Permutation

“ Exposé nouveau de la manière dont les éléments changent les uns dans les autres ; la permutation se fait d’autant plus vite qu’ils ont une qualité commune ; rapport des éléments extrêmes entre eux et des éléments moyens. Limites nécessaires de cette transformation ; on ne peut aller à l’infini dans aucun des deux sens ”

“ Si nous faisons tourner la face déterminante à deux reprises d'un angle de 120° autour de l'axe ternaire, nous obtenons deux nouvelles faces dont les caractéristiques s'obtiennent en faisant subir une permutation tournante. aux trois premières caractéristiques. Nous obtenons ainsi un premier groupe que nous représentons par le symbole 1 ou A3. ”

“ Soit G un groupe correspondant à l’équation et A, B, C... les permutations du groupe G. Pour obtenir un pareil groupe, il faut opérer sur une permutation A toutes les substitutions de l’équation . Nous supposons que la permutation A contienne toutes [les] racines de .
Prennons une fonction invariable par les substitutions relatives aux racines de ,
et de l’autre côté :
qui correspondent aux substitutions indiquées quand aux racines de l’équation on substitue leurs expressions en fonction de celles de . ”

“ Par exemple, si est une équation, est une fonction des racines qui ne varie par aucune permutation. Quand nous disons qu’une fonction est rationnellement connue, nous voulons dire que sa valeur numérique est exprimable en fonction rationnelle des coefficients de l’équation et des quantités adjointes. ”

“ Ces exercices de permutation ne doivent point être confondus avec l'étude difficile des synonymes; leur but est d'indiquer un procédé naturel à l'aide duquel le sens d'une expression inconnue est expliquée ,mieux que par le dictionnaire, par une expression connue. ”

“ Parmi les permutations d’un groupe, il y en a toujours une où une lettre donnée occupe une place donnée, et, si l’on ne considère dans un groupe irréductible que les permutations où une même lettre occupe une même place et qu’on fasse abstraction de cette lettre, les permutations qu’on obtiendra ainsi formeront un groupe. ”

“ La première chose à observer, pour ce qui regarde les lois de l'étymologie, c'est de savoir quelles sont les articulations qui ont entre elles de l'analogie, de l'affinité, et qui peuvent être prises les unes pour les autres, car, pour savoir si la ressemblance qui existe entre un mot d'une langue et un mot d'une autre langue, est réelle et non pas fortuite, il faut, indépendamment de l'accord du sens, voir si les lettres qui sont changées dans le passage d'un idiome à un autre, sont réellement en affinité. En un mot, la permutation des lettres est la clef de toute l'étymologie. ”

“ Ainsi, pour chaque nombre de la forme , on pourra former un groupe de permutations tel, que toute fonction des racines invariable par ces permutations devra admettre une valeur rationnelle quand l’équation de degré sera primitive et soluble par radicaux. ”

“ On s’est borné dans l’ouvrage au développement de l’équation correspondant à ses termes principaux. Les remarques suivantes serviront à l’étude des développements ultérieurs.
IV. — Tout exposé, qu’il reçoive ou non une représentation chiffrée, procède par la mise en œuvre de trois bases : progression, combinaison, permutation. La mathématique en a fait la théorie, mais il importe de la généraliser. La progression est inhérente à la classification même des éléments et de leurs termes (ratio de la classification) . La combinaison intervient chaque fois qu’une chose est dite d’une autre chose ”

“ Chaque distribution correspond à un des ordres dans lesquels on peut ranger ces N indices qui ne sont pas tous différents, à une des permutations de ces indices. Le nombre cherché est celui des permutations complètes de N objets dont n (1) d’une même espèce, n (2) d’une autre, etc. ”

“ Lors donc qu’on aura épuisé sur le groupe d’une équation tout ce qu’il y a de décompositions propres possibles sur ce groupe, on arrivera à des groupes qu’on pourra transformer, mais dont les permutations seront toujours en même nombre.
Si ces groupes ont chacun un nombre premier de permutations, l’équation sera soluble par radicaux ; sinon, non.
Le plus petit nombre de permutations que puisse avoir un groupe indécomposable, quand ce nombre n’est pas premier, est
2o Les décompositions les plus simples sont celles qui ont lieu par la méthode de M. Gauss. ”

“ C’est surtout dans la théorie des permutations, où l’on a sans cesse besoin de varier la forme des indices, que la considération des racines imaginaires des congruences paraît indispensable. Elle donne un moyen simple et facile de reconnaître dans quel cas une équation primitive est soluble par radicaux, comme je vais essayer d’en donner en deux mots une idée. ”

“ Et si parmi les grandeurs à permuter, il s'en
trouvoit d'égales, & d'inégales ; comme dans ces cinq grandeurs, a. a. b. b. c ; ou dans ces six autres, a. a. b. b. c. d ; dans la premiere supposition ; on prendroit de même le nombre de deux permutations, que donneroient les deux premieres, si elles étoient inégales ; pareillement le nombre de deux permutations, que donneroient la troisième, & la quatriéme, si elles étoient aussi inégales ; & le produit 2 x 2 >0 4. ”

“ La démonstration de ce théorème se déduit facilement de la théorie connue des permutations. En effet, supposons que, parmi ces choses, il y en ait égales à , égales à , égales à , etc., desorte qu’on ait , les nombres , , etc. pouvant aussi désigner l’unité. Le nombre des permutations sera ; or le numérateur est évidemment divisible par le dénominateur, puisque le nombre des permutations est entier ; mais il est divisible par , tandis que le dénominateur, qui est composé de facteurs plus petits que , n’est pas divisible par (no 15) ; donc le nombre des permutations sera divisible par . ”

“ Coroll. Toutes les fois que quatre quantités seront disposées de telle sorte que la somme des deux extrêmes sera égale à celle des moyens, elles formeront une équidifférence.
Ainsi 12 7 8 3 pourra subir 8 permutations. ”

“ Chaque sixiéme chiffre, 21. 56. 126. 252. 462. 792, des rangs horisontaux de la Table, qui sont ceux des 3, 4, 5, 6, 7, & 8e. ordre, marque le nombre de combinaisons qu'on trouve dans 2, 3, 4, 5, 6, & 7 dez.
DES PERMUTATIONS, OU CHANGEMENS D'ORDRE.
L'examen que nous faisons ici des permutations, ou changemens d'ordre, qui sont les différentes sortes d'arrangemens, qui se forment de plusieurs grandeurs en les prenant ; ainsi que pour les combinaisons 2 à 2 ; 3 à 3 ; 4 à 4 ; 5 à 5, &c. nous fait appercevoir, que parmi les grandeurs qui se prennent 2 à 2 ”

“ La forme générale des lettres sera
étant des indices qui peuvent prendre chacun les valeurs .
On voit aussi, par la manière dont nous avons procédé, que, dans le groupe , toutes les substitutions seront de la forme
puisque chaque indice correspond à un système de lettres conjointes.
Si n’est pas un nombre premier, on raisonnera sur le groupe de permutations de l’un quelconque des systèmes de lettres conjointes, comme sur le groupe , en remplaçant chaque indice par un certain nombre de nouveaux indices, et l’on trouvera , et ainsi de suite ; d’où enfin , étant un nombre premier. ”

“ Et d’abord il ne peut s’abaisser plus bas que , puisqu’une équation de degré moindre que ne peut avoir pour facteur dans le nombre des permutations de son groupe.
Voyons donc si l’équation de degré , dont les racines s’indiquent en donnant à toutes les valeurs, y compris l’infini, et dont le groupe a pour substitutions
étant un carré, peut s’abaisser au degré . ”

“ On peut prouver 1o que s’il y a dans le groupe G et hors du groupe L, quelque substitution S qui transforme l’une dans l’autre quelques substitutions du groupe K, cette substitution sera de termes, étant un diviseur de .
D’après cela, comme le nombre de permutations du groupe G est
d’après le lemme I, on devra avoir [25]
D’où l’on voit que doit être un nombre premier [26] . (Lemme II)
On en déduit quand , puisque et sont premiers. ”

“ Un groupe peut être fort différent d’un autre et avoir les mêmes substitutions. Ce groupe en général ne sera pas GS.
Groupe réductible est un groupe dans les permutations duquel n lettres ne sortent pas de n places fixes. ”

“ On peut passer aisément de ce cas à celui où une racine étant connue, quelques unes en dépendent par des fonctions rationnelles. Car soient
Ces racines, si l’on prend, etc.
Il est aisé de voir que la même méthode de décomposition s’applique au cas où dans l’ensemble des permutations d’une équation, n mêmes lettres occupent toujours n mêmes places (abstraction faite de l’ordre) quand une seule de ces lettres occupe une de ces places, et il n’est pas nécessaire pour celà que l’ensemble de ces permutations constitue un groupe. ”

“ Ce sont-là les mouvemens simples qui sortent du sanctuaire même de la nature ; mouvemens qui, combinés ensemble, continués, alternés, réprimés, réitérés, constituent ces mouvemens composés, ces sommes de mouvemens dont on parle tant, comme génération, corruption, augmentation, diminution, altération et mouvement de transport, à quoi il faut ajouter la mixtion, la séparation et la transmutation. Reste donc ce qu’on peut regarder comme des espèces d’appendices de la physique, les mesures des mouvemens ou la science qui considère ce que peut la quantité ou la dose de la nature [24] ”

“ Faites un pas de plus dans l’évolution : le mouvement intérieur de contraction, en se perfectionnant par la sélection naturelle, aura amené l’être vivant à un mouvement massif de transport dans l’espace, qui l’écartera de l’objet; c’est le mouvement d’aversion et de fuite. Le mouvement d’expansion, au contraire, aura amené l’être vivant à un transport de tout son corps vers l’objet agréable: c’est le mouvement de propension et de poursuite. ”

“ La matière apparaît au chimiste sous des aspects divers qu'il cherche à définir ; il la croit éternelle et indestructible ; le physicien étudie comment le mouvement se transmet d'une masse .matérielle à une autre; il recherche quelles transformations des masses matérielles et du mouvement lui-même accompagnent cette transmission; le mouvement lui apparaît, tout comme la matière, éternel, et en quantité constante dans l'Univers. Le biologiste constate également la transmission indéfinie et continue de la vie; il constate qu'en dehors de la vie rien n'engendre la vie. ”

“ Il est possible d’entrevoir dans la matière organisée une tendance à des mouvemens de dilatation et de contraction, et dans sa formation une certaine attraction, une certaine affinité, en un mot, des phénomènes qui paraissent susceptibles d’être ramenés aux conditions primitives du mouvement et de la matière en général. ”

“ Selon eux, si un corps change seulement de lieu sans éprouver d’autre changement, c’est un mouvement de transport ; si, le lieu et l’espèce demeurant les mêmes, la qualité seule est changée, c’est une altération ”

“ Une tendance innée à produire des types plus élevés, se révélant avec plus ou moins d’intensité dans des circonstances indéterminées, rend compte de la multiplication, de la variation, même du perfectionnement des types ; elle ne nous dit rien au sujet de la manière dont ils sont coordonnés dans l’espace et surtout dans le temps. Quiconque admet une force de transmutation, que cette transmutation soit brusque ou lente, doit reconnaître qu’elle est réglée par quelque chose de supérieur et de permanent. C’est là ce qu’ont parfaitement senti Lamarck et Darwin. ”

“ Comme le disait déjà - Buffon, il suffit que certaines parties puissent coexister, pour que leur combinaison soit à un certain moment réalisée; nous avons vu dans toutes les classes, dans tous les ordres, un même organisme se modifier dans les sens les plus différents, donnant naissance à une foule de combinaisons dont quelques-unes seulement persistent, isolées les unes des autres, et constituent ce que nous appelons des espèces nouvelles. ”

“ Tous les phénomènes sont dus à des mouvements, et à chaque ordre de formation, de combinaison ou de corpuscule ou de corps qui prend naissance, il apparaît un nouvel ordre de phénomènes, comme une condition nécessaire de la spécialité du mouvement produit. ”

“ Entre un corps mû et un autre corps mû, c’est suivant les rapports de la masse et de la vitesse que tous ces mouvements sont reçus, augmentés, diminués, perdus : chaque diversité est uniformité, chaque changement est constance. ”

“ La divisibilité mécanique des corps, leur circulation continuelle, la persistance de leurs éléments, l’impossibilité d’une création et d’un anéantissement, l’existence du plein et du vide et la nécessité de concevoir quelque chose qui les différencie, toutes ces considérations, telles qu’on les trouve développées dans le premier livre de Lucrèce, devaient logiquement conduire à supposer une matière compacte, inaltérable, éternelle, divisée en masses très petites et douées de mouvement. ”

“ Or, tous les changemens, ceux qui altèrent lentement la structure de notre ciel étoile ou ceux qui constituent une décomposition chimique, sont « des changemens dans les positions relatives des parties composantes, et ces changemens impliquent nécessairement partout qu’en même temps qu’un nouvel arrangement de la matière est apparu un nouvel arrangement du mouvement. D’où suit qu’il doit y avoir une loi de redistribution concomitante de la matière et du mouvement qui s’applique à tous les changemens et qui, les unissant ainsi tous, doit être la base de la philosophie. » ”

“ Nous comprenons que dans cette révolution circulaire, le même mouvement fait tourner en même temps le plus grand cercle et le plus petit, se communiquant dans une certaine proportion aux grands et aux petits cercles, augmentant ou diminuant suivant le même rapport : ce qui est la source de plusieurs phénomènes merveilleux, la même force motrice imprimant en même temps aux grands cercles et aux petits une vitesse et une lenteur proportionnée, ce qu’on serait tenté de regarder comme impossible. ”