Total

“ Dans les calculs un peu osés que l'on m'a invité à venir développer ce soir devant vous, ce n'est pas seulement le total qui se chiffrera par milliers de millions. Toute estimation approximative, toute probabilité chiffrée comporte une certaine marge et fait d'avance une part à l'erreur : il y a des évaluations qui se font à un centime près, d'autres à 1 fr. près, d'autres à 100 fr. près... Or, dans l'espèce, je dois, pour ne point vous prendre en traître, vous avouer tout d'abord que je m'estimerais heureux de pouvoir résoudre le problème posé à dix ou quinze milliards près. ”

“ On fait la preuve de la règle de société , en additionnant tous les produits des règles de trois faites , c'est-à-dire , toutes les sommes qui forment la part du gain de chaque associé ; et si le total se rapporte juste à la somme qui a été partagée , on est assuré de l'exactitude de la règle. ”

“ Définition. — Opération par laquelle on réunit plusieurs nombres de même espèce en un seul, appelé somme ou total.
Les quantités de même espèce sont celles qui portent la même dénomination. On doit donc additionner des francs avec des francs, des litres avec des litres, des grammes avec des grammes, etc.
Règle. Pour faire l'addition, on écrit les nombres les uns sous les autres, de manière que les unités soient sous les unités, les dixainessous les dixaines, etc. On souligne le tout. Ensuite l'on ajoute successivement, en commençant par la droite, les nombres de chaque colonne verticale. ”

“ Multipliez la valeur de chaque espèce de choses par le nombre des choses de cette espèce ; ajoutez tous les produits , et divisez la somme par le nombre total des choses de toutes les espèces.
EXEMPLE.
On emploie 200 ouvriers, dont 5o sont payés à raison de 40 sous par jour, 70 à raison de 3o sous, 5o à raison de 25 sous, et 3o à raison de 20 sous : à combien chaque ouvrier revient-il par jour, l'un portant l'autre? ”

“ R. Le premier terme est la somme des mises ; le second, la somme que l'on veut partager; les troisièmes termes sont les mises particulières; les quatrièmes termes donnent la part de chaque associé: aini la somme des mises est au gain total, comme la mise de chacun est au gain qui lui revient. ”

“ Disposer ces données en tableau et calculer, pour chaque année, la proportion (p. 100, avec deux décimales) existant entre chacune des deux espèces de produits et le montant total des rôles de la contribution personnelle-mobilière.
Placer en tête du tableau un titre résumant les indications qu il renferme.
MATHÉMATIQUES 1. On connaît les volumes : - des cônes engendrés par
> 1 un triangle rectangle tournant successivement autour des côtés AB et AC.
Calculer les côtés AB et AC, ainsi que la surface du triangle ABC.
Application : b = 12. ”

“ L’équation admettant ainsi les deux racines
,
son premier membre est divisible par ...
10. Dans une opération dont les valeurs sont disposées soit pour être additionnées, soit pour être soustraites, les signes doivent s’aligner verticalement :
Le filet du total sera de longueur suffisante pour couvrir la somme, ou total, qui se place au milieu de la justification ; l’indication d’addition se trouvera elle-même composée au milieu de la longueur donnée par le total :
Pour se familiariser avec cette règle, on étudiera l’exemple de multiplication suivant :
11. ”

“ Si, dans un groupe, la moyenne est très voisine de la médiane, et dans la mesure où elle s'en approche, on est assuré que les éléments exprimés par la moyenne se répartissent également en deçà et au delà de sa valeur. Nous avons donc calculé d'abord la dépense totale moyenne de chacun de nos groupes, et inscrit en regard la médiane correspondante. ”

“ La masse totale de ce que chaque société recueille ou produit annuellement par son travail, ou, ce qui revient au même, le prix entier de cette masse, est primitivement distribué de cette manière entre les différents membres de la société. ”

“ On appelle cette somme l'utilité totale de la quantité de richesse possédée, et l'on voit que chaque individu règle sa demande sur le marché de manière à rendre maxima la somme des utilités totales des biens dont il sera finalement détenteur après les échanges. ”

“ De plus, comme il importe que chacun puisse garder ou céder une partie quelconque de son avoir, aussi grande ou aussi petite qu'il le désire, les signes que nous vous donnerons pourront se fractionner d'une manière régulière et constante, de telle sorte que chaque fraction représentera toujours une portion constante de la masse totale, chacune des plus petites fractions étant assez minime pour que toute valeur moindre puisse être négligée. ”

“ Une proportion, un rapport changent-ils lorsqu'on multiplie ou que l'on divise les deux termes du rapport par un même nombre ? — La proportion est-elle altérée, si l'on multiplie ou si l'on divise les antécédens ou les conséquens par le même nombre? — Pourriez-vous dire pourquoi? — Y a-t-il toujours proportion lorsqu'on met les extrêmes l'un à la place de l'autre?— Les moyens l'un à la place de l'autre? — Pourquoi cela? — Prouvez que le produit des extrêmes égale celui des moyens ? ”

“ Les quantités ne seraient-elles que des qualités différentes, et dix, cent, mille ne représenteraient-ils que ces qualités différentes et non une grandeur continue formée d’égalités réelles ?
En d’autres termes, le nombre est-il réellement le souvenir d’une répétition de sensations identiques, ou est-il le souvenir d’un changement qualitatif ?
La recherche est assez difficultueuse et de nombreux mathématiciens et psychologues, négligeant le fond même du problème, donnent une origine logique et rationnelle à la quantité. ”

“ Dire qu'on peut se représenter la somme d'une proportion continue par trois termes qui seraient chacun la moitié de la somme des extrêmes, c'est dire que la somme d'une proportion continue est la moitié de la somme des extrêmes, multipliée par trois ou par le nombre des termes. ”

“ Le plus ou le moins constitue déjà une différence, une qualité. La quantité est la propriété de tout ce qui crée en nous l’idée de nombre, ou de grandeur, et nous avons vu que les nombres nous sont donnés par les objets distincts, pouvant se classer dans une catégorie, et que les grandeurs sont des touts que nous considérons comme fermés de parties également classées dans une catégorie : l’étendue. ”

“ Compter des tas, compter des sacs, compter des plants, compter des journées d’homme, cela est imposé par le métier même ; et savoir qu’un nombre dépend d’un autre, c’est savoir le nombre comme il faut. ”

“ Mesurer. — Mesurer une grandeur, c'est la déterminer exactement, au moyen d'une autre grandeur connue et de même espèce qu'on appelle unité.
On ne se fait une idée exacte d'une quantité ou d'une grandeur qu'en la comptant ou en la mesurant. Ainsi, ce n'est qu'après avoir compté les arbres d'un verger qu'on sait combien il y en a; de même, ce n'est qu'après avoir mesuré une règle qu'on en connaît la longueur.
5. Unité. — L * unité est une grandeur connue, avec laquelle on compte ou mesure les grandeurs de même espèce. ”

“ II. Pour calculer le bénéfice ou la perte sur l'ensemble de plusieurs unités, connaissant le bénéfice ou la perle sur une seule unité.
111. Pour calculer le gain ou la dépense d'une semaine, d'un mois, etc., connaissant le gain ou la dépense d'un jour.
THÉORÈMES DIVERS RELATIFS A LA MULTIPLICATION 51. Théorème I. — Si on rend le multiplicande ou le multiplicateur un certain nombre de fois plus grand ou plus petit, le produit est rendu le même nombre de fois plus grand ou plus petit. ”

“ Mais le nombre, considéré seul, n'est qu'une force, une quantité plus grande qu'une autre.—Précisément: une quantité supérieure de bien est un bien plus grand et un droit.—Mais par là 47 vous reconnaissez que ce qui donne du prix au nombre, c'est ce dont il est formé; ce qui rend la quantité précieuse, c'est la qualité de ses éléments. ”

“ Et le moyen est l'espace du médiocre.
La mesure, telle quelle, est un élément de la vie ordinaire. La mesure, en art, paraît la vérité, comme la moyenne des statistiques. La mesure varie avec les grandeurs que l'on compare. ”

“ Vous savez que le nombre, le poids et la mesure, sont des points mathématiques, fixes et immuables. Comment, lorsque vous reconnaissez des proportions si exactes dans l'homme, pourrez-vous expliquer la loi du progrès ? ”

“ Tout changement fait dans une proportion, de manière que la somme de l'antécédent et du conséquent, ou leur différence, soit comparée à l'antécédent ou au conséquent ; de la même manière dans chaque rapport, formera toujours une proportion. ”

“ Définition. — On appelle moyenne de plusieurs quantités.
de même espèce le quotient de leur somme par leur nombre.
472. — Dans les statistiques et les sciences d'observation, on fait un usage continuel des moyennes.
C'est journellement qu'on a à calculer le prix moyen d'une denrée quelconque, le produit moyen d'un hectare de terrain, etc.
On calcule une longueur moyenne, une surface moyenne, un volume moyen; la durée moyenne de la vie des individus dans un même pays; la durée moyenne de la vie en général ”

“ Le cas le plus simple est celui par lequel on veut connaître une quantité moyenne à plusieurs autres, ou un prix moyen à plusieurs prix d'une même marchandise.
- Dans" ce cas, l'opération est aussi nommée règle des moyennes. Pour l'effectuer, additionnez les quantités entre lesquelles vous chercherez une moyenne, et divisez la somme par le nombre des quantités. ”

“ La théorie de la distribution, en un sens, apparaît comme une application de la théorie de la valeur : c’est la théorie de la valeur qui nous fait comprendre comment s’établit le taux de la rente, par exemple, ou du salaire. ”

“ Dans la seconde édition [9] de votre Catéchisme d’Économie politique, vous dites (page 2) que la richesse d’une personne est proportionnée à la valeur des choses qu’elle possède, et non à leur quantité. Et quand votre interlocuteur vous demande d’expliquer ce que c’est que la valeur des choses, vous répondez que c’est la quantité de toute autre chose que leur propriétaire peut se procurer par leur moyen, s’il juge à propos de les échanger. ”

“ Le prix d'une étoffe est proportionnel à sa longueur la quantité d'ouvrage faite par. un ouvrier est proportionnelle à la durée de son travail le salaire de son travail est. proportionnel au temps pendant lequel il travaille; la durée d'un trajet est proportionnelle à sa longueur; le poids d'un corps (homogène) est proportionnel à son volume; la quantité de vivres nécessaire pour nourrir un certain nombre de personnes est proportionnelle au temps pendant lequel On sait d'ailleurs que deux fractions irréductibles ne sont égales que lorsqu'elles ont identiquement les mêmes termes. ”

“ Tous les trois ans, en moyenne, chaque Compagnie, après avoir fait son inventaire et son exa-
men de conscience, rassemble ses assurés et leur dit : et Mea cuipd, messieurs ! De peur de ruiner mes actionnaires, et vous aussi, j'ai pris sur moi de vous écorcher un peu. Tous les calculs de probabilité qui déterminent nos tarifs sont fondés sur la vie moyenne; la vie moyenne est déterminée par la statistique : la statistique est jeune; c'est moins une science qu'un tâtonnement raisonné. ”

“ Statistique, comptabilité et métrie sont distinctes. 1° La statistique, c’est le comptage des phénomènes caractéristiques selon leurs unités naturelles concrètes : des hommes, des maisons, des terres cultivées, etc. 2° La comptabilité, c’est l’enregistrement du mouvement des valeurs économiques d’un patrimoine ramené à l’étalon de valeur monétaire, le franc ou tout autre type de monnaie. 3° La métrie, c’est la mesure de tous les phénomènes caractéristiques ramenés chaque fois aux étalons propres à chaque phénomène. ”

“ Le produit des extrêmes étant, dans toute proportion, le même que celui des moyens, vous concevez comment vous pouvez, avec trois termes connus, découvrir le quatrième. Est-ce un des moyens, par exemple, que vous avez à chercher? Divisez le produit des extrêmes par le moyen que vous connaissez, et vous aurez dans le quotient le moyen qui vous manquait.
Une progression n'est qu'une proportion continue composée de plus de trois termes, et elle s'écrit ainsi : — deux : quatre : huit — huit : quatre : deux. ”

“ Les partisans de l’économique mathématique font valoir, à l’appui de leur conception, un argument qui ne peut pas manquer de faire impression. Les mathématiques, disent-ils, sont les sciences de la quantité. ”

“ Par la même raison, dans toute société qui s’organise et s’assoit, on voit se préciser et se fixer un taux normal des salaires, un prix normal des produits, un chiffre normal de la population, et aussi bien de la production en tout ordre d’articles. ”

“ Cette copie aura un double but : repasser la leçon entendue et fixer dans la mémoire des enfants les nombres ainsi que la manière de les écrire, soit en lettres, soit en chiffres.
NOTIONS PRÉLIMINAIRES.
Quand on veut savoir combien il y a de personnes dans une société, d'objets dans une réunion, dans une quantité, on les compte.
Compter, c'est donc chercher combien il y a de personnes, d'objets, dans une réunion.
Chaque personne, chaque objet, s'appelle alors unité.
L'imité est donc l'un des objets que l'on compte.
Le' résultat que l'on obtient en comptant s'appelle nombre. ”

“ Or, de même qu’une mesure de quantité, telle que le pied naturel, la coudée ou la poignée, qui varie elle-même de grandeur dans chaque individu, ne saurait jamais être une mesure exacte de la quantité des autres choses, de même une marchandise qui varie elle-même à tout moment dans sa propre valeur, ne saurait être non plus une mesure exacte de la valeur des autres marchandises. ”

“ Le rapport d'une grandeur à une autre de même nature, est le nombre qui servirait de mesure à la première si la seconde était prise pour unité.
Nous ne nous occuperons, dans ce chapitre, que des rapports entre les grandeurs qui ont une commune mesure contenue un nombre entier de fois dans chacune d'elles. De pareils rapports se nomment commensurables.
207. THÉORÈME. Tout rapport commensurable est égal à une fraction à termes entiers. ”