Louis Bachelier

“ On traite aussi des facultés à la baisse, nécessairement au même écart que les facultés à la hausse du même ordre de multiplicité.
49. Pour obtenir la valeur de l’écart d’une faculté, on a recours au principe de l’espérance mathématique, expression scientifique de la loi de l’offre et de la demande.
Chacun étant libre d’acheter ou de vendre des facultés, l’achat ou la vente de celles-ci ne peut être a priori ni avantageux ni désavantageux ; l’espérance mathématique de l’acheteur de faculté est nulle. ”

“ PRÉFACE Au point de vue mathématique, la théorie de la spéculation est une science exacte, très supérieure au calcul des probabilités classique dont les problèmes fondamentaux, entachés d’approximations et d’asymptotismes, ont été, pendant si longtemps, rebelles à tout progrès. ”

“ Les cours et ont même probabilité, c’est une conséquence de ce fait que le principe de l’espérance mathématique ne doit pas seulement être vérifié pour l’époque , mais d’une façon générale pour toutes les époques et tous les intervalles de temps. ”

“ À l’époque de l’échéance , il gagne, comme l’acheteur ferme, s’il y a hausse au-dessus du cours actuel, mais il ne perd rien s’il y a baisse.
Le preneur de prime simple perd au maximum la valeur de la prime, son risque est limité à cette somme ; son gain, par contre, peut être illimité. ”

“ Pour ces questions je renvoie aussi à mon Ouvrage sur le Jeu, la chance et le hasard, où les idées générales sont exposées sans formules.
Depuis quelque temps on emploie parfois le terme de probabilités formant chaîne pour désigner certaines classes de probabilités connexes, ce terme n’est pas heureux, une chaîne donne l’idée d’une liaison absolue et non d’une liaison aléatoire. L’emploi d’une telle expression, même restreint à une classe limitée de questions, est donc illogique, il implique en lui-même une sorte de contradiction. ”

“ Un spéculateur A, croyant prévoir un grand mouvement dans un sens ou dans l’autre, et voulant limiter son risque, se rend preneur d’un stellage ou double prime, composé d’une prime à la hausse et d’une prime à la baisse. ”

“ Les résultats de la théorie ne pourraient être mis en défaut que si une cause agissait constamment dans le même sens ; en général, la diversité des causes permet leur élimination, l’incohérence même du marché est sa méthode, et c’est parce qu’il n’obéit à aucune loi qu’il suit fatalement la loi du hasard. ”

“ Ce résultat était du reste à prévoir, un tel marché, soumis constamment à une infinité d’influences variables et qui agissent dans divers sens, doit finalement se comporter comme si aucune cause n’était en jeu et comme si le hasard agissait seul. ”

“ Cette théorie n’a pas seulement le mérite d’avoir été le point de départ d’une suite d’études donnant une nouvelle activité à une science qui sommeillait depuis les admirables travaux de Laplace, depuis près d’un siècle, elle a aussi le mérite d’être, dans l’ensemble, l’expression d’une réalité. ”

“ Plus grand écart. — Quelle est la probabilité pour que le cours soit le plus haut cours coté dans l’intervalle de temps ?
La probabilité cherchée est la différence entre les probabilités pour que les cours et soient atteints ou dépassés, c’est-à-dire
. La probabilité pour qu’un cours soit le plus haut cours coté dans l’intervalle de temps est le double de la probabilité pour que ce même cours soit coté à l’époque . ”

“ Nous avons désigné la constante par afin que l’espérance mathématique (no 11)
, qui est proportionnelle à la racine carrée du temps, se réduise à un coefficient lorsque . est le coefficient d’instabilité.
Si l’on suppose l’uniformité, la probabilité du cours à l’époque est
.
20. L’expression d’uniformité que l’on emploie dans la théorie des jeux pourrait faire naître une idée fausse. Lorsqu’on dit qu’un jeu est uniforme, on suppose généralement qu’il le sera dans la réalité ; lorsqu’il s’agit de la spéculation, l’uniformité, au contraire, ne peut être réelle ”

“ En vendant ferme et en achetant simultanément une option du double on obtient une prime dont l’importance 0,68 et dont l’écart est le double de .
La probabilité de réussite de l’opération est 0,30.
Par analogie avec les opérations à prime, on pourrait appeler option-stellage d’ordre l’opération résultant de deux options d’ordre à la hausse et à la baisse.
L’option-stellage du second ordre est une opération curieuse ; entre les cours la perte est constante et égale à . La perte diminue ensuite progressivement jusqu’aux cours où elle s’annule. Il y a bénéfice en dehors de l’intervalle . ”

“ L’opération donne une perte quand la baisse dépasse le cours , la probabilité de cette éventualité est . Par exemple, si 0,31, la probabilité de perte est 0,25.
Le spéculateur engage cette opération quand il croit à la stagnation des cours avec une légère tendance à la hausse.
55. Vente ferme contre achat à prime. — C’est la contre-partie de l’opération précédente.
En baisse, le gain est illimité, en hausse la perte est limitée à l’écart de la prime. ”

“ Ce genre de formule est bien connu depuis Laplace qui, le premier, en a fait usage pour des problèmes analogues.
C’est à Laplace qu’est due l’idée qu’une foule de petites causes agissant indifféremment dans divers sens doit conduire à une loi unique. ”

“ L’espérance mathématique de toute spéculation est nulle.
Appliquons ce principe au preneur de prime simple à la hausse ; son espérance positive est celle de l’acheteur ferme (no 11) , soit ; son espérance négative est la valeur de la prime simple que nous désignerons par . ”

“ La loi précédente n’est pas suffisamment approchée ; on obtient, au contraire, une loi très approchée en procédant de la façon suivante :
Ajoutant les séries (1) et (2) , on obtient
. Multipliant cette série par la série (3) , on a
, ou environ
. ”