Calcul des probabilités

“ Le calcul des probabilités, et par conséquent la science, n’aurait plus qu’une valeur pratique.
Malheureusement la difficulté ne disparaît pas ainsi : un joueur veut tenter un coup ; il me demande conseil. Si je le lui donne, je m’inspirerai du calcul des probabilités, mais je ne lui garantirai pas le succès. C’est là ce que j’appellerai la probabilité subjective. ”

“ Le procédé le plus avantageux est évidemment celui dans lequel une même erreur dans les résultats, est moins probable que suivant tout autre procédé. L’application du Calcul des probabilités à la Philosophie naturelle, consiste donc à déterminer analytiquement la probabilité des valeurs de ces fonctions, et à choisir leurs coefficiens indéterminés, de manière que la loi de cette probabilité soit le plus rapidement décroissante. ”

“ Le calcul des probabilités, qui est la plus haute expression du rationalisme moderne, nous dit qu’il est pratiquement certain, à l’échelle cosmique, que la phrase ainsi établie sera un phénomène sans précédent, et qu’elle n’aura aucune signification utile. ”

“ L’esprit a ses illusions, comme le sens de la vue ; et de même que le toucher corrige celles-ci, la réflexion et le calcul corrigent les premières. La probabilité fondée sur une expérience journalière, ou exagérée par la crainte et par l’espérance, nous frappe plus qu’une probabilité supérieure, mais qui n’est qu’un simple résultat du calcul. ”

“ Celle du théorème même, que l’on trouvera dans le chapitre suivant, est fondée sur l’emploi du calcul intégral. En attendant, on ne doit pas perdre de vue que ce théorème suppose essentiellement l’invariabilité des chances des événements simples E et F, pendant toute la durée des épreuves. Or, dans les applications du calcul des probabilités, soit à divers phénomènes physiques, soit à des choses morales, ces chances varient le plus souvent d’une épreuve à une autre, et le plus souvent aussi, d’une manière tout-à-fait irrégulière. ”

“ La science peut et doit se former ainsi, uniquement par l’enregistrement, le classement méthodique, le rapprochement impartial et l’énumération des faits observés. Les résultats ne sont point donnés par le calcul ; ils sont immédiatement déduits de l’observation. Mais l’emploi du calcul des probabilités vient donner à cette méthode la rigueur et l’exactitude nécessaires, et lui apporter le seul complément qu’elle comporte, en faisant connaître avec quel degré de confiance ces résultats peuvent être admis dans les applications. ”

“ Les causes régulières des phénomènes sont le plus souvent, ou inconnues, ou trop compliquées pour être soumises au calcul : souvent encore leur action est troublée par des causes accidentelles et irrégulières ; mais elle reste toujours empreinte dans les évènemens produits par toutes ces causes, et elle y apporte des modifications qu’une longue suite d’observations peut déterminer. L’analyse des probabilités développe ces modifications : elle assigne la probabilité de leurs causes, et elle indique les moyens d’accroître de plus en plus cette probabilité. ”

“ Des idées justes sur le calcul des probabilités sont encore si peu répandues ; le public se méprend quelquefois d’une si étrange manière sur la signification des résultats numériques auxquels ce calcul conduit, qu’il m’a été permis de penser un moment à supprimer ce court chapitre ”

“ Soutenus par cette opinion, les joueurs exposent souvent des sommes considérables à des jeux dont ils savent que les chances leur sont contraires. Dans la conduite de la vie, une semblable opinion peut quelquefois avoir des avantages ; mais le plus souvent elle conduit à des entreprises funestes. Ici, comme en tout, les illusions sont dangereuses, et la vérité seule est généralement utile.
Un des grands avantages du calcul des probabilités est d’apprendre à se défier des premiers aperçus. ”

“ Il est facile de voir que si l’on dispose les valeurs données par les observations, suivant l’ordre de grandeur, la valeur qui occupera le milieu remplira la condition précédente, et le calcul fait voir que dans le cas d’un nombre infini d’observations, elle coïnciderait avec la vérité ; mais le résultat donné par la méthode la plus avantageuse est encore préférable.
On voit par ce qui précède, que la théorie des probabilités ne laisse rien d’arbitraire dans la manière de répartir les erreurs des observations ”

“ Avant de débuter par l'étude des probabilités du premier genre à une variable, remarquons une fois pour toutes que, dans ce qui suivra, ce sera toujours la perte d'un joueur que nous considérerons comme positive; un gain sera pour nous une perte négative et s'exprimera par un nombre négatif. ”

“ Par cette idée, la simple définition de la probabilité change complètement d'aspect et conduit à de curieuses comparaisons : la somme des probabilités a toujours pour valeur un, elle conserve constamment cette valeur ; cette remarque fait apparaître la définition de la probabilité comme un principe de conservation : la probabilité, peut-on imaginer, est une sorte de matière, d'énergie.. de chose qui se transforme, mais qui possède la propriété de la conservation dans le temps. ”

“ Plus grand écart. — Quelle est la probabilité pour que le cours soit le plus haut cours coté dans l’intervalle de temps ?
La probabilité cherchée est la différence entre les probabilités pour que les cours et soient atteints ou dépassés, c’est-à-dire
. La probabilité pour qu’un cours soit le plus haut cours coté dans l’intervalle de temps est le double de la probabilité pour que ce même cours soit coté à l’époque . ”

“ La probabilité peut se représenter par une courbe qui, géométriquement, a la forme connue mais dont la loi de déformation suffit pour montrer toute la différence qui existe entre le problème actuel et celui des probabilités indépendantes. Les écarts allant d'abord en croissant peuvent diminuer par la suite et la courbe figurative, après s'être dilatée, peut se contracter et repasser par ses états antérieurs. ”

“ La probabilité pour que l'écart soit x en t épreuves est donnée par la formule
Si t augmente indéfiniment, la distribution des probabilités tend vers une loi finale indépendante de l'écart initial, ce résultat était à prévoir.
49. Probabilités non uniformes. — D'après nos définitions, un jeu est uniforme quand il est constamment identique à lui-même. ”

“ Le problème consiste toujours à calculer la probabilité pour que la perte soit x au temps t ou en t parties.
Ce problème peut être résolu d'une façon effective en termes finis, sans l'emploi de développements en série, dans les cas suivants :
I° L'espérance mathématique pour un élément ou partie est proportionnelle à la perte actuelle, elle est de la forme ax ; la fonction d'instabilité, pour un élément, est constante. ”

“ Nous supposerons que pour les trois joueurs A, B, C la fonction d'instabilité a une valeur constante et que, ces joueurs ayant perdu les sommes x, y, — (x+y) , leurs espérances pour la partie suivante soient respectivement (2ax + ay) , (ay—ax) et — (ax + 2ay) , a étant une constante.
Dans ces conditions, la probabilité pour que, au bout du
temps t, les écarts soient x et y est exprimée par la formule
106. On peut appliquer les résultats qui précèdent à des problèmes relatifs aux tirages dans des urnes. ”

“ Cas de l'uniformité. — Un cas simple et intéressant est celui du jeu uniforme et équitable.
Les fonctions ? et x sont alors proportionnelles au temps et l'expression générale de la probabilité devient
où M, ak, 3 ; sont des constantes, par exemple ak est la fonction d'instabilité du joueur Ak pour une partie ou un élément de temps.
96. Ellipsoïdes de probabilité. — Dans le cas général, les systèmes de valeurs de x1, x2,..., xn-1, qui, à l'époque t, ont même probabilité vérifient la relation
où c est un paramètre. ”

“ Pour ne pas heurter la tradition je débuterai par l'élude des formules classiques, elle formera une sorte d'introduction à la théorie générale.
Les problèmes qui suivent supposent toujours un grand nombre d'épreuves, les formules correspondantes sont asymptotiques c'est-à-dire qu'elles sont d'autant plus approchées que ce nombre d'épreuves est plus grand.
2. Formule de Moivre. — La probabilité d'un événement est p à chaque épreuve, la probabilité de l'événement contraire est
q = I — p.
On doit faire un très grand nombre u d'épreuves. ”

“ Si t parties doivent être jouées au maximum, trois cas peuvent se présenter : le joueur A peut être ruiné, le joueur B peut être ruiné, ou enfin les deux joueurs peuvent n'être ruinés ni l'un ni l'autre.
Les principaux problèmes que nous aurons à résoudre sont les suivants :
I° Quelle est la probabilité IIt, m, n dt pour que le joueur A soit ruiné exactement à la tièmepartie? ”

“ Et il cherchait.
Non pas encore activement, car les générosités dont le vieillard l’accablait lui faisaient scrupule, mais théoriquement, platoniquement, si l’on peut dire, et en remuant sans cesse l’arithmétique fantasque du calcul des probabilités.
Dans notre monde, il est plus de gens qu’on ne pense rompus à cette escrime de la pensée, et qui, semblant marcher au hasard, vont droit leur chemin, guidés par la résultante d’une opération algébrique en tout comparable au travail que font les marins pour relever leur route à travers les mystères de l’océan.
Le champ de la vie humaine est plus vaste que la mer et plus inconnu. ”

“ Dans le premier cas, la probabilité de la perte x quand t augmente indéfiniment ne tend pas vers zéro, mais vers la valeur finale
Au contraire, quand les conditions sont accélératrices, les écarts croissent avec une excessive rapidité. ”

“ Il faut donc bien que le hasard soit autre chose que le nom que nous donnons à notre ignorance, que, parmi les phénomènes dont nous ignorons les causes, nous devions distinguer les phénomènes fortuits, sur lesquels Je calcul des probabilités nous renseignera provisoire- ment, et ceux qui ne sont pas fortuits, et sur lesquels nous ne pourrons rien dire tant que nous n'aurons pas déterminé les lois qui les régissent. ”

“ Généralement, la probabilité qu’un événement simple dans les mêmes circonstances, arrivera de suite un nombre donné de fois, est égale à la probabilité de cet événement simple, élevée à une puissance indiquée par ce nombre. Ainsi les puissances successives d’une fraction moindre que l’unité, diminuant sans cesse, un événement qui dépend d’une suite de probabilités fort grande, peut devenir extrêmement peu vraisemblable. ”

“ La petite incertitude que les observations, quand elles ne sont pas très multipliées, laissent sur les valeurs des constantes dont je viens de parler, rend un peu incertaines les probabilités déterminées par l’analyse. Mais il suffit presque toujours de connaître si la probabilité que les erreurs des résultats obtenus sont renfermées dans d’étroites limites, approche extrêmement de l’unité ; et quand cela n’est pas, il suffit de savoir jusqu’à quel point on doit multiplier les observations, pour acquérir une probabilité telle, qu’il ne reste sur la bonté des résultats aucun doute raisonnable. ”

“ Je présente ici, sans le secours de l’Analyse, les principes et les résultats généraux de cette théorie, en les appliquant aux questions les plus importantes de la vie, qui ne sont en effet, pour la plupart, que des problèmes de probabilité. On peut même dire, à parler en rigueur, que presque toutes nos connaissances ne sont que probables ; et dans le petit nombre des choses que nous pouvons savoir avec certitude, dans les sciences mathématiques elles-mêmes, les principaux moyens de parvenir à la vérité, l’induction et l’analogie se fondent sur les probabilités ”

“ En soumettant au calcul leur probabilité, on trouve qu’il y a plus de deux cent mille milliards à parier contre un, qu’ils ne sont point l’effet du hasard, ce qui forme une probabilité bien supérieure à celle de la plupart des événements historiques dont nous ne doutons point. ”