Louis Bachelier

“ La probabilité peut se représenter par une courbe qui, géométriquement, a la forme connue mais dont la loi de déformation suffit pour montrer toute la différence qui existe entre le problème actuel et celui des probabilités indépendantes. Les écarts allant d'abord en croissant peuvent diminuer par la suite et la courbe figurative, après s'être dilatée, peut se contracter et repasser par ses états antérieurs. ”

“ Le problème consiste toujours à calculer la probabilité pour que la perte soit x au temps t ou en t parties.
Ce problème peut être résolu d'une façon effective en termes finis, sans l'emploi de développements en série, dans les cas suivants :
I° L'espérance mathématique pour un élément ou partie est proportionnelle à la perte actuelle, elle est de la forme ax ; la fonction d'instabilité, pour un élément, est constante. ”

“ Par cette idée, la simple définition de la probabilité change complètement d'aspect et conduit à de curieuses comparaisons : la somme des probabilités a toujours pour valeur un, elle conserve constamment cette valeur ; cette remarque fait apparaître la définition de la probabilité comme un principe de conservation : la probabilité, peut-on imaginer, est une sorte de matière, d'énergie.. de chose qui se transforme, mais qui possède la propriété de la conservation dans le temps. ”

“ La théorie des probabilités essentiellement continues ou des formules hyperasymptotiques a été exposée dans mes mémoires du Journal de Mathématiques et des Annales scientifiques de l'École Normale supérieure et aussi dans mon Traité ; je l'ai professée pendant des années à la Faculté des Sciences de Paris, j'ai écrit, pour sa vulgarisation, quelques pages dans mon ouvrage de la bibliothèque de philosophie scientifique intitulé : Le Jeu, la Chance et le Hasard. ”

“ Avant de débuter par l'étude des probabilités du premier genre à une variable, remarquons une fois pour toutes que, dans ce qui suivra, ce sera toujours la perte d'un joueur que nous considérerons comme positive; un gain sera pour nous une perte négative et s'exprimera par un nombre négatif. ”

“ Considérons le premier cas, si a est nul, le jeu admet l'indépendance, et les écarts sont proportionnels à la racine carrée du nombre des parties.
Si a est positif, à une perte x correspondra une espérance ax positive qui tendra à diminuer cette perte; par suite, les écarts croîtront moins vite que dans le cas où il y a indépendance. Les conditions du jeu ont donc une influence régulatrice.
Si, au contraire, a est négatif, une perte x rendra plus probable une perte plus grande. Les conditions du jeu rendront plus rapide la production des écarts, elles sont accélératrices. ”

“ La probabilité du troisième genre pour que le joueur A soit ruiné avant t parties s'exprime de même par une série. La probabilité du second genre étant
on a la formule
75. Si aucune limite n'est fixée pour la durée du jeu, on a
76. Écart maximum. — Reprenons le cas où x est illimité dans les deux sens, en supposant toujours la symétrie.
Dans l'intervalle de temps t se produisent des écarts dans un sens et dans l'autre, positifs et négatifs; l'écart maximum est le plus grand écart pris en valeur absolue ”

“ Calculer la probabilité pour que le point matériel ait une vitesse donnée quand il se meut dans un milieu résistant proportionnellement à la vitesse.
119. Il importe de définir exactement le problème dont il s'agit :
On considère un intervalle de temps At très petit, pendant ce temps la force produit, dans la direction où elle agit, un déplacement a proportionnel à cette force et inversement proportionnel à la masse du point matériel. Toutes les directions de la force ont égale vraisemblance.
On peut assimiler cet intervalle At à une partie d'un jeu. ”

“ Le solide finira par s'arrêter, car si l'on intègre l'expression de la probabilité entre t = o et t = oo, on trouve l'unité pour valeur de l'intégrale, l'arrêt se produira donc nécessairement.
L'époque la plus probable de l'arrêt est t =
L'époque probable de l'arrêt correspond à la durée qui a autant de chances d'être ou de ne pas être dépassée ; cette époque probable est donnée par la formule t = ' "c°°-
?i
L'époque moyenne de l'arrêt est, par définition, l'espérance mathématique d'un joueur qui devrait toucher une somme proportionnelle au temps que met le solide pour s'immobiliser. ”

“ Nous supposerons que pour les trois joueurs A, B, C la fonction d'instabilité a une valeur constante et que, ces joueurs ayant perdu les sommes x, y, — (x+y) , leurs espérances pour la partie suivante soient respectivement (2ax + ay) , (ay—ax) et — (ax + 2ay) , a étant une constante.
Dans ces conditions, la probabilité pour que, au bout du
temps t, les écarts soient x et y est exprimée par la formule
106. On peut appliquer les résultats qui précèdent à des problèmes relatifs aux tirages dans des urnes. ”

“ Reprenant le cas où il y a symétrie, c'est-à-dire le cas où le jeu est équitable (non uniforme) , et supposant de plus que la fortune du joueur est infinie, on peut se demander quelle est la probabilité pour que le plus grand écart positif qui s'est produit dans le cours des t épreuves ait pour valeurs x. ”

“ On conçoit l'intérêt d'une image qui, par l'introduction de cette notion du temps, assimile les transformations des probabilités à des phénomènes physiques et qui donne une forme animée à une science très abstraite. ”

“ Si t parties doivent être jouées au maximum, trois cas peuvent se présenter : le joueur A peut être ruiné, le joueur B peut être ruiné, ou enfin les deux joueurs peuvent n'être ruinés ni l'un ni l'autre.
Les principaux problèmes que nous aurons à résoudre sont les suivants :
I° Quelle est la probabilité IIt, m, n dt pour que le joueur A soit ruiné exactement à la tièmepartie? ”

“ La probabilité pour que l'écart soit x en t épreuves est donnée par la formule
Si t augmente indéfiniment, la distribution des probabilités tend vers une loi finale indépendante de l'écart initial, ce résultat était à prévoir.
49. Probabilités non uniformes. — D'après nos définitions, un jeu est uniforme quand il est constamment identique à lui-même. ”

“ Cas de l'uniformité. — Un cas simple et intéressant est celui du jeu uniforme et équitable.
Les fonctions ? et x sont alors proportionnelles au temps et l'expression générale de la probabilité devient
où M, ak, 3 ; sont des constantes, par exemple ak est la fonction d'instabilité du joueur Ak pour une partie ou un élément de temps.
96. Ellipsoïdes de probabilité. — Dans le cas général, les systèmes de valeurs de x1, x2,..., xn-1, qui, à l'époque t, ont même probabilité vérifient la relation
où c est un paramètre. ”

“ Les formules de Moivre et de Poisson ne sont que des cas particuliers de celle de La place, les problèmes classiques sur les erreurs ne sont en réalité que des problèmes sur les jeux présentés, sous une forme particulière qu'il ne serait pas possible de généraliser.
Une autre image particulière non généralisable est donnée par les tirages dans les urnes. Les tirages dans les urnes sont nécessairement discontinus dans le temps et dans l'espace, discontinus par définition et à tous les points de vue.
16. On peut concevoir un jeu continu dans le temps comme dans l'espace ”

“ En partant du principe des erreurs infinitésimales et en se basant sur la formule de La place on peut démontrer la loi de Gauss, d'après laquelle les erreurs observées doivent suivre une loi exponentielle analogue à celle qui vient d'être étudiée. L'hypothèse des erreurs infinitésimales consiste à supposer que l'erreur observée est la résultante d'une foule de petites erreurs indépendantes les unes des autres dues à une foule de petites causes; alors l'erreur observée est la résultante des erreurs infinitésimales comme la perte totale dans un jeu est la résultante des pertes de ”

“ On peut aussi supposer que le joueur A qui possède la fortune m joue contre plusieurs adversaires de fortunes infinies et qu'il convient d'avance de cesser de jouer quand il aura gagné la somme n. Son sort est le même que s'il jouait contre un seul adversaire B possédant la fortune n. ”

“ Dans le premier cas, la probabilité de la perte x quand t augmente indéfiniment ne tend pas vers zéro, mais vers la valeur finale
Au contraire, quand les conditions sont accélératrices, les écarts croissent avec une excessive rapidité. ”