Louis Bentz

“ Pour écrire un nombre décimal, il faut, après savoir écrit les unités entières et le point de séparation , placer les chiffres décimaux chacun dans le rang qui lui est propre, ayant soin de remplir par des zéros les rangs où il n'y aura rien à exprimer : si le nombre n'a pas d'unités entières, on les remplace encore par zéro que l'on sépare toujours des décimales par le point. ”

“ D'après leurs recherches, on peut soutenir avec vraisemblance que le soleil est un million de fois plus grand que la terre, malgré sa petitesse apparente qui provient de son énorme distance de la terre ; car il en est éloigné d'environ trente-cinq millions de lieues.
La lune, quoiqu'infiniment plus petite, nous paraît à peu près aussi grande que le soleil, parce qu'elle n'est pas aussi éloignée de nous; car sa distance de la terre n'est que de quatre-vingt-dix mille lieues.
De combien le soleil est-il plus éloigné de nous que la lune ? ”

“ Pour diviser un nombre composé par un nombre simple, par ex. : 4564 par 4, on procède de cette manière : on écrit le diviseur à la droite du dividende en les séparant par un trait; on souligne le diviseur, sous lequel on écrit de gauche à droite les chiffres du quotient; puis on commence à chercher, au
moyen de la table de multiplication, combien de fois le diviseur 4 est contenu dans le premier chiffre à gauche du dividende qui est 4; on trouve qu'il y est contenu une fois ; on met donc 1 au quotient. ”

“ La règle de société est cette opération de l'arithmétique par laquelle on divise un nombre quelcon- que en parties proportionnelles à d'autres nombres donnés, comme, par exemple, les profits ou les pertes d'une société en parties proportionnelles aux mises des associes. ”

“ Il arrive aussi souvent qu'il faut convertir une fraction d'espèce supérieure en un nombre d'espèce inférieure, pour mieux en connaître la valeur. Dans ce cas, on multiplie le numérateur de la fraction par le nombre qui indique combien il faut d'unités de l'espèce inférieure pour composer l'unité de l'espèce dans laquelle consiste la fraction ; puis on divise le produit par le dénominateur de la fraction , et le quotient sera le nombre d'espèce inférieure demandé. ”

“ Je vais vous montrer un nouvel avantage du système métrique ; vous en connaissez sans doute les dénominations. — Oh ! oui, ce sont myria , kilo , hecto, déca, et les unités, qui sont de six espèces, savoir : mètres, grammes , litres, ares, stères, francs ; puis viennent les déci, centi et milli. — Bon! Remarquez donc que si l'on sait le prix d'un hecto, l'on connaît à l'instant aussi le prix de l'unité ; car
un hecto faisant 100 , et 100 cent. ”

“ Lorsque dans la division de deux nombres entiers il y a un reste, et qu'on veut avoir le quotient exact, il faut, pour pouvoir continuer la division, convertir ce reste en parties décimales de l'unité, c'est-à-dire en dixièmes, centièmes, millièmes, etc.; ce qui se fait en multipliant ce reste par 10, 100, 1000, etc. ; mais comme, dans ce cas , le dividende sera rendu 10, 100 ou 1000 fois, etc., plus grand, il faudra séparer sur la droite du quotient total , autant de chiffres qu'on aura ajouté de zéros au reste ”

“ Le nombre qu'on répète ou qu'on multiplie s'appelle multiplicande, et celui qui indique combien de fois il faut répéter le multiplicande est appelé multiplicateur.
Le multiplicande et le multiplicateur sont encore nommés les facteurs du produit. -
Le produit est toujours de même espèce que le
multiplicande, puisqu'il est formé du multiplicande répété un certain nombre de fois. ”

“ Un nombre décimal est lu de deux manières ; on peut le lire de sorte qu'on donne à chaque chiffre la valeur qui convient à la place qu'il occupe. Par ex. : 0.5526: 5 dixièmes, 5 -centièmes, 2 millièmes, 6 dixmillièmes ; ou on le lit comme un nombre entier, en n'indiquant que la valeur de la dernière place à droite : trois mille cinq cent vingt-six dixmillièmes.
Ce qui peut se faire sans changer la valeur des nombres, puisque dans celui-ci, par ex., le chiffre 3 des dixièmes vaut 50 centièmes; en y ajoutant les 5 centièmes qui se trouvent dans le nombre, on aura 35 centièmes ”

“ Nous avons vu dans la section 1re, 7e leçon, que pour multiplier un nombre décimal par l'unité suivie de zéros, on recule le point de séparation d'autant de places vers la droite qu'il y a de zéros à la suite de l'unité dans le nombre par lequel on multiplie. ”

“ Dans le nombre 100 , la valeur absolue du chiffre 1 est 1 , sa valeur relative est une centaine ou 100 , parce qu'il occupe le troisième rang à gauche; en avançant vers la gauche, il exprimera toujours des unités dix fois plus grandes qu'à la place immédiatement à droite. Le chiffre 1, avancé à la quatrième place , fera dix fois cent, qu'on énonce par mille; avancé à la cinquième , il fera dix mille ; à la sixième, il fera cent mille; à la septième, il fera dix cent mille, qu'on énonce par le seul mot million ; et en l'avançant davantage on obtient des billions, trillions., etc. ”

“ Ces nombres étant ainsi posés, le père, pour voir si Charles savait l'addition, le mit à l'épreuve par l'exemple suivant : Comme vous connaissez à présent le nombre d'habitans de chacune des parties de la
terre, je désire que vous ajoutiez tous les nombres du premier exemple, et que vous n'en fassiez qu'un seul, par lequel nous poivrons connaître le nombre total des hommes qui vivent sur la terre. ”

“ Au contraire, depuis le même point de séparation , en allant à droite, le nombre décimal, quelque grand qu'il soit, ne peut plus produire une unité, parce que les chiffres dont il est composé ne renferment que des parties (de dix en dix fois plus petites) d'unités. ”

“ Les fractions peuvent quelquefois être simplifiées, c'est-à-dire que les deux termes peuvent être exprimés par de plus petits nombres , et même les plus petits possibles , sans en changer la valeur, ce qui se fait en divisant le numérateur et le dénominateur à la fois par un même nombre, aussi longtemps que cela se fait sans reste.
En conséquence on observe, 1° si le numérateur lui-même est contenu sans reste dans le dénominateur; alors il sert de diviseur commun à la fraction.
Exemple: 155 : 5 = 5 •
2° Si à la droite des deux termes se trouvent des zéros, on en efface un nombre égal. ”

“ Voici la règle : On lève autant de doigts dans une main qu'il faudrait ajouter d'unités au facteur qu'elle représente pour faire 10. On lève également autant de doigts dans l'autre main qu'il faudrait ajouter d'unités au facteur qu'elle représente pour faire 10. Les autres doigts restent fermés : chacun, de ces doigts fermés représente une dixaine du produit. On multiplie les doigts levés d'une main par ceux qui sont levés dans l'autre main ; on ajoute le résultat aux dixaines marquées par le nombre de doigts fermés et on a le produit total. Ex. : Combien font 6 fois 8. ”

“ Vous savez que cela ne dépend que du bon Dieu ; mais ce qui dépend de nous , quelle que soit la durée de notre vie , c'est que nous marchions toujours dans le chemin de la vertu. Celui qui ne s'en est jamais écarté, mourûtil à la fleur de son âge, peut dire qu'il a vécu longtemps et heureux. ”

“ Si dans quelque rang on n'a pas d'unités à exprimer , on les remplace par zéro , qui alors sert à conserver la valeur aux chiffres qui sont à sa gauche.
Par exemple : pour écrire le nombre six mille vington met 6 à la place des unités de mille, 0 à celle des cent unités , 2 au rang des dix unités, et 0 à l'unité simple ; exemple : 6020.
La collection de dix cent mille, ou mille fois mille, se nomme million; celle de mille millions se nomme billion; celle de mille billions fait le trillion, et ainsi de suite, quatrillion, quintillion, sextillion, etc. ”

“ La numération est l'art d'exprimer tous les nombres possibles par des chiffres et de les énoncer par des paroles ou des noms.
Pour énoncer facilement les nombres , il faut les partager en tranches de trois chiffres chacune (la dernière à gauche peut en avoir moins ) , en allant de droite à gauche; ensuite il faut commencer à gauche à énoncer chaque tranche comme si elle était seule , et prononcer, après chacune , le nom qui est propre à son rang. Par exemple :
Chaque tranche, comme on le voit, est composée d'unités, dixaines et centaines du même nom qu'elle. ”

“ Un nombre est un assemblage de choses de même espèce, ou de parties d'une chose. Chacune de ces choses est appelée unité.
Il y a , par conséquent, trois sortes de nombres.
Le nombre entier qui ne renferme que des unités entières ; ex. : 50 litres ; 36 fr., etc.
La fraction qui exprime une partie ou plusieurs parties égales de l'unité ; ex. : j de livre; * d'aune , etc.
Le nombre fractionnaire qui exprime à la fois des unités entières et des parties d'unité ; ex. ”

“ On voit que dans le nombre supérieur il n'y a pas autant de chiffres que dans le nombre inférieur, quoique sa valeur soit plus grande; dans ce cas, il faut y suppléer à droite par autant de zéros que le nombre inférieur contient plus de chiffres; ce qui n'en change aucunement la valeur. ”

“ L'addition des nombres décimaux se fait de la même manière que celle des nombres entiers, parce que l'augmentation, comme dans ceux-ci, va de dix en dix d'une colonne à l'autre. On n'a qu'à observer de mettre les points de séparation les uns sous les autres ainsi que d'aligner celui de la somme. ”

“ Dans le système actuel des poids et mesures établi en France, on a donné de nouveaux noms aux unités, dixaines , centaines, mille et dixaines de mille, ainsi qu'aux dixièmes, centièmes , millièmes d'unités de ce système, appelé système métrique , parce qu'il a pour base le mètre. ”

“ Si, en multipliant, on n'a pas égard aux zéros qui se trouvent à la droite des facteurs, que faut-il faire? - Que doit-on faire lorsqu'il se trouve des zéros entre les chiffres significatifs du multiplicateur? ,
DOUZIÈME LEÇON.
DE LA DIVISION.
La division est une opération par laquelle on partage un nombre appelé dividende, en autant de parties égales qu'il y a d'unités dans un autre nombre appelé diviseur. ”

“ Le chiffre 5, qui représentait des unités, ne représente plus que des centièmes ; le chiffre 1, qui valait une dixaine , ne vaut plus que 1 dixième ; et le chiffre 3 , qui représentait 5 centaines , ne représente plus que 5 unités ; tous les trois ont été rendus 100 fois plus petits. Puisque tous les chiffres qui composaient ce nombre ont été rendus 100 fois plus petits , le nombre lui-même a été rendu 100 fois plus petit : on prouverait de même qu'un nombre est rendu 100 fois plus grand, si l'on recule le point de deux rangs vers la droite *. ”

“ Les unités principales du nouveau système sont au nombre de six : le mètre, l'are, le stère, le litre, le gramme et le franc. (Voyez 6e leçon, section 1re.) 1° Mesures de Longueur.
Le mètre est l'unité de longueur ; c'est la dixmillionième partie du quart du méridien de notre globe. ”

“ Comment ramène-t-on une règle de trois composée à une règle de trois simple? — On demande combien 12 maçons, en 17 jours, feront de mètres de maçonnerie, sachant que 6 maçons, en 6 jours, en ont fait 411 mètres 45 cent. ? — Un courrier, en marchant 45 heures par jour, a fait en 20 jours 375 lieues ; combien doit-il marcher d'heures par jour pour faire 400 lieues en 18 jours? ”

“ Lorsque le dividende seul est complexe, on com- mence à diviser par le nombre entier diviseur, le nombre de la plus grande espèce donnée, et s'il y a un reste, on le convertit en unités d'espèce immédiatement inférieure , en y ajoutant les unités de la même espèce qui peuvent se trouver au dividende ”

“ Si dans le nombre inférieur il se trouve qu'un chiffre soit plus grand que celui qui lui correspond dans le nombre supérieur, alors on ajoute 10 au chiffre supérieur pour pouvoir soustraire, et on compense ces 10 en ajoutant 1 au chiffre suivant du nombre inférieur. ”

“ Le cultivateur n'est pas un homme oisif, tel qu'on en trouve souvent dans les villes. Il a toujours à travailler, et c'est ce travail, ce mouvement continuel qui le préserve des maladies et le fait jouir d'une bonne santé. ”

“ Si l'on veut convertir des unités supérieures du nouveau système, en unités d'espèce inférieure, il faut écrire, à droite des unités supérieures, autant de zéros qu'il y a de places depuis ces unités jusqu'à l'espèce inférieure dans laquelle on veut les convertir. ”

“ Il aime à s'entretenir avec elle ; il montre à ses enfans le chemin qui conduit à la vertu, ce chemin qui semble au premier coup d'œil rude et difficile , mais qui ne paraît plus pénible une fois qu'on y est entré; au contraire, il est doux, facile et plus agréable que celui qui conduit au vice. Supposons qu'un cultivateur possède 20 arpens de terre. ”

“ La forme du globe que nous habitons est ronde ; si elle nous paraît aplatie , c'est que nous n'en pouvons découvrir avec nos yeux qu'une très-petite partie. Sa rondeur n'est pourtant pas tout-à-fait celle d'une boule ”