournies par des observations également précises, et qu’on les compare avec les valeurs qui résultent pour elles des hypothèses les plus plausibles qu’on puisse faire sur les éléments dont elles dépendent, on a vu qu’il fallait ajouter les carrés des différences obtenues, diviser la somme par , et que le quotient pouvait être regardé comme une valeur approchée du carré de l’erreur moyenne inhérente à ce genre d’observations. ”

“ Quoique la manière d'écrire et d'énoncer les nombres entiers soit nécessairement familière à ceux qui abordent l'étude théorique de l'arithmétique, ce système de numération a une telle importance dans l'art de faire les calculs, qu'il est essentiel d'en indiquer avec soin les principes. ”

“ Conservons les notations de l’art. 19. La méthode dont il s’agit consiste à regarder , , , etc., comme les véritables valeurs des inconnues , , , etc., et , , , etc., comme celles des fonctions , , , etc. Si toutes les observations ont une égale précision et que leur poids commun
soit pris pour unité, ces mêmes quantités, changées de signe, représentent, dans cette supposition, les erreurs des observations, et, par conséquent, d’après l’art. 15,
sera l’erreur moyenne des observations. ”

“ Après ces réflexions générales, revenons, en particulier, à la recherche de la moyenne entre les résultats de plusieurs expériences, supposés aussi différens les uns des autres qu’on le voudra ; et remarquons d’abord que, excepté certains cas, tels par exemple que ceux des erreurs d’un nombre rond de dizaines ou de centaines en comptant, on peut raisonnablement admettre qu’une erreur grave est généralement plus difficile à commettre qu’une erreur moins considérable, et qu’il est d’autant moins aisé de se garantir d’une erreur que cette erreur est plus petite. ”

“ Dans les calculs pratiques, on regarde souvent comme inutile d'obtenir pour résultat un nombre rigoureusement exact ; il suffit ordinairement d'obtenir le nombre demandé à moins d'une unité d'un ordre donné.
Plus souvent encore, un résultat parfaitement exact est non-seulement inutile, mais complétement impossible, faute d'une précision suffisante dans les données; alors on emploie des méthodes plus expéditives pour abréger le calcul des nombres décimaux, en supprimant les chiffres qui seraient ou superflus ou inexacts. ”

“ Par une singulière confusion, qui prouve combien sont encore obscures les idées qu'on se fait de la Statistique, même parmi les personnes éclairées, on suppose que toutes les catégories de faits numériques doivent avoir un pareil degré de certitude , et que cette certitude doit être semblable à celle des nombres abstraits d'une opération arithmétique. ”

“ Mais, tandis que, dans le troisième, la moyenne représente un objet réel et fixe, et s'en rapprochera indéfiniment à mesure qu'on multipliera les mesures, dans le second, elle correspond à un type moyen fictif, qui change sans cesse lorsqu'il s'agit des êtres vivants, si bien qu'à multiplier les mesures pendant un très long temps on né s'approchera pas indéfiniment d'une limite fixe. ”

“ Pour évaluer les quantités plus petites que l'unité qu'on a choisie, on partage celle-ci en d'autres unités plus petites. Le nombre en est indifférent en lui-même, pourvu qu'on puisse mesurer les quantités qu'on a dessein de mesurer ”

“ Si la raison de la 1re à la 3e est une raison de nombre à nombre , qui n'ait pas pour ses exposans des nombres quarrez,la moyenne est incommensurable en longueur & commensurable en puissance à la 1re & à la 3e. ”

“ Quelques exemples servant à faire comprendre que toutes les grandeurs peuvent toujours être évaluées en nombres. Le nombre nous fournit le moyen de nous rendre compte d'unecollection d'individualités homogènes et nous donne une idée juste de la grandeur de chaque quantité en particulier, considérée dans sa nature propre. Autres avantages que l'on retire du nombre et principalement de sa formation qui suggère l'idée de l'addition, et par suite celle de son opération inverse. Le système de numération est la conséquence de l'opération à l'aide de laquelle on forme les nombres. ”

“ Que si Ton divise le produit des extrêmes par un des moyens, on trouve l'autre moyen au quotient; et que divisant réciproquement le produit des moyens par un extrême, 011 trouve l'autre extrême au quotient, que connaissant trois termes d'une proportion, on en peut trouver le quatrième, car dans une proportion, il ne peut manquer quun extrême ou qu'un moyen. ”

“ Un rapport arithmétique ne change point quand on ajoute à chacun de ses deux termes ou qu'on en retranche une même quantité, parce que la différence (en quoi consiste le rapport) reste toujours la même.
170. Un rapport géométrique ne change point quand on multiplie ou quand on divise ses deux termes par un même nombre ; car le rapport géométrique consistant (168) dans le quotient de la division de l'antécédent par le conséquent, est une quantité fractionnaire qui (88) ne peut changer par la multiplication ou la division de ses deux termes par un même nombre. ”

“ La véritable valeur de peut être inférieure ou supérieure à sa moyenne, de même que la vraie valeur de peut, dans chaque cas, être inférieure ou supérieure à ; mais la probabilité pour que la valeur fortuite de ne diffère pas sensiblement de , s’approchera sans cesse de la certitude à mesure que deviendra plus grand. Pour le montrer plus clairement, comme il est impossible de chercher exactement cette probabilité, nous chercherons l’erreur moyenne à craindre en faisant . ”

“ Mais qu’est-ce donc qu’une moyenne, sinon une opération de l’esprit humain sur un ensemble complexe de données telle que non seulement il puisse en prendre une notion relativement simple, mais encore qu’il puisse établir une relation entre cet ensemble ainsi simplifié et tel ou tel autre facteur ? ”

“ Si le terme moyen n'exige , ce qui est vrai, qu'une division, ce qu'on nomme règle d'alliage simple, n'est qu'un terme moyen ; cette définition résulte de ce qu'une fois sorti des règles principales, addition et soustraction, et de celles auxiliaires, multiplication et division , les proportions elles - mêmes doivent se prêter à l'une de ces règles, afin d'éviter,. ”

“ En second lieu, il n’est point indispensablement nécessaire de prendre, pour première approximation, la moyenne qui résulte de la méthode vulgaire ; et on peut fort bien lui substituer tout autre nombre que l’inspection des données aura pu faire soupçonner devoir peu différer de la moyenne véritable.
Il faudra bien se garder toutefois de choisir pour cette moyenne l’une des données elle-même ; il est évident ”