B.-L. Adam

“ Une fraction sert à exprimer des quantités plus petites que l'unité; elle s'écrit sous la forme suivante : f t t; ce qui veut 2 4 1/3 ; ce qui veut dire demi, quart, tiers ; il en est ainsi de toute fraction: le chiffre supérieur se dit numérateur de la fraction ; l'inférieur n'est qu'un dénominateur.
Ainsi, dans la fraction f, ou deux fois un tiers, l'entier est présumé divisé en trois parties ”

“ Les trois premiers chiffres, ou 1G0, contenaient le diviseur : ils ont suffi pour opérer ; le quatrième chiffre, qui est un zéro, n'a d'autre rôle à jouer, que d'aller se rejeter à côté du 4 du quotient, pour en former 40, et tenir ce qui doit être, la place de l'unité.
De cette courte explication, il résulte que le nombre 1G00 est ici produit de 40 par 40; que le quotient, multiplié
par le diviseur, reproduira toujours le dividende (règle générale) ; que tout nombre, soumis à la. division, a pour premier facteur le diviseur, et, pour deuxième facteur, le quotient. ”

“ Dans toute division, il faut remarquer si le reste de l'opération de soustraction est plus fort que le diviseur; car, alors, il est évident que le diviseur étant une fois, au moins, contenu dans le reste, si plus n'était, le quotient devrait être augmenté d'une unité au moins aussi. ”

“ N'oublie jamais, ma chère Elisa, bien qu'on ait souvent imprimé et débité le
contraire, que, pour bien résoudre une question, il faut en examiner la nature, et non pas l'énoncer ; de cette manière de voir dépend seule la facilité de ramener souvent une opération compliquée à une règle de trois simple d'abord, quelquefois, et assez souvent même, à une simple division, ou seulement, en finir tout à coup au moyen du centième ou du centime le franc.
LETTRE 48.
QUE d'autres s'extasient sur les proportions, moi, je cherche à les éviter en arithmétique journalière. ”

“ En examinant les variantes du zéro, par une lecture attentive d'une grande série de chiffres ayant pour valeur l'unité monétaire décimale, on se pénètre bien que ce signe auxiliaire remplace la valeur absente, tient la place enfin de l'unité dixaine, centaine, etc. Tout en donnant à celle d'une somme quelconque sa véritable valeur en francs et centimes, ou toute autre unité soumise au calcul décimal, soit en livres, sous, francs, centimes, toises, pieds, pouces, lignes, livres de poids, arpens, hectares, telle convention humaine qui puisse exister, l'addition est une ”

“ Si le terme moyen n'exige , ce qui est vrai, qu'une division, ce qu'on nomme règle d'alliage simple, n'est qu'un terme moyen ; cette définition résulte de ce qu'une fois sorti des règles principales, addition et soustraction, et de celles auxiliaires, multiplication et division , les proportions elles - mêmes doivent se prêter à l'une de ces règles, afin d'éviter,. ”

“ La première puissance est un, l'unité.
L'unité est la mesure commune, et le principe; elle forme un tout; elle est composée de toutes ses parties ; il ne lui manque absolument rien. On a l'idée de l'unité et de la pluralité, en comparant une chose à plusieurs choses de même espèce.
La deuxième puissance est un nombre multiplié par lui-même, 5, par exemple, par 5, donne 25; 25 est deuxième puissance, ou carré, dont cinq est la racine carrée.
La 3' puissance est formée d'un nom-
bre trois fois facteur, ainsi 5 par 5 donnent 25 ”

“ ON donne à cette première règle le nom d'addition, parce qu'elle sert à ajouter plusieurs sommes ensemble ; pour obtenir une somme totale, on dispose les sommes les unes sous les autres, de telle sorte que les nombres soient placés exactement sous les nombres, les dixaines sous les dixaines, ainsi des centaines et des autres nombres. On souligne le tout, puis l'on commence à compter par la plus petite espèce : ici les deniers qui font en tout 28, et qui valent deux sous quatre deniers ”

“ Combien de chiffres, de règles de proportions, de causes d'erreurs ; combien de travail à faire, si, comme cela pourrait être, les associés étaient dix seulement, au lieu de trois qui nous occupent, ensuite, Id
preuve d'une règle de trois ne peut se faire régulièrement que par une autre règle de trois, dans laquelle, renversant l'ordre des moyens et celui des extrêmes, on obtient, si la première est bien faite, l'extrême déjà connu. ”

“ La tare est une réduction de tant pour cent sur le poids brut d'un ballot.
Le courtage est une prime accordée
au courtier pour vendre une partie de marchandises : on dit à f pour cent de courtage, par exemple ; mais ici les f sont ceux d'un pour cent ; il faut retrancher quatre chiffres au produit de multiplication ; ainsi 4007 fr. par 75 ou t de cent, donnent 55^500, duquel retranchant quatre décimales, reste au courtier 33. ”

“ Cette règle de retranchement est générale en calcul décimal ; elle s'applique aussitôt le produit obtenu ; il en résulte que nos cinq cent trois mille cent vingtcinq unités diminuées de quatre chiffres, laisseraient, pour produit visible et en rapport avec l'unité monétaire, 50f 31, seulement; il ne manque donc que la position et le jeu du point décimal, tel que le présente l'opération suivante.
La quantité de chiffres ne doit jamais effrayer : rien n'est difficile quand on apporte la bonne volonté et l'amour du travail. ”

“ Attendu que la division a aussi deux facteurs, la preuve par neuf s'applique victorieusement à cette règle.
Le dividende 48, ou 12, ou 3, indique que la division est juste.
LETTRE 3i.
CHACUN sait qu'un quart, la quatrième partie d'une chose s'écrit t ; que un est le numérateur, et quatre le dénominateur de la fraction, ajoutons que cette figure fractionnaire t n'est autre que le reste d'une division, qu'alors les fractions anciennes deviennent décimales. ”

“ ENCORE des proportions ; mais tu les trouveras sans doute un peu forcées, les' voici néanmoins : On veut partager 1200' entre trois personnes, de telle sorte, que l'une ait la moitié, l'autre le tiers, la troisième le quart ; on veut quelquefois l'impossible, c'est un peu la mode du siècle, aussi se trouve-t-on fort souvent dans une fausse position.
Si ces personnes veulent se contenter d'une portion relative des 1200 francs, cela sera pourtant bientôt fait, c'est une
369 toises, et il restera 324 à réduire en pieds, pouces, lignes, à mesure qu'on divisera. ”

“ Dans toute division, dont le diviseur se trouve supérieur au dividende, le principe de la reproduction du dividende, au moyen des facteurs, n'en existe pas moins; mais ce dividende est considéré comme un reste de division destiné à produire seulement des décimales, ou parties de l'unité.
Si je divise 8 par 124, le quotient sera o 06e 45 ih. Ce quotient est ce qui se nomme centime pour franc, parce que
chaque franc qui compose 124, multiplié par 06% 45 reproduira huit francs. ”

“ Tel est le principe qui régit t'addition..
1 80 peut provenir d'une différence entre deux nombres qu'il s'agissait de comparer, par exemple, 180 avec 100, 1742 avec 1662, etc., ce qui se nomme soustraction.
i Deux règles générales, additionner et soustraire, voilà l'arithmétique toute entière ; car la multiplication n'est qu'une addition abrégée, pour parvenir à obtenir plusfvite un grand produit ; et la division
ne sert que pour ôter, avec rapidité, un produit, certain nombre de fois, d'un autre plus grand. ”

“ Il est évident que si nous trouvons un multiplicateur, lequel, placé dessous 7420, reproduirait 5oo, !a première proposition sera résolue ; ce facteur opérant sur chacune des sommes partielles composant, dans l'espèce, la somme de 7420, la preuve se trouvant dans le total des répartitions individuelles, qui serait alors égal à 5oo, l'opération sera juste.
Or, pour arriver au but, appuyons-
nous du principe qui veut qu'en bonne division, le diviseur et le quotient reproduisent le dividende ”

“ Faisant de suite l'addition, j'ai i5,528, pour produit de 24 multiplié parC47, ou mieux, si tu
le peux saisir dès à présent, 647 fois 24.
Cette opération est finie.
Que reste-t-il à faire, sinon d'en poser soi-même de suite une centaine au moins, d'en varier les chiffres, de les exécuter à volonté, afin d'obtenir la faculté de bien multiplier. Il n'ya pas de meilleur maître que l'usage, lui seul rend habile, et, ce qui raraît le plus difficile, devient avec lui la chose la moins compliquée. Cette observation est une règle générale, elle vaut tous les traités, toutes les leçons même. ”

“ Rien n'empêcherait d'obtenir ainsi quatre-vingts, qui se trouverait dès-lors 8o, et, à cause du zéro, 80 sera pour nous huit dixaines d'unités ; le zéro qui suit ici huit lui donne en effet une valeur dix fois plus forte ; placé avant ce b, il ne présenterait à l'idée que huit unités, 08. Ce raisonnement appliqué aux
neuf caractères ou chiffres, produirait, par exemple, n, ou onze, 22, ou vingtdeux, 53, ou trente-trois, etc., et par imitation bien permise, 12, ou douze, 21, ou vingt-un, 23, ou yingt-trois, 32, ou trente-deux, etc. ”

“ ADDITION COMPOSÉE.
UNE toise vaut six pieds; le pied, douze pouces ; le pouce, douze lignes.
On propose d'ajouter
4 T. 2 P. 5 p. g lignes.
2 5 4 11 9 4 1 r, n 8 2 9 10 25 T. 3 P. 6 p. 5 lignes.
La somme des lignes monte à 41, qui font 3 pouces 5 lignes ; je pose cinq lignes et retiens trois pouces, que j'ajoute avec les pouces : le tout me donne 5o, qui valent deux pieds six pouces ; je pose
les 6 pouces, et je retiens les deux pieds, qui, ajoutés avec les pieds, me donnent quinze pieds, qui valent deux toises trois pieds ”

“ Par suite de la même convention on a formé des centaines, ou plutôt une unité nommée centaine, parce que dix fois dix unités font cent unités simples. On place ces centaines à la gauche des dixaines : ainsi, pour représenter six cent soixantesix, qui renferme 6 centaines, 6 dixaines et 6 unités, on a dû convenir d'écrire 666.
Les mille proviennent de dix fois cent, qui font mille, et tiennent aussila gauche des centaines : ainsi, six mille six cent soixante-six, s'écrivent 6666 ”

“ Dans toute hypothèse, voici le seul et unique principe à suivre : Soit i4oof, à 6 p. olo (a) , pour 17 jours.
(a) On écrit six pour cent, 7, 8, <) , etc., pour
Je multiplie la somme par les jours, ici, 1400 par 17, et j'obtiens 238oo pour produit, multipliant ensuite 238oo par le taux d'intérêt; ici, G p. ojo, j'ai pour nouveau produit 142800 à diviser par 3Go, ou par 365 jours, selon l'année qui doit être employée d'après convention. ”