Espérance mathématique

“ Celles-là mêmes qu’on a citées en exemple, les sciences de l’étendue et du nombre, la géométrie et l’arithmétique, qui ne travaillent que sur de pures abstractions, qui ne demandent à l’expérience qu’une première excitation, une seule, et qui, une fois en présence de l’idée rationnelle ou de l’axiome, vont d’un pas infaillible à des conséquences absolument vraies. Mais cette vérité mathématique est tellement le caractère exclusif de l’abstraction, que dès qu’on la transporte aux objets concrets connus par l’expérience, elle s’altère aussitôt. ”

“ Le développement des sciences mathématiques, en donnant à une partie essentielle des pensées suivies une rigueur et une impersonnalité étonnantes, a bien pu amener les premiers métaphysiciens de l’âge moderne à concevoir toute méditation sur ce modèle, à croire que les décisions portant sur les valeurs non scientifiques devaient imiter les découvertes de la science la plus exacte. Une généralisation imprudente conduisit à l’illusion de la raison éternelle et à l’amour de la pureté mathématique. ”

“ Ainsi, quand on se borne à définir les mathématiques comme ayant pour objet la mesure des grandeurs, on en donne une idée fort imparfaite, car il est même impossible de voir par là comment il y a lieu, sous ce rapport, à une science quelconque, et surtout à une science aussi vaste et aussi profonde qu'est réputée l'être avec raison la science mathématique. ”

“ Les mathématiques sont la preuve irréfragable de la docilité de la nature aux décrets de notre esprit, elles apportent la réalisation magique, la vérification tangible de l’intuitionnisme philosophique. « La vraie mathématique est l’élément propre du mage... Le mathématicien sait tout. Il pourrait tout, alors même qu’il ne saurait pas tout... Quiconque n’ouvre pas avec recueillement un livre de mathématiques et ne le lit pas comme il lirait la parole de Dieu, ne le comprend pas... La vie des dieux est mathématique. » ”

“ Aujourd'hui, en effet, la science mathématique est bien moins importante par les connaissances, très-réelles et très-précieuses néanmoins, qui la composent directement, que comme constituant l'instrument le plus puissant que l'esprit humain puisse employer dans la recherche des lois des phénomènes naturels. ”

“ Le nombre, suivant Newton, est un rapport : et la première chose qui distingue les mathématiques, est de s’abstenir de spéculations sur la substance et la cause. Les mathématiques sont des calculs de séries : c’est des propriétés de la série qu’elles tirent leur certitude ; elles ne sont, enfin, ainsi que nous allons le démontrer, qu’un des membres de la grande famille métaphysique. Or, toute science, née ou à naître, n’étant plus qu’un calcul de séries, on peut déjà prévoir que, dans chaque sphère de connaissances, la certitude est égale et homologue à la certitude mathématique. ”

“ On peut s'étonner de voir invoquer la sensibilité à propos de démonstrations mathématiques qui, semble-t-il, ne peuvent intéresser que l'intelligence. Ce serait oublier le sentiment de la beauté mathématique, de l'harmonie des nombres et des formes, de l'élégance géométrique. C'est un vrai sentiment esthétique que tous les vrais mathématiciens connaissent. Et c'est bien là de la sensibilité. ”

“ De là aussi cette croyance que pour orienter ses travaux dans la bonne voie, le mathématicien n’a qu’à rechercher ce qui est simple et ce qui est « beau ».
Chez les modernes, au contraire, — qui ne croient plus à une harmonie préétablie entre la matière et la forme des théories — le travail de la pensée mathématique prend un caractère tout différent. Le but est de saisir, de forcer un objet qui nous résiste. ”

“ Usant de sa liberté, le mathématicien a naturellement commencé par étudier les théories faciles, c’est-à-dire celles auxquelles le langage de l’algèbre s’adaptait exactement. Mais, puisque ces théories ne nous suffisent pas, comment nous y prendrons-nous et dans quel sens nous dirigerons-nous pour les dépasser ?
On dira peut-être que le mathématicien sera guidé dans sa marche par la préoccupation d’aboutir à des résultats intéressants et féconds. En mathématique comme en physique, c’est le succès qui justifiera la recherche et qui la déterminera à la façon d’une cause finale. ”

“ En présentant cette comparaison sous un nouveau point de vue, on peut dire que la mathématique concrète a un caractère philosophique essentiellement expérimental, physique, phénoménal; tandis que celui de la mathématique abstraite est purement logique, rationnel. Ce n'est pas ici le lieu de discuter exactement les procédés qu'emploie l'esprit humain pour découvrir les lois mathématiques des phénomènes. ”

“ Comment est-il possible que la mathématique, qui est un produit de la pensée humaine et indépendante de toute expérience, puisse s’adapter d’une si admirable manière aux objets de la réalité ? La raison humaine serait-elle donc capable, sans avoir recours à l’expérience, de découvrir par la pensée seule les propriétés des objets réels ? ”

“ Ces analogies demandées aux mathématiques peuvent faire entendre ce que sont les Idées, leur nature et leur existence. Les Idées sont dans les choses comme y sont les surfaces, les lignes, les points, les unités ; et c’est la raison aussi qui les en tire. Néanmoins, il y a une grande différence entre les Idées et les entités de l’arithmétique ou de la géométrie. dans le monde mathématique, tout est non seulement immobile, mais impassible ; tout ce que les mathématiques exigent, c’est l’acquiescement de l’intelligence aux vérités qu’elles lui découvrent. ”

“ C'est donc la science mathématique qui doit constituer le véritable point de départ de toute éducation scientifique rationnelle, soit générale, soit spéciale, ce qui explique l'usage universel qui s'est établi depuis longtemps à ce sujet, d'une manière empirique, quoi qu'il n'ait eu primitivement d'autre cause que la plus grande ancienneté relative de la science mathématique. ”

“ Les théorèmes et les formules mathématiques sont rarement susceptibles d'une application complète à l'étude effective des phénomènes naturels, quand on veut dépasser la plus extrême simplicité dans les conditions réelles des problèmes. Mais le véritable esprit mathématique, si distinct de l'esprit algébrique, avec lequel on le confond trop souvent 20, est, au contraire, constamment applicable; et sa connaissance approfondie constitue, à mes yeux, le plus intéressant résultat que les physiciens puissent retirer d'une étude philosophique de la science mathématique. ”

“ Lorsqu’on nous imposa par la force, les mathématiques, au lieu de nous amener d’abord au désespoir de l’ignorance et de réduire notre petite vie quotidienne, nos mouvements et tout ce qui se passe du matin au soir dans l’atelier, au ciel et dans la nature, à des milliers de problèmes, de problèmes suppliciants, humiliants, irritants, — pour montrer alors à notre désir que nous avons avant tout besoin d’un savoir mathématique et mécanique, et nous enseigner ensuite le premier ravissement scientifique que procure la logique absolue de ce savoir ! ”

“ D’autres, insistant sur ce fait que l’homme est un sujet ondoyant et divers, ont conclu au rejet des « procédés rigoureux de la spéculation mathématique » dans la crainte, qu’à leur contact, cet homme ne devienne « une constante pour tous les temps et tous les pays, tandis qu’en réalité il est une variable ». ”

“ Entendue selon sa vraie nature, comme un système de jugements synthétiques à priori, la mathématique est justifiée, du moment où les objets ne peuvent nous affecter qu’en se soumettant aux lois de l’espace et du temps. Sans doute nous ne pouvons dire que les choses possèdent, en elles-mêmes, des manières d’être que nous ne nous expliquons que comme formes de notre facultés de sentir. Mais nous savons que tout objet de notre sensibilité sera conforme à la mathématique, ce qui suffit à assurer l’objectivité de cette science. ”

“ Non que les mathématiques aient rien perdu, à nos yeux, de leur inflexible rigueur, et d’ailleurs, la possibilité d’une mesure exacte avec la réduction à une formule mathématique est de plus en plus le signe d’une théorie scientifique faite ; mais nous regardons moins volontiers du côté de la géométrie pure. ”

“ Voyons donc comment, en partant de cette grossière ébauche, on peut s'élever à une véritable définition de la mathématique, à une définition qui soit digne de correspondre à l'importance, à l'étendue et à la difficulté de la science.
La question de mesurer une grandeur ne présente par elle-même à l'esprit d'autre idée que celle de la simple comparaison immédiate de cette grandeur avec une autre grandeur semblable supposée connue, qu'on prend pour unité entre toutes celles de la même espèce. ”

“ C'est en effet, l'un des grands avantages de la méthode mathématique, que d'obliger à définir de façon précise, de façon concrète, dirions-nous, ce sur quoi l'on raisonne : les êtres mathématiques se voient sur le tableau noir et c'est là la suprême sauvegarde de la méthode. ”

“ Il est bien évident tout d’abord que le mathématicien ne saurait construire dans le vide. Il importe que ses théories soient applicables à la géométrie et à la physique. Or, les besoins de ces sciences obligent le savant à étudier des relations mathématiques qui ne se réduisent pas à des combinaisons algébriques. Il y a plus. À l’intérieur même de l’ « Analyse mathématique », nous ne pouvons réaliser des progrès et aller au fond des notions que nous étudions qu’en nous échappant plus ou moins du cadre de l’algèbre. ”

“ Lorsqu’on a appris l’Algèbre, tout va son train jusqu’à ce que l’on arrive aux études où l’on use de la notion d’infini — le calcul infinitésimal et l’ensemble des mathématiques supérieures. La solution des difficultés qui entouraient auparavant l’infini mathématique est probablement le plus grand succès dont notre époque puisse se glorifier. ”

“ La Mathématique a toujours inspiré à l’esprit humain de grandes espérances. Puisqu’il était évident que l’on pouvait, par des raisonnements, devancer l’expérience, et même découvrir des rapports de nombre très certains, comme entre les grandeurs dites incommensurables, et que l’expérience est hors d’état de jamais vérifier, il l’était aussi que le pouvoir de penser s’étend bien au delà de ce que les sens perçoivent. ”

“ La mathématique est, par essence, ordre, proportion, unité. La mathématique a un caractère plus définitif, plus absolu que toute autre science : la mathématique est belle. À la contempler, l’on éprouve une émotion esthétique violente, haute récompense du labeur qui a été nécessaire pour créer en soi ce résonateur spécial susceptible d’entrer en vibration devant une majestueuse ordonnance d’idées. ”

“ La mathématique concrète comprenant la recherche des lois des phénomènes d'étendue et de mouvement, c'est-à-dire la géométrie et la mécanique, la mathématique abstraite comprendra seulement les spéculations sur les nombres, sur les grandeurs indéterminées : tel est le domaine propre de l'analyse mathématique, ou du calcul, en prenant ce mot dans son acception la plus étendue, et, par suite, embrassant l'arithmétique, l'algèbre, le calcul différentiel et intégral. ”

“ Autant il importait de rendre sensible la rigoureuse universalité logique de la science mathématique, autant je devais signaler les conditions qui limitent pour nous son extension réelle, afin de ne pas contribuer à écarter l'esprit humain de la véritable direction scientifique dans l'étude des phénomènes les plus compliqués, par la recherche chimérique d'une perfection impossible. ”

“ Dans la dernière moitié de ce siècle, les efforts se dirigent vers la physique mathématique qui se constitue peu à peu. En analyse pure, la recherche se particularise et s’aiguise de plus en plus, on creuse les propriétés des fonctions et des équations différentielles, le calcul infinitésimal porte tous ses fruits. ”

“ C'est, en effet, dans un sens purement logique que nous avons toujours reconnu à l'analyse mathématique une importance vraiment propre et prépondérante, comme offrant, par sa nature, l'exercice le plus fécond et le plus décisif de l'art élémentaire du raisonnement positif, d'après l'admirable facilité que l'extrême simplicité du sujet y présente pour multiplier et varier les conséquences pleinement rigoureuses: aucune autre étude, même mathématique, ne saurait aussi nettement caractériser l'aptitude déductive de l'esprit humain. ”

“ Bien que, comme toutes les sciences, la mathématique ait été précédée d'une période d'empirisme, de tâtonnements et d'inductions accompagnées et suivies de constantes vérifications, sa perfection est devenue telle que certains logiciens ont perdu de vue ces caractères primitifs; en réalité les mathématiques doivent tout à l'observation et à l'expérience comme toutes les autres sciences. L'étendue et le nombre sont les phénomènes et les rapports les plus simples et les plus généraux que nous puissions atteindre. ”

“ Si paradoxal que cela puisse paraître à ceux qui considèrent les mathématiques comme étant par elles-mêmes une source de découverte, on ne sortira jamais d’un développement mathématique autre chose que ce qui était implicitement inhérent aux données jetées dans la double mâchoire des équations. ”

“ De très bons esprits pensent qu’il y a une certaine parenté entre la faculté du calcul et l’esprit mathématique, et que, si les calculateurs prodiges recevaient une éducation particulière, donnée d’une manière intelligente, ils pourraient devenir pour la plupart des mathématiciens remarquables. ”

“ Mais alors l’existence du fait mathématique est liée à l’existence de la science mathématique même ; le fait résulte du progrès de la science, avant d’y concourir : « La mathématique ne se passe pas de l’expérience, telle est la thèse empiriste. Nous y adhérons, mais à la condition d’ajouter qu’il s’agit d’une certaine expérience qui, inversement, n’existerait pas sans la mathématique [24] . » ”

“ Les métaphysiciens ne se sont jamais rendu un compte bien exact de ce qu’ils entendent par cette mathématique universelle. Toutefois, en soumettant leur idée, toute vague qu’elle est, au contrôle que fournit la comparaison des sciences positives, on reconnaît que cette mathématique universelle, si elle existait, ne serait rien autre chose qu’un ou plusieurs principes résidant dans l’intelligence et qui donneraient une déduction indéfinie pour toutes les sciences, comme les rares axiomes, fruit de l’expérience, la donnent à la géométrie. ”