Gauthier d'Hauteserve

“ Il suit des lemines précédens que, dans la puissance (gk -+• hh) du binôme (g + h) le terme dans lequel les exposans de g et de la sont gk et hk (terme que nous désignerons par la lettre c) est le terme qui a la plus grande valeur, et que si à la droite et à la gauche du terme c, on prend de ceux qui le précèdent et de ceux qui le suivent un même nombre, ces termes sont ceux de la puissance qui ont la plus grande valeur. ”

“ Entre deux joueurs, la somme des probabilités en faveur de l'un et de l'autre a pour expression l'unité. Si en faveur de l'un d'eux la probabilité a pour expression x, la probabilité en faveur de son adversaire aura pour expression i x. LEMME 2.
Si les éventualités qui font gagner l'un sont indépendantes de celles qui font gagner l'autre, par exemple si au wisk on convenait qu'un côté ne marquera que les points gagnés par les honneurs et l'autre côté ceux gagnés par les trics, le corollaire précédent n'aurait pas d'application. ”

“ Ainsi, par le seul effet du hasard, il doit y avoir une extrême inégalité dans le sort des personnes qui ont couru les mêmes chances.
THÉORÈME 3.
Bien qu'un événement soit arrivé une ou plusieurs fois, il conserve autant de probabilité dans le futur contingent, que tout autre événement,qui, avec une égale probabilité primitive, ne s'est pas encore présenté. ”

“ Si, disait-il, on joue en deux points; et que l'un des joueurs ait un point, c'est à tort que' l'on suppose qu'il y a encore deux coups à jouer pour décider la partie, le gain pouvant en être acquis à celui qui a le point, s'il gagne ce coup. Ainsi la condition de jouer encore deux coups est une condition feinte, puisque la condition naturelle du jeu, est qu'on ne jouera plus dès que l'un des joueurs aura gagné. ”

“ Si donc on continue à capitaliser, chaque année, la différence de la somme des extinctions à la somme des inscriptions nouvelles, on créera à la caisse des retraites un nouveau capital, et lorsqu'il aura atteint la somme dont le versement annuel représente l'intérêt, la caisse des retraites sera fondée à perpétuité, et l'administration pourrait supprimer la retenue annuelle sur le traitement des employés, ou rentrer dans les avances qu'elle aurait faitesà la caiss e des retraites s'il y avait lieu. ”

“ D'où il suit que si deux personnes dont les fortunes sont très inégales, jouaieut jusqu'à ce que l'une d'elles eût ruiné l'autre, les probabilités de leur ruine seraient dans le rapport inverse de leurs fortunes. ”

“ THÉORÈME 4-
La probabilité d'un événement a pour expression le nombre des chances favorables, divisé par le nombre des chances de tous les événemens possibles.
Ce principe est la base de toute la théorie des praobabilités, nous allons nous y arrêter.
Huyghcns avait proposé ce problème. A et B jouent en deux points. A gagne le 1" point. Dans cette position déterminer la probabilité.
Fermat avait donné cette solution Le gain de la partie sera nécessairement décidé en deux coups. ”

“ Celui qui reçoit une bisque a deux manières de gagner.une partie simple, en plaçant sa bisque ou en se la conservant pour les parties suivantes. Pour la placer, son jeu est d'attendre une position de la partie simple où sa bisque décidera en sa faveur le gain de la partie. Autrement, ou il s'ôterait des chances pour gagner cette partie, en conservant son avantage pour les
parties suivantes, ou il courrait le risque de la perdre après avoir usé inutilement sa bisque. ”

“ Toutes les positions où les joueurs peuvent se trouver dans le cours de la partie liée se rencontreront dans l'ensemble des résultats des sept premières parties simples, et seraient réprésentées par les permutations de la 'Je puissance du trinôme (/-f g- + A) . Le nombres de ces permutations a (lem. 6, nombre 4, i p) pour expression 37 2187.
Mais il convient (lem. 6) d'écarter tous les termes de cette puissance dans lesquels l'exposant dé g est plus grand que l'unité. ”

“ Nous supposerons que par leur position de donner et
de couper, A et B n'ont l'un sur l'autre aucun avantage pour les tries.
Dans cette supposition la probabilité de faire dans un coup un ou plusieurs trics est pour l'un comme pour l'autre. ”

“ Dans ce cas, on déterminerait séparément l'expression de la probabilité pour un côté et pour l'autre. Qu'elle soit pour un-, pour l'autre-, on réduirait ces expressions au même dénominateur le nombre des chances pour l'un sera mq, pour l'autre sera np, et les probabilités seront dans le rapport de mq à np. Exemple. A et B sont appelés au recrutement dans deux arrondissemens différens. Dans celui où tire A, on demande 2 hommes sur 7; dans celui où tire B, on demande 3 hommes sur Il: dans quel rapport sont les chances de A et de B pour être libérés? ”

“ Dans cette puissance du binôme (a -f- b) , nous ferons PROBLÈME X.
Dans la méme partie A fait B l'avantage d'zzn demi-point, c'est-à-dire d'un point à toutes les parties simples impaires; les parties simples paires se jozzent ci but.
Dans la 7' puissance dubinome (a + b) on prendra séparément toutes les permutations. On fera dans chacune aux places impaires a =jç, b = aux places paires a = h b = {.
Définition.
Une bisque est l'avantage de pouvoir prendre à sa volonté un point dans une des parties simples dont se compose une partie liée. ”

“ L'administration a donc un grand avantage à laisser en activité les employés lorsqu'ils sont encore en état de rendre de bons services et lorsqu'ils préfèrent conserver leur traitement d'activité à jouir d'une pension de retraite qui n'en est que la moitié. ”

“ B peut perdre ou gagner la partie qu'il va jouer avec C; s'il la gagne, on tombe dans la position du 1er cas, avec cette différence que l'ordre des joueurs y estchangé, et qu'aulieu de A,B,C, D, il est A,C,B,D. Cette éventualité donne l'expectative
Si B perd la partie qu'il joue avec C, cette éventualité a pour résultats de faire rentrer au jeu A, de l'o-
bliger à payer une nouvelle mise ce qui a pour lui la valeur négative m, de porter la somme des enjeux à S+m. ”

“ Un nombre n de personnes étant appelé à tirer successivement une boule, la chance sera égale pour tous.
Pour celui qui tire le i" (par le théor. 4) , la chance d'amener la noire a pour expression
A l'égard de celui qui ne tire qu'après un nombrey de personnes, le concours de deux éventualités est nécessaire pour qu'il amène la noire.
io. Que ceux qui ont tiré avant lui n'aient amené que des blanches, éventualité qui (tliéor. il,.) a pour expression de sa probabilité
Le produit de tous ces facteurs se réduit à
20. Lorsqu'il tire, le nombre de boules restant dans l'urne est (n-p) . ”

“ Lorsque deux partners ont dans leurs mains 3 honneurs ils marquent 2 points lorsqu'ils ont dans leur jeu les 4 honneurs, ils marquent 4 points. Chaque main quefont deux part* ners, au-delà de 6, compte i point. La partie se joue en 10 points. A 8 points, si deux partners ont dans leurs jeux 3 ou 4 honneurs, ils gagnent la partie sans jouer le coup. A 9 points les honneurs ne comptent plus, et l'on ne peut plus gagner la partie que par les tries. ”

“ Si l'urne ne contient que des boules blanches, la probabilité d'amener une boule blanche se change en certitude. Dans l'expression ci-dessus de la probabilité, nous aurons n o, et l'expression de la probabilité se réduira il == i Ainsi la certitude a pour expression l'unité. ”

“ Appelant u le nombre des numéros de la loterie, i le nombre des numéros d'un tirage, x le nombre des tirages dans lequel il y a probabilité égale que tous les numéros sortiront, il est arrivé à l'équation,
Faisant u = go, t 5, on a les valeurs suivantcs 1 log. ”

“ Ces I combinaisons donneront 1024 permutations. Chaque permutation comprend 10 par.ties. Tous les résultats possibles présentent donc un ensemble de 10240 parties perte ou gain.
COROLLAIRE 2.
Supposons donc 1024 personnes dont chacune aura joué 10 parties contre des tiers. Suivant les probabilités, une de ces 1024 personnes se trouvera avoir gagné les 10 parties qu'elle a jouées, une autre se trouvera les avoir perdues; Io personnes se trouveront en avoir gagné neuf et perdu une I autres se trouveront
n'en avoir gagné que une et perdu neuf. ”

“ Si le rabais était de 5o années, on ferait n = 5o; ce qui donnerait, s' = gigv.68' Ce rabais de 5o années ne serait que l'équivalent d'un rabais sur le devis de 80732* un peu plus de 8 p. £.
PROBLÈME VI.
D'après l'âge auquel un bois s'exploite on demande de quel revenu annuel le prix de la coupe est l'équivalent ?
L'âge auquel le bois s'exploite, représente le nombre d'années stipulé dans un contrat d'annuité le prix de la coupe représente le capital remboursable. Le revenu annuel que l'on cherche, représentera l'annuité. On appliquera à la question proposée l'équation du prob. ”

“ Appelons la que l'on payé chaque fois entre au jeu, S la sonimc des enjeux, lorsque la partie est rompue observant que cette souime doit se composer non seulement des mises de ceux qui ont été et qui sont au jeu mais encore des mises des joueurs qui oit encore nécessairement rentrer au jeu, avant que la partie puisse finir. ”

“ L'expectative d'un joueur est la somme qu'il peiU ;;a;;ncr, mulliplie'e par l'ox pression de la probabilité qu'il a de la gagner.
PROBLÈME XVIII.
A B ,C et D jouent .successivement l'un contre F autre. Le gagnant reste au jeu. Chaque fois qu'un des joueurs entre au jeu ̃ il jxiye une nouvelle mise. La' somme des enjeux est acquise celui qui a gagné successivement toits les autres. Lus joueurs après plusieurs partier, conviennent de cesser le jeu et de partager les enjeux-. On dcnxarrdc dans. ”

“ Par compensation il faut du montant de l'annuité iooof déduire l'intérêt de la somme dont on est en avance; ce qui réduit cette annuité à ( iooof *'X (i+O'°Xr) -
Or, l'équation du problème 1", qui s'applique à la question proposée, est
PROBLÈMES.
La dépense d'un canal est évaluée un million.. Une compagnie en fait l'entreprise, et le gouvernement Zui concéda pour joo ans la jouissance du péage qui sera établi sur ce canal. On demande quel est le produit du péage présumé par les parties contractantes ? La compagnie doit trouver dans le produit. ”

“ On substituera ces valeurs de k, de k-m, de _{_ 7M _j5 de k m p q dans les quantités k + O+O+O, A+7M + O + O, /f +7M+/?-f O, k _j_ 77i -j-p -f- q; ce qui donnera toutes les combinaisons d'exposans dans la 7° puissance d'un polynôme de 4 termes. Il ne restera plus qu'à prendre le nombre de permutations dans chacune de ces combinaisons d'exposans, et à le multiplier par le coefficient commun à touslestermes qui ont ces mêmes exposans. ”

“ Cette expression du terme (k + ri) de la colonne (n + i) dans le tableau n° 2, est donc l'expression du.terme k de la colonne (n + i) dans le tableau n° 4, est donc (cor. Il) l'expression du nombre des combinaisons de seconde eppèce de l'exposant n dont le nombre de lettres k est susceptible.
PROBLÈME ITI.
Déterminer le nombre. des permutations dans une combinaison de seconde espèce composée dun nombre de lettres k. ”

“ Supposons une administration au moment de son organisation qu'on y entre à l'âge de 25 ans, et faisons le traitement moyen d'un employé égal à l'unité. La table de mortalité de Duvillars présente 471 566 individus de l'âge de 25 ans. ”