Louis Bachelier

“ PRÉFACE Au point de vue mathématique, la théorie de la spéculation est une science exacte, très supérieure au calcul des probabilités classique dont les problèmes fondamentaux, entachés d’approximations et d’asymptotismes, ont été, pendant si longtemps, rebelles à tout progrès. ”

“ Cas où le hasard n'agit pas seul. — Dans la question que nous allons étudier le hasard n'agit pas seul ; le point géométrique est animé d'un mouvement qui dépend de sa position actuelle.
Le problème s'énonce ainsi :
Un point M qui est mobile dans l'espace est attiré par un centre
fixe O proportionnellement à la distance. Indépendamment du mouvement dû à cette attraction, le point M se meut au hasard, son déplacement étant caractérisé par une fonction d'instabilité donnée. Quelle est la probabilité pour que, au bout du temps t, le point M occupe une position donnée dans l'espace ? ”

“ L’acheteur ferme ne limite ni son gain ni sa perte ; il gagne la différence entre le cours d’achat et le cours auquel il termine son opération par une vente. En d’autres termes, il gagne la valeur de l’écart quand cet écart est positif, il perd la valeur de l’écart quand cet écart est négatif. ”

“ La probabilité peut se représenter par une courbe qui, géométriquement, a la forme connue mais dont la loi de déformation suffit pour montrer toute la différence qui existe entre le problème actuel et celui des probabilités indépendantes. Les écarts allant d'abord en croissant peuvent diminuer par la suite et la courbe figurative, après s'être dilatée, peut se contracter et repasser par ses états antérieurs. ”

“ On traite aussi des facultés à la baisse, nécessairement au même écart que les facultés à la hausse du même ordre de multiplicité.
49. Pour obtenir la valeur de l’écart d’une faculté, on a recours au principe de l’espérance mathématique, expression scientifique de la loi de l’offre et de la demande.
Chacun étant libre d’acheter ou de vendre des facultés, l’achat ou la vente de celles-ci ne peut être a priori ni avantageux ni désavantageux ; l’espérance mathématique de l’acheteur de faculté est nulle. ”

“ Si, par ces assimilations, le Calcul des probabilités prend une forme en quelque sorte animée, il n'en conserve pas moins un caractère purement mathématique.
La notion de temps rend les problèmes plus intuitifs, mais son emploi sous forme explicite ne s'impose pas, si elle aide à la compréhension d'un sujet abstrait elle n'est pas indispensable et la théorie peut être exposée sans que l'on y ait recours. ”

“ Par cette idée, la simple définition de la probabilité change complètement d'aspect et conduit à de curieuses comparaisons : la somme des probabilités a toujours pour valeur un, elle conserve constamment cette valeur ; cette remarque fait apparaître la définition de la probabilité comme un principe de conservation : la probabilité, peut-on imaginer, est une sorte de matière, d'énergie.. de chose qui se transforme, mais qui possède la propriété de la conservation dans le temps. ”

“ Pour ces questions je renvoie aussi à mon Ouvrage sur le Jeu, la chance et le hasard, où les idées générales sont exposées sans formules.
Depuis quelque temps on emploie parfois le terme de probabilités formant chaîne pour désigner certaines classes de probabilités connexes, ce terme n’est pas heureux, une chaîne donne l’idée d’une liaison absolue et non d’une liaison aléatoire. L’emploi d’une telle expression, même restreint à une classe limitée de questions, est donc illogique, il implique en lui-même une sorte de contradiction. ”

“ Avant de débuter par l'étude des probabilités du premier genre à une variable, remarquons une fois pour toutes que, dans ce qui suivra, ce sera toujours la perte d'un joueur que nous considérerons comme positive; un gain sera pour nous une perte négative et s'exprimera par un nombre négatif. ”

“ Les cours et ont même probabilité, c’est une conséquence de ce fait que le principe de l’espérance mathématique ne doit pas seulement être vérifié pour l’époque , mais d’une façon générale pour toutes les époques et tous les intervalles de temps. ”

“ Considérons le premier cas, si a est nul, le jeu admet l'indépendance, et les écarts sont proportionnels à la racine carrée du nombre des parties.
Si a est positif, à une perte x correspondra une espérance ax positive qui tendra à diminuer cette perte; par suite, les écarts croîtront moins vite que dans le cas où il y a indépendance. Les conditions du jeu ont donc une influence régulatrice.
Si, au contraire, a est négatif, une perte x rendra plus probable une perte plus grande. Les conditions du jeu rendront plus rapide la production des écarts, elles sont accélératrices. ”

“ Un spéculateur A, croyant prévoir un grand mouvement dans un sens ou dans l’autre, et voulant limiter son risque, se rend preneur d’un stellage ou double prime, composé d’une prime à la hausse et d’une prime à la baisse. ”

“ Le problème consiste toujours à calculer la probabilité pour que la perte soit x au temps t ou en t parties.
Ce problème peut être résolu d'une façon effective en termes finis, sans l'emploi de développements en série, dans les cas suivants :
I° L'espérance mathématique pour un élément ou partie est proportionnelle à la perte actuelle, elle est de la forme ax ; la fonction d'instabilité, pour un élément, est constante. ”

“ À l’époque de l’échéance , il gagne, comme l’acheteur ferme, s’il y a hausse au-dessus du cours actuel, mais il ne perd rien s’il y a baisse.
Le preneur de prime simple perd au maximum la valeur de la prime, son risque est limité à cette somme ; son gain, par contre, peut être illimité. ”

“ La théorie des probabilités essentiellement continues ou des formules hyperasymptotiques a été exposée dans mes mémoires du Journal de Mathématiques et des Annales scientifiques de l'École Normale supérieure et aussi dans mon Traité ; je l'ai professée pendant des années à la Faculté des Sciences de Paris, j'ai écrit, pour sa vulgarisation, quelques pages dans mon ouvrage de la bibliothèque de philosophie scientifique intitulé : Le Jeu, la Chance et le Hasard. ”

“ Les résultats de la théorie ne pourraient être mis en défaut que si une cause agissait constamment dans le même sens ; en général, la diversité des causes permet leur élimination, l’incohérence même du marché est sa méthode, et c’est parce qu’il n’obéit à aucune loi qu’il suit fatalement la loi du hasard. ”

“ Cette théorie n’a pas seulement le mérite d’avoir été le point de départ d’une suite d’études donnant une nouvelle activité à une science qui sommeillait depuis les admirables travaux de Laplace, depuis près d’un siècle, elle a aussi le mérite d’être, dans l’ensemble, l’expression d’une réalité. ”

“ Calculer la probabilité pour que le point matériel ait une vitesse donnée quand il se meut dans un milieu résistant proportionnellement à la vitesse.
119. Il importe de définir exactement le problème dont il s'agit :
On considère un intervalle de temps At très petit, pendant ce temps la force produit, dans la direction où elle agit, un déplacement a proportionnel à cette force et inversement proportionnel à la masse du point matériel. Toutes les directions de la force ont égale vraisemblance.
On peut assimiler cet intervalle At à une partie d'un jeu. ”

“ On conçoit l'intérêt d'une image qui, par l'introduction de cette notion du temps, assimile les transformations des probabilités à des phénomènes physiques et qui donne une forme animée à une science très abstraite. ”

“ Plus grand écart. — Quelle est la probabilité pour que le cours soit le plus haut cours coté dans l’intervalle de temps ?
La probabilité cherchée est la différence entre les probabilités pour que les cours et soient atteints ou dépassés, c’est-à-dire
. La probabilité pour qu’un cours soit le plus haut cours coté dans l’intervalle de temps est le double de la probabilité pour que ce même cours soit coté à l’époque . ”

“ Nous supposerons que pour les trois joueurs A, B, C la fonction d'instabilité a une valeur constante et que, ces joueurs ayant perdu les sommes x, y, — (x+y) , leurs espérances pour la partie suivante soient respectivement (2ax + ay) , (ay—ax) et — (ax + 2ay) , a étant une constante.
Dans ces conditions, la probabilité pour que, au bout du
temps t, les écarts soient x et y est exprimée par la formule
106. On peut appliquer les résultats qui précèdent à des problèmes relatifs aux tirages dans des urnes. ”

“ Ce résultat était du reste à prévoir, un tel marché, soumis constamment à une infinité d’influences variables et qui agissent dans divers sens, doit finalement se comporter comme si aucune cause n’était en jeu et comme si le hasard agissait seul. ”

“ Reprenant le cas où il y a symétrie, c'est-à-dire le cas où le jeu est équitable (non uniforme) , et supposant de plus que la fortune du joueur est infinie, on peut se demander quelle est la probabilité pour que le plus grand écart positif qui s'est produit dans le cours des t épreuves ait pour valeurs x. ”

“ Ce genre de formule est bien connu depuis Laplace qui, le premier, en a fait usage pour des problèmes analogues.
C’est à Laplace qu’est due l’idée qu’une foule de petites causes agissant indifféremment dans divers sens doit conduire à une loi unique. ”

“ Pour ne pas heurter la tradition je débuterai par l'élude des formules classiques, elle formera une sorte d'introduction à la théorie générale.
Les problèmes qui suivent supposent toujours un grand nombre d'épreuves, les formules correspondantes sont asymptotiques c'est-à-dire qu'elles sont d'autant plus approchées que ce nombre d'épreuves est plus grand.
2. Formule de Moivre. — La probabilité d'un événement est p à chaque épreuve, la probabilité de l'événement contraire est
q = I — p.
On doit faire un très grand nombre u d'épreuves. ”

“ En vendant ferme et en achetant simultanément une option du double on obtient une prime dont l’importance 0,68 et dont l’écart est le double de .
La probabilité de réussite de l’opération est 0,30.
Par analogie avec les opérations à prime, on pourrait appeler option-stellage d’ordre l’opération résultant de deux options d’ordre à la hausse et à la baisse.
L’option-stellage du second ordre est une opération curieuse ; entre les cours la perte est constante et égale à . La perte diminue ensuite progressivement jusqu’aux cours où elle s’annule. Il y a bénéfice en dehors de l’intervalle . ”

“ Les formules de Moivre et de Poisson ne sont que des cas particuliers de celle de La place, les problèmes classiques sur les erreurs ne sont en réalité que des problèmes sur les jeux présentés, sous une forme particulière qu'il ne serait pas possible de généraliser.
Une autre image particulière non généralisable est donnée par les tirages dans les urnes. Les tirages dans les urnes sont nécessairement discontinus dans le temps et dans l'espace, discontinus par définition et à tous les points de vue.
16. On peut concevoir un jeu continu dans le temps comme dans l'espace ”

“ La probabilité pour que l'écart soit x en t épreuves est donnée par la formule
Si t augmente indéfiniment, la distribution des probabilités tend vers une loi finale indépendante de l'écart initial, ce résultat était à prévoir.
49. Probabilités non uniformes. — D'après nos définitions, un jeu est uniforme quand il est constamment identique à lui-même. ”