J.-J. Baget

“ On dit qu'un nombre est entier, quand il est formé par rassemblage d'unités entières. Trois metret, cent litres.
Mais on peut partager, par la pensée ou autrement, une unité en autant de parties que l'on veut, et chaque partie est une fraction. — On peut concevoir la réunion de deux ou plusieurs fractions, et le nombre qui les exprime s'appelle aussi une fraction, ou mieux, une expression fractionnaire. Tels sont : trois quarts de mètre, vingt-deux centièmes de mètre. ”

“ Un carré étant la multiplication d'un nombre par lui-même, on pourrait diviser le carré par la racine, et on retrouverait cette racine elle-même au quotient.
De même en divisant un cube par sa racine, et le quotient par cette racine, on retrouverait un second quotient égal à cette racine même. Mais on conçoit que pour se prouver ainsi l'exactitude d'une puissance il faut en connaître la racine.
Quand on a extrait une racine, c'est la formation seule de la puissance qui sert de preuve à l'opération. ”

“ Ainsi, par exemple, diviser 28 par 7, c'est chercher un troisième nombre 4, contenant 4 fois l'unité, de même que 28 contient lui-même 4 fois le nombre 7.
L'un des nombres connus peut être considéré comme un produit, et s'appelle dividende, parce que c'est lui qui doit être divisé; l'autre peut être regardé comme facteur, et s'appelle diviseur, parce que c'est lui qui doit diviser. Le résultat obtenu par l'opération s'appelle quotient ; c'est le second facteur du produit. ”

“ NUMÉRATION DES MESURES DE CAPACITÉ.
Comme toutes les divisions et compositions décimales du litre sont en usage, on compte ces mesures comme les mesures de longueur ; on oublie le volume pour ne considérer que les fractions ou les multiples de l'unité principale, qui sont tous dans le rapport de 1 à 10, avec leur contiguë; ainsi :
(1) La dimension des mesures décimales, c'est-à-dire du décalitre, litre, décilitre, centilitre, sont les plus essentielles à retenir dans la mémoire. ”

“ Pour diviser un entier par une fraction, il faut multiplier l'entier par le dénominateur, et diviser le produit par le numérateur.
On voit que le quotient est plus fort que le dividende, et on peut faire à ce sujet une remarque analogue à celle que nous avons faite à propos de la multiplication d'un entier par une fraction, c'est que le mot division appliqué aux fractions n'emporte pas, comme dans les entiers, l'idée de diminution. ”

“ Tout ce que l'on peut faire, c'est d'en approcher tellement près, que si l'expression n'est pas la vérité, elle lui est du moins à peu près équivalente.
Cette évaluation a beaucoup d'analogie avec l'évaluation du quotient. C'est aussi par les fractions décimales qu'elle est faite le plus souvent ; et, de même que pour les quotients, évaluer une racine carrée à moins de 0,1, 0,01, 0,001 près, c'est dire que si la racine écrite était seulement augmentée d'une unité décimale de l'ordre auquel l'évaluation aura été faite, le nombre reproduit par cette racine serait plus fort que le nombre donné. ”

“ En lisant un nombre écrit, on voit que les chiffres ont une valeur de dix en dix fois plus faible, à mesure que l'on descend de rang en rang vers la droite. Une centaine est la dixième partie d'un mille ; une dizaine, la dixième partie d'une centaine; une unité la dixième partie d'une dizaine.
Cela posé : quand on aura partagé l'entier en dix parties égales, chacune de ces parties s'appellera un dixième; ce dixième pourra aussi être partagé en dix autres parties égales que l'on appellera centièmes : chaque centième contiendra dix autres parties égales appelées millièmes ”

“ LEÇONS ÉLÉMENTAIRES D'ARITHMÉTIQUE RAISONNÉE.
1 PREMIERE PARTIE.
NOTIONS PRÉLIMINAIRES.
1. Les mathématiques sont la science des grandeurs.
— On appelle grandeur tout ce qui peut être augmenté ou diminué; ainsi la longueur, la surface, le volume d'un corps, le poids , la vitesse, le nombre, etc., sont des grandeurs; et un donne un nom différent à chacune des parlies des sciences mathématiques, selon l'espèce de grandeur dont elle traite. ”

“ La règle de société est simple quand les mises de fonds, proportionnellement auxquelles le partage des pertes ou des profits doit être fait, ou en général, les nombres proportionnellement auxquels la répartition des parties du nombre donné doit être faite, sont exprimés dans la question.
Comme les mises peuvent être tout à la fois différentes -et placées pendant des temps différents, la question sera
plus ou moins compliquée, mais la solution sera toujours ramenée à de simples proportions. ”

“ Scolie. C'est toujours une mesure carrée qui sert à l'évaluation des surfaces. Si la surface que l'on mesure n'a pas la forme d'un carré, cette mesure se ramène à un rapport établi avec l'unité carrée, contenue un certain nombre de fois dans la surface donnée. Par exemple, si une dimension égale 5 mètres et l'autre 4 mètres, la surface = 4 X 5 = 20 mètres carrés. ”

“ On nomme PUISSANCE d'un nombre le produit de ce nombre multiplié par lui-même une, deux, ou plusieurs fois. Quand il est multiplié une fois par lui-même, le produit est la deuxième puissance ou le carré de ce nombre. Ainsi 16 est le carré de 4; 81 est le carré de 9.
Quand un nombre est multiplié deux fois par lui-même, il est élevé à sa troisième puissance, ou à son cube; ainsi 27 est le cube de 3, car 3 X 3 X 3 = 9 X 3 = 27. ”

“ La division d'un nombre décimal par une fraction, et réciproquement, d'une fraction par un nombre décimal, n'offre rien de particulier. On opère sur le nombre décimal comme sur des entiers, mais au résultat on rétablit les chiffres décimaux que l'on avait négligés. ”

“ Dans la pratique , on abrège beaucoup l'opération ; d'abord on considère chaque chiffre comme représentant seulement dix fois sa valeur absolue, relativement à celui de droite ; en second lieu, on n'écrit pas les produits partiels, on les soustrait mentalement du dividende partiel auquel on les compare , et on n'écrit que le reste obtenu. Pour plus de facilité, au lieu de diviser par 1,2,5, 4,5,6,7, 8, 9, il faut s'exercer à prendre de suite la moitié, le tiers, le quart, le cinquième, le sixième, le septième, le huitième et le neuvième d'un nombre. ”

“ Tant qu'il ne s'agit que de nombres entiers, on peut considérer la multiplication comme ayant pour but de répéter un des nombres donnés autant de fois qu'il ya d'unités dans d'autre. Ainsi, multiplier 5 par 3, c'est répéter 5 trois fois.
En ce sens, la multiplication est une addition abrégée; car pour obtenir le résultat, on pourrait écrire le multiplicande sous lui-même autant de fois qu'il y a d'unités dans le multiplicateur, et additionner : la somme serait le produit cherché. ”

“ Comme un rapport par quotient est une expression fractionnaire dont l'antécédent est le numérateur, et le conséquent le dénominateur , ce rapport jouira des mêmes propriétés qu'une fraction : c'est-à-dire qu'il sera multiplié en multipliant l'antécédent, ou en divisant le conséquent ; qu'il sera divisé en divisant l'antécédent ou en multipliant le conséquent ; enfin qu'il ne cessera pax d'exister en multipliant ou en divisant ses deux termes par un même nombre. ”

“ Le dividende peut présenter une expression plus grande que celle du diviseur, sans que ce diviseur soit un multiple exact du dividende en nombre entier ; alors après avoir divisé autant qu'il était possible, on arrive à un reste trop faible pour être divisé par le diviseur, et qui peut se trouver à son égard dans l'un des cas que nous venons d'examiner. ”

“ Par là, chaque classe renferme ses trois ordres d'unités, à l'exception de la première à gauche, qui peut n'en avoir qu'un ou deux ; puis on lit le nombre de gauche à droite, en appelant d'abord les unités les plus élevées de chaque classe, de cette manière : 57 millions, 804 mille, 326 entiers.
De sorte que, quand on sait lire trois chiffres, on peut lire facilement tous les nombres. Car, chaque classe peut être nommée indépendamment de la classe voisine; il suffit d'appeler le nom de la classe, après avoir énoncé le nombre représenté par les chiffres qui les composent ”

“ Une fraction ne change pas de valeur quand on multiplie ou quand on divise ses deux termes par le même nombre.
Car si les parties de l'entier sont deux fois plus nombreuses en multipliant le dénominateur, on en exprime deux fois davantage en multipliant le numérateur, donc l'un des changements est détruit par l'autre. ”

“ Car une puissance de 10 n'aura jamais qu'un nombre pair de zéros après l'unité.
CARRÉ DES NOMBRES DÉCIMAUX.
70. Le carré d'une fraction décimale aura toujours un nombre pair de chiffres, et pourra, en conséquence, être partagé exactement en tranches de deux chiffres, car 10' = 100 ; 100" = 10000, etc., la 2e puissance d'un nombre représenté par l'unité suivie de zéros, se forme toujours en doublant le nombre de ces zéros, par conséquent le nombre en sera toujours pair. ”

“ Le volume réel du corps ne peut être autre que la différence d'un mètre cube à 1,022 décimètres cubes, puisqu'il n'y a que cette différence qui puisse, quand elle sera ajoutée au volume réel, reproduire 1 mètre cube. ”

“ Qui veut la fin, veut les moyens. Ou bien il faut désespérer de voir l'instruction primaire atteindre le but qu'elle doit se proposer, ou bien il faut que toutes les méthodes de son enseignement cessent -de se traîner dans l'ornière de la routine, et l'Arithmétique est assurément une des premières qui doive en être tirée. ”

“ Un corps cubique ou simplement un cube est un corps terminé par six faces carrées toutes égales, comparable à un dé à jouer dont la forme est connue de tout le monde, Si on suppose chacune des faces égale à un mètre carré, le corp s a le volume d'un MÈTRE CUBE, et c'est le mètre cube qui est l'unité des mesures de volume. ”

“ Les nombres dont on a besoin de chercher la racine dans la pratique ne sont pas toujours des carrés parfaits comme ceux que nous venons de prendre pour modèles.
Il arrive même le plus souvent qu'on doit opérer sur des nombres irrationnels ; alors on est obligé d'évaluer leur racine approximativement ; mais, quelque grande que soit l'approximation , vous n'arriverez jamais à un nombre qui puisse être exprimé par des chiffres. ”

“ Scolie. 3° Si le multiplicateur est un nombre entier terminé par des zéros, on multiplie d'abord par les chiffres significatifs, et au produit on avance la virgule d'autant de de rangs à droite qu'il y a de zéros. ”

“ Dans tous les cas où l'analyse vous démontre une règle directe, écrivez d'abord le rapport des principales. Celui-là est toujours facile à trouver; puisqu'il y a toujours une quantité de même nature que l'inconnue. représentez l'inconnue par x, puis écrivez à droite de ce rapport celui des relatives, de manière que la relative de x occupe dans le second rapport la même place que x occupe dans le premier; c'est-à-dire que si x est antécédent de l'un, sa relative sera antécédent de l'autre. ”

“ Les relatives sont toujours d'une espèce différente de leurs principales, mais entre elles, elles sont de même sorte , et le rapport qui existe entre les unes devra être le même que celui qui existe entre les autres- De sorte qu'une règle de trois sera résolue quand on aura rendu le rapport des principales égal à celui des relatives.
Si l'analyse du problème n'offre qu'une seule relative
pour chaque principale, la règle de trois est simple. ”

“ Donc en RÈGLE : multipliez chaque chiffre du multiplicande par le chiffre multiplicateur, en commençant par les unités de plus faible espèce, et, quel que soit le rang du chiffre multiplicande sur lequel vous opérez, décomposez le produit obtenu en dizaines et unités ; si le produit obtenu ne dépasse pas neuf, écrivez les unités et reportez au produit suivant autant de fois 1 qu'il y avait de fois 10 dans le produit que vous venez d'obtenir. ”

“ Ainsi 368 signifiera, trois centaines, six dizaines, huit unités de mille, si la première classe est remplacée par trois zéros, de cette manière, 368000.
25. Pour la troisième classe, ou celle des millions, on disposera les trois ordres de la même manière, en suivant les mêmes principes : 368 signifiera 358 millions, si les deux premières classes sont remplacées par des zéros, 368000000.
26. Par ce qui précède, on peut voir que les chiffres ont deux valeurs : une absolue, une relative.
La valeur absolue d'un chiffre est celle qu'il doit à sa forme et à la convention établie. ”

“ Tout nombre qui n'est pas premier absolu a au moins deux facteurs; souvent il en a bien davantage.
Voici comment on les obtient.
Soit à trouver tous les diviseurs de 360.
On divise 360 par le plus petit nombre premier après l'unité, c'est-à-dire par 2, autant de fois que cela est possible; puis on divise le dernier reste par 3, autant de fois qu'il se peut; puis par 5, et ainsi de suite, en prenant successivement pour diviseur les nombres premiers, par ordre ”