Évariste Galois

“ On trouvera ici une condition générale à laquelle satisfait toute équation soluble par radicaux, et qui réciproquement assure leur résolubilité. On en fait l’application seulement aux équations dont le degré est un nombre premier. Voici le théorème donné par notre analyse :
Pour qu’une équation de degré premier, qui n’a pas de diviseurs commensurables, soit soluble par radicaux, il faut et il suffit que toutes les racines soient des fonctions rationnelles de deux quelconques d’entre elles. ”

“ La multiplication des fonctions intégrales par un nombre entier est toujours possible, comme l’addition, au moyen d’une équation de degré dont les racines sont les valeurs à substituer dans l’intégrale pour avoir les termes réduits.
L’équation qui donne la division des périodes en parties égales est du degré . Son groupe a en tout
permutations. L’équation qui donne la division d’une somme de termes en parties égales est du degré . Elle est soluble par radicaux. ”

“ On peut prouver que, réciproquement, si l’une des deux racines d’une équation du second degré est positive et plus grande que l’unité, et que l’autre soit comprise entre et , ces racines seront exprimables en fractions continues immédiatement périodiques. En effet, soit toujours une fraction continue immédiatement périodique quelconque, positive et plus grande que l’unité, et la fraction continue immédiatement périodique qu’on en déduit, en renversant la période, laquelle sera aussi, comme elle, positive et plus grande que l’unité. ”

“ J’observerai d’abord que, pour résoudre une équation, il faut successivement abaisser son groupe jusqu’à ne contenir plus qu’une seule permutation. Car, quand une équation est résolue, une fonction quelconque de ses racines est connue, même quand elle n’est invariable par aucune permutation. ”

“ Ainsi, quand on adjoint à l’équation
où est premier, une racine d’une des équations auxiliaires de M. Gauss, cette équation se décompose en facteurs et devient, par conséquent, réductible.
Les substitutions sont le passage d’une permutation à l’autre.
La permutation d’où l’on part pour indiquer les substitutions est toute arbitraire, quand il s’agit de fonctions ; car il n’y a aucune raison pour que, dans une fonction de plusieurs lettres, une lettre occupe un rang plutôt qu’un autre. ”

“ Il est aisé de voir que, quand le groupe d’une équation n’est susceptible d’aucune décomposition propre, on aura beau transformer cette équation, les groupes des équations transformées auront toujours le même nombre de permutations. ”

“ C’est surtout dans la théorie des permutations, où l’on a sans cesse besoin de varier la forme des indices, que la considération des racines imaginaires des congruences paraît indispensable. Elle donne un moyen simple et facile de reconnaître dans quel cas une équation primitive est soluble par radicaux, comme je vais essayer d’en donner en deux mots une idée. ”

“ Par exemple, si est une équation, est une fonction des racines qui ne varie par aucune permutation. Quand nous disons qu’une fonction est rationnellement connue, nous voulons dire que sa valeur numérique est exprimable en fonction rationnelle des coefficients de l’équation et des quantités adjointes. ”

“ La forme générale des lettres sera
étant des indices qui peuvent prendre chacun les valeurs .
On voit aussi, par la manière dont nous avons procédé, que, dans le groupe , toutes les substitutions seront de la forme
puisque chaque indice correspond à un système de lettres conjointes.
Si n’est pas un nombre premier, on raisonnera sur le groupe de permutations de l’un quelconque des systèmes de lettres conjointes, comme sur le groupe , en remplaçant chaque indice par un certain nombre de nouveaux indices, et l’on trouvera , et ainsi de suite ; d’où enfin , étant un nombre premier. ”

“ La fonction qui, dans le cas des équations solubles par radicaux, doit avoir une valeur rationnelle, dépendra, en général, d’une équation de degré , à laquelle il faudra, par conséquent, appliquer la méthode des racines rationnelles. ”

“ Et d’abord il ne peut s’abaisser plus bas que , puisqu’une équation de degré moindre que ne peut avoir pour facteur dans le nombre des permutations de son groupe.
Voyons donc si l’équation de degré , dont les racines s’indiquent en donnant à toutes les valeurs, y compris l’infini, et dont le groupe a pour substitutions
étant un carré, peut s’abaisser au degré . ”

“ Dans plusieurs domaines, celles-ci ne sont pas toujours faciles à trouver, et l’on pourrait citer, dans les Mathématiques modernes, plus d’une théorie confinée, si j’ose le dire, dans sa trop grande généralité ; au point de vue artistique, qui joue un rôle capital dans les Mathématiques pures, rien n’est plus satisfaisant que le développement de ces grandes théories, cependant de bons esprits regrettent cette tendance, qui a peut-être ses dangers. On ne peut, pour Galois, émettre un pareil regret ”

“ Ainsi, pour chaque nombre de la forme , on pourra former un groupe de permutations tel, que toute fonction des racines invariable par ces permutations devra admettre une valeur rationnelle quand l’équation de degré sera primitive et soluble par radicaux. ”

“ En présence d’une vie si courte et si tourmentée, l’admiration redouble pour le génie prodigieux qui a laissé dans la Science une trace aussi profonde ; les exemples de productions précoces ne sont pas rares chez les grands géomètres, mais celui de Galois est remarquable entre tous. Il semble, hélas ! que le malheureux jeune homme ait tristement payé la rançon de son génie. ”

“ Le rayon de courbure d’une courbe en l’un quelconque de ses points est la perpendiculaire abaissée de ce point sur l’intersection du plan normal au point avec le plan normal consécutif, comme il est aisé de s’en assurer par des considérations géométriques. ”

“ Si l’équation en est de la forme , et que les racines de l’unité se trouvent au nombre des quantités précédemment adjointes, les groupes dont il est question dans le Théorème II jouiront, de plus, de cette propriété que les substitutions de lettres par lesquelles on passe d’une permutation à une autre dans chaque groupe soient les mêmes pour tous les groupes. ”

“ Le théorème relatif à l’inversion du paramètre et de l’argument dans les intégrales de troisième espèce est nettement indiqué, ainsi que les relations entre les périodes des intégrales abéliennes ; Galois parle aussi d’une généralisation de l’équation classique de Legendre, où figurent les périodes des intégrales elliptiques, généralisation qui l’avait probablement conduit aux importantes relations découvertes depuis par Weierstrass et par M. Fuchs. Nous en avons dit assez pour montrer l’étendue des découvertes de Galois en Analyse ”

“ Car le plus grand commun diviseur entre l’équation irréductible et l’autre équation sera encore rationnel ; donc, etc.
Lemme II. — Étant donnée une équation quelconque, qui n’a pas de racines égales, dont les racines sont on peut toujours former une fonction des racines, telle qu’aucune des valeurs que l’on obtient en permutant dans cette fonction les racines de toutes manières, ne soit égale à une autre.
Par exemple, on peut prendre
étant des nombres entiers convenablement choisis. ”

“ Pour le démontrer, on construit la courbe et la droite . Soit prise une abscisse , et supposons, pour fixer les idées, , je dis qu’il sera aisé d’obtenir la racine immédiatement supérieure à . En effet, les racines de l’équation ne sont que les abscisses des points d’intersection de la droite et de la courbe, et il est clair que l’on s’approchera du point le plus voisin d’intersection en substituant à l’abscisse l’abscisse . ”

“ Or nous savons, par le no ( [2] ) , que les substitutions du groupe G ne peuvent embrasser que ou lettres. Ce n’est point , puisque, dans ce cas, le groupe G serait non primitif. Si donc, dans le groupe G, on ne considère que les permutations où la lettre , par exemple, conserve toujours la même place, on n’aura que des substitutions de l’ordre entre les autres lettres. ”

“ Cherchons les racines de la congruence
J’observe que la congruence
étant irréductible, et du degré 3, toutes les racines de la congruence (1) dépendent rationnellement de celles de la congruence (2) , en sorte que toutes les racines de (1) sont de la forme
Il faut maintenant trouver une racine primitive, c’est-à-dire une forme de l’expression (3) qui, élevée à toutes les puissances, donne toutes les racines de la congruence
et nous n’avons besoin pour cela que d’avoir une racine primitive de chaque congruence
La racine primitive de la première est ”

“ On ne peut douter aussi qu’il ne se soit pas prêté à fournir sur ses travaux les explications que lui demandaient les mathématiciens avec qui il s’est trouvé en relations, explications que rendait nécessaires la rédaction rapide de ses Mémoires ; aussi comprend-on facilement que son mérite n’ait pas été reconnu de ses contemporains. ”

“ Dans le cas qui nous occupe, est nécessairement et se trouve par conséquent être ou . Donc le nombre des substitutions ne saurait être plus grand que
Ne considérons maintenant que les substitutions linéaires où la lettre ne varie pas ; si, dans ce cas, nous trouvons le nombre total des permutations du groupe qui contient toutes les substitutions linéaires possibles, il nous suffira de multiplier ce nombre par .
Or, premièrement, en substituant à l’indice , toutes les substitutions de la forme
donneront en tout substitutions. ”

“ Cette ligne a été jetée avec une grande rapidité sur le papier ; circonstance qui, jointe aux mots : « Je n’ai pas le temps », me fait penser que Galois a relu son Mémoire pour le corriger avant d’aller sur le terrain. (A. Ch.)
↑ Dans le manuscrit, l’énoncé du théorème qu’on vient de lire se trouve en marge et en remplace un autre que Galois avait écrit avec sa démonstration sous le même titre : Proposition III. Voici le texte primitif : Théorème. ”

“ Il suit de là que s’exprime en fonction rationnelle de , et il en est de même des autres racines
Cette proposition ( [3] ) est citée sans démonstration par Abel, dans le Mémoire posthume sur les fonctions elliptiques.
Lemme IV. — Supposons que l’on ait formé l’équation en , et que l’on ait pris l’un de ses facteurs irréductibles en sorte que soit racine d’une équation irréductible. Soient les racines de cette équation irréductible. Si est une des racines de la proposée, de même sera une racine de la proposée. ”

“ Nous avons conservé la plupart des notes que M. Auguste Chevalier avait jointes aux Mémoires dont nous venons de parler. Ces notes sont toutes marquées des initiales A. Ch. Les notes non signées sont de Galois lui-même. ”

“ « La condition que j’ai indiquée dans le Bulletin de Férussac, pour la solubilité par radicaux, est trop restreinte ; il y a peu d’exceptions, mais il y en a. » Quant aux équations modulaires en particulier, il déclare l’abaissement du degré au degré possible, non seulement pour , mais encore pour et ; mais il en maintient l’impossibilité pour . ”

“ De même, dans la démonstration, au lieu de étant d’autres valeurs de , la rédaction primitive portait : étant les diverses valeurs de . Enfin on trouve à la marge du manuscrit la note suivante de l’auteur : « Il y a quelque chose à compléter dans cette démonstration. Je n’ai pas le temps. » ”

“ Si maintenant on veut avoir les solutions imaginaires du second degré, on cherchera le plus grand facteur commun à et à , et, en général, les solutions de l’ordre seront données par le plus grand commun diviseur à et à . ”