“ Cela fait que quand on a un reste dans la division on peut le mettre en fraction, en mettant le diviseur comme dénominateur.
28. Une fraction peut encore être considérée sous un troisième point de vue qui nous sera très utile : savoir, comme ayant été engendrée par deux mouvemens à partir de l'unité : t par exemple, peut être considérée comme un nombre qui était primitivement l'unité, qui est devenu d'abord 3 fois plus grand et ensuite 7 fois plus petit que dans ce nouvel état. Rien n'empêche de considérer un nombre entier comme engendré de cette manière, mais par un seul mouvement. ”

“ Quand on fait une division de nombres entiers, on peut tirer parti du reste par les décimales : car en ajoutant un zéro, deux zéros, on convertit le dividende, ou le reste en dixièmes, centièmes. Soit à diviser 832 unités par 53 unités." J'obtiens le nombre de décimales que je veux, comme l'on voit, si la division ne se termine pas, en ajoutant des zéros. ”

“ Pour appliquer cette preuve à la division il faut se souvenir que le diviseur et le quotient sont les facteurs; mais pour que le dividende soit le véritable produit, il doit être débarrassé du reste de la division. ”

“ Si dans le nombre de toises à convertir il y a des pieds, des pouces, etc., il faut avoir non seulement la valeur d'une toise en mètres, mais la valeur d'un pied, d'un pouce en mètres, pour convertir les pieds et les pouces. ”

“ Quand il n'y a pas de virgule dans un nombre elle est censée être à la fin. Lorsqu'on écrit un zéro ou deux à la suite d'un nombre qui n'a pas de virgule écrite, on le rend dix fois , cent fois plus grand : parce qu'on fait mouvoir la virgule idéale. ”

“ Si le chiffre inférieur est plus fort que le supérieur, on emprunte au chiffre suivant une unité qui en vaut dix de l'ordre où l'on est. On a soin de compter un de moins au chiffre qui a prêté, ou un de plus au chiffre inférieur, ce qui est plus commode dans la pratique. Si le chiffre qui doit prêter est un zéro, il faut imaginer qu'il emprunte lui-même une unité qui en vaut dix ”

“ Un nombre qui divise exactement un autre nombre est appelé diviseur ou sous-multiple ou partie aliquote de ce nombre, et le nombre est appelé multiple de ce diviseur, et quand un nombre divise simultanément deux autres nombres, comme ci-dessus 2 qui a divisé 12 et 18, il est appelé commun diviseur de ces nombres; il est appelé plus grand commun diviseur, quand il est réellement le plus grand. ”

“ Pour la soustraction il en est de même. Quant à la multiplication , le multiplicateur est toujours abstrait puisque c'est toujours un nombre de fois. Le produit est de même nature que le multiplicande puisqu'il en est composé. Dans la division, comme un des facteurs doit être de même nature que le produit, il s'ensuit que le quotient est de même nature que le dividende, si le diviseur ne l'est pas ”

“ Il faut avoir au quotient autant de décimales qu'au dividende, attendu que le diviseur n'en a point, et que le diviseur et le quotient doivent en avoir autant que le dividende qui est leur produit (21) . On en aura autant en mettant la virgule quand on la rencontre, car à chaque chiffre on en trouve une.
23. Si l'on veut avoir plus de décimales au quotient qu'il y en a dans le dividende , on en forme au dividende avec des zéros. Ceci peut se faire aussi dans le cas où il n'y en aurait point ”

“ Si le multiplicateur a plusieurs chiffres, quand on multiplie par le second, attendu qu'il est dix fois plus grand que s'il était au premier rang (4) , son produit doit être dix fois plus grand (12) , et pour le rendre dix fois plus grand on l'avance tout d'un rang. Pour un troisième chiffre, on fait de même et l'on ajoute ensuite les produits partiels.
14. Le produit de plusieurs facteurs ne change pas dans quelque ordre qu'on fasse la multiplication. ”

“ La règle de trois a pour but la détermination d'un nombre lié à plusieurs autres, de manière que quand l'un quelconque devient un certain nombre de fois plus grand, le nombre cherché devient le même nombre de fois plus grand ou plus petit. ”

“ L'unité de surface est appelée are, c'est un carré de dix mètres de côté ; ses subdivisions décimales sont : déciare, centiare, etc., et ses multiples décimaux, décare, hectare, kilare, etc.
L'unité de solidité , ou de volume, ou de capacité est le litre, c'est un décimètre cube.
Les noms de ses subdivisions et de ses multiples se composent comme ci-dessus. Nous remarquons que quand il s'agit de mesurer de grands volumes, comme des maçonneries, des bois, on se sert du mètre cube pour unité, et il prend quelquefois le nom de stère.
L'unité de poids est le gramme ”

“ Quand on multiplie des nombres qui ont des zéros à la fin, on peut les négliger et les écrire tous à la suite du produit ; car si on en a négligé deux au multiplicande, il est devenu cent fois plus petit (6) ; le produit sera donc cent fois plus petit (12) . Pour corriger l'erreur il faudra mettre deux zéros. Même raisonnement pour le multiplicateur.
Division,
46. La division est une opération qui a pour but de trouver un facteur; quand on connaît le produit et l'autre facteur. Le produit prend le nom de dividende, le facteur connu celui de diviseur, et le facteur cherché celui de quotient. ”

“ Nous avons mis un zéro au dividende, pour faire faire trois pas à la virgule comme dans le diviseur.
(25) . Si le nombre à diviser a déjà des décimales et qu'il en donne au quotient, par les zéros on lui en fait donner un plus grand nombre si l'on veut. Dans l'avant dernière opération, où le reste est 783, avec un zéro, deux zéros, nous obtiendrions encore des décimales à la suite des 13 centièmes du quotient. ”

“ Mais on doit alors prendre garde de ne pas confondre cette virgule avec celle qui sert à marquer la place des unités. On éviterait cet inconvénient en employant un point pour cette séparation.
Dans un nombre décimal 54,852 on pourrait aussi convertir les 54 unités en décimales, ce qui ferait trente-quatre mille huit cent trente-deux millièmes. En général on peut toujours convertir ce qui précède un rang, en unités de ce rang.
Les unités décimales vont en décroissant, et
les unités entières, c'est-à-dire celles à gauche de la virgule, vont en croissant à partir de la virgule. ”

“ Pour le faire sentir nous emploîrons la comparaison suivante : si une aune divise exactement une pièce de drap, c'est-à-dire, y est contenue un nombre entier de fois et qu'elle divise aussi une pièce de toile; si
on coud les pièces bout-à-bout, l'aune divisera la pièce totale. ”

“ Pour extraire la racine quarrée d'une fraction , il faut extraire séparément la racine du numérateur et celle du dénominateur ; attendu qu'en multipliant une fraction par elle-même , pour rélever au quarré, on y élève le numérateur et le dénominateur (31) . Si le dénominateur n'est pas un quarré parfait, on ne peut pas bien Juger de la fraction après l'extraction, ne sachant pas au juste combien il fautde parties du numérateur pour faire l'unité. ”

“ Nous remarquerons qu'un nombre ne peut en diviser un autre qu'autant que ses facteurs premiers se trouvent tous dedans. Car si le diviseur avait des facteurs premiers qui ne fussent pas dans le dividende, en le multipliant par le quotient , on ne pourrait obtenir le dividende (42) . ”

“ Lorsque l'élève commence à être initié à l'arithmétique, le maître doit le faire répondre de vive voix et par écrit, aux articles de la table, comme pour lui faire recomposer le livre : ce qui exerce le raisonnement de l'élève et lui apprend à exprimer ses pensées. ”

“ Au lieu de donner à chaque chiffre son nom particulier, on donne au tout le nom de l'unité du dernier ordre, en convertissant convenablement le tout en unités de cet ordre. Dans 34,852 au lieu de dire 34 unités, 8 dixièmes, 3 centièmes, 2 millièmes; on dit 54 unités 832 millièmes.
Un nombre qui a des décimales est appelé nombre décimal, et celui qui n'a que des unités complètes, nombre entier.
5. Lorsque dans un nombre on fait faire un pas à la virgule à gauche, il devient dix fois plus petit, car toutes ses unités changent d'ordre ”

“ Mais onpeut toujours multiplier le dénominateur par lui-méme pour le rendre un quarré parfait, et multiplier le numérateur par le même nombre, pour nepas changer la valeur de la fraction (52) .
51. Extraire la racine d'un nombre, à une fraction près, par exemple, à près. Il faut convertir le nombre proposé en une fraction, telle que le dénominateur soit 7 après l'extraction ; car comme on ne se trompe pas d'une unité sur le numérateur (47) et que les unités du numérateur ne seront que des septièmes, on ne se trompera pas d'un septième. ”

“ Une fraction se convertit en nombre décimal par la division (25) .
(51) . Exemples de multiplication et de Division.
(52) . Exemples d'addition et de soustraction.
(53) . Supposons qu'il y ait des nombres entiers :
Mélange des quatre règles.
Nous avons du réduire chaque parentnese a une fraction ( (18) ) , avant de commencer les multiplications. - 1
Le calcul des fractions étant ce qu'il y a uc plus important, les élèves devront se rendre
bien familiers ces exemples et les varier en changeant la valeur des fractions. ”

“ La charpente offre une foule de triangles rectangles qu'il sera très utile de calculer, comme : trouver la longueur des chevrons d'un toit, quand on connaît la hauteur du toit et la largeur du bâtiment. Le chevron avec la hauteur du toit et la demi largeur du bâtiment forment un triangle rectangle, dont il est l'hypoténuse. ”

“ Le double produit est maintenant le premier à gauche; vers la - droite il va jusques aux dixaines, car des dixaines multipliées prr des unités donnent des di-
xaine : il est donc dans 88 ; je le divise par le double des dixaines 12, que j'écris sous la racine; le quotient est 7, Pour vérifier ce chiffre , je forme son quarré et son produit par le double des dixaines , que je retranche du reste du nombre. Quand le nombre proposé n'est pas un quarré parfait, il y a un reste ; alors la racine n'est exacte qu'à une unité près. ”

“ L'unité monétaire est la livre tournois, qui se divise en 20 sous, le sou en 12 deniers.
55. On appelle nombre complexe un nombre composé de différentes sortes d'unités, comme i5to1- 3pi. 5po 7lignes.
On peut réduire un nombre complexe en fraction : dans le nombre ci-dessus, on convertit les toises en pieds, en multipliant par 6, attendu que chaque toise vaut 6 pieds ; on ajoute les trois pieds, et on convertit les pieds en pouces en multipliant par 12, ainsi de suite jusques aux lignes ; ce qui fera le numérateur de la fraction. ”

“ Si le multiplicande ou dividende est un nombre entier, la règle est la même ainsi que la démonstration, en imaginant que le nombre entier a l'unité pour dénominateur. Soit à multiplier 9 ou i par -1, on aura par les raison-
nemens ci-dessus ”

“ La raison en est que, si le multiplicande a trois chiffres décimaux, par exemple, et si le multiplicateur en a deux, la virgule oubliée a rendu le multiplicande 1000 fois plus grand, et par conséquent le produit, parce qu'un facteur a crû. ”

“ Maintenant si le septième reste est commun diviseur entre le sixième et le septième, et s'il est le plus grand, il sera aussi le plus grand commun diviseur entre les deux nombres proposés , puisque les diviseurs communs sont les mêmes dans tous les intervalles.
Décomposition de nombres en facteurs premiers.
'40. On appelle nombre premier celui qui n'est divisible par aucun autre, excepté par l'unité,
qui divise tous les nombres entiers. ”

“ Remarquons que cette conversion donne des décimales au résultat. Si c'est en mètres que l'on convertit, il convient de laisser les décimales. Si c'est en toises que l'on convertit, les décimales de toise ne conviennent pas dans le résultat. Pour les changer en pieds, pouces , on les multiplie par 6; ce qui les change en décimales de pied, et les unités qui en sortent sont donc des pieds. Ensuite on multiplie les décimales de pieds par 12 ce qui en fera sortir des unités de pouce, etc. ”

“ Je remarque que ioo et 10, dont l'un est racine de l'autre, forment les limites, l'un des nombres de trois chiffres, l'autre celle de deux; donc tout nombre qui n'a que deux chiffres, n'en aura qu'un à sa racine; et tout nombre qui en a plus de deux, en a plus d'un à sa racine. Les racines qui n'ont qu'un chiffre s'extraient par la table de Pythagore. Pour apprendre à extraire la racine d'un nombre qui doit en avoir deux à sa racine, élevons un nombre de deux chiffre au quarré, 67 par exemple :
Je dis 7 fois 7, 49, que j'écris en entier, etj'écrirai aussi tous les autres produits en entier ”

“ Les hommes d'affaires ont souvent à régler des comptes comme celui-ci : un homme emprunte 6000 fr. le 18 août 1851, il apporte 1743 francs à son créancier le 12 septembre 1832; il lui paie encore 300 fr. ”

“ Le dividende est donc le produit du diviseur par le quotient, augmenté du reste 3183. En d'autres termes : 14796327 = 5736 X 2579-j-3i85.
Quant au reste, nous sommes obligés , pour le moment, de le laisser; mais nous verrons dans la suite qu'on en tire parti, ou par les fractions ordinaires ou par les décimales, ou par les nombres complexes.
Il peut se faire que le quotient doive avoir -
des zéros. ”

“ Après les centaines , viennent, suivant la même loi, les mille, les dixaines de mille, les centaines de mille; ensuite les millions, les dixaines de million , les centaines de million ; ensuite les billions, les dixaines de billion, les centaines de billion; ensuite les trillions, les quatrillions, les quintillions, etc., en mettant devant la termi- ”

“ On élève de même au quarré un mètre et sa valeur, ce qui donne im-

*"é=0t- iu!irrée,26524. • •• La valeur des pieds quarrés et des pouces quarrés ne s'obtiendra pas en prenant le sixième et le douxième , mais le trente-sixième , car il y a 36, pieds quarrés dans une toise quarrée ; et le cent quarente-quatrième, car il y a 144 pouces
quarrés dans un pied quarré. ”