Émile Bède

“ A la ligne droite correspond la surface plane ou le plan ; c'est la seule surface sur laquelle on puisse entièrement appliquer une ligne droite dans tous les sens, ou,
ce qui revient au même, c'est une surface telle qu'en joignant deux quelconques de ses points par une ligne droite, celle-ci y soit contenue tout entière.
Toute surface qui n'est ni plane ni composée de surfaces planes est une surface courbe. ”

“ Lorsqu'une droite ED en rencontre une autre AB au point D, par exemple, elle forme avec elle deux angles EDA, EDB (fig. 4) , qu'on nomme adjacents; si ces deux angles sont parfaitement égaux, c'est-à-dire si la ligne ED ne penche pas plus vers le point A que vers le point B, les deux angles sont appelés droits, et la ligne ED est dite perpendiculaire sur AB.
L'angle CDB, plus petit que l'angle droit EDB, se nomme
angle aigu, et l'angle CDA, plus grand qu'un angle droit, est appelé obtus.
8. Tous les angles droits sont égaux entre eux. ”

“ Cette impossibilité provient de ce que la somme des angles plans d'un angle polyèdre ne peut être égale à quatre angles droits : on ne peut donc pas former un polyèdre régulier avec un polygone régulier quelconque : ainsi considérons un hexagone régulier; chacun de ses angles est égal à A d'angle droit, trois de ces angles formeraient donc quatre angles droits; nous ne pouvons donc réunir trois angles d'un hexagone, et à plus forte raison d'un polygone d'un plus grand nombre de côtés ”

“ Une pyramide a pour mesure le produit de sa base par le tiers de sa hauteur.
Soit la pyramide triangulaire SACB ; menons par les points A et B les lignes AD, BE égales et parallèles à SC, et achevons le prisme triangulaire DSEACB, qui a même base et même hauteur que la pyramide; menons un plan par les trois points S, A, E. Le prisme se trouve ainsi composé-de trois pyramides SACB , SADE , SABE, qui sont équivalentes. ”

“ Une droite ne peut rencontrer une circonférence en plus de deux points.
Toute droite qui coupe une circonférence en deux points est une sécante.
Toute droite qui ne rencontre une circonférence qu'en un seul point, qui ne fait ainsi que la toucher, est une tangente. ”

“ L'hexagone (fig. 75) est le polygone de six côtés. La longueur du côté d'un hexagone inscrit dans une circonférence est égale au rayon de cette circonférence. En effet, l'angle AOB est évidemment un sixième de quatre angles droits ou ou f d'un angle droit; les angles OAB, OBA, sont égaux comme opposés dans un triangle isocèle; leur somme égale deux angles droits, moins l'angle ~AOB = 1/3 d'un angle droit ou ~1 d'angle droit : or, étant égaux, chacun vaut d'angle droit. ”

“ Toute ligne qui peut être entièrement contenue dans .un plan, par conséquent toute ligne tracée sur une surface plane est une ligne plane. Parmi les lignes courbes planes il y en a une fort remarquable, et c'est la seule dont nous nous occuperons; on l'appelle circonférence de cercle, ou simplement circonférence ; c'est une ligne dont tous les points sont à la même distance d'un point intérieur 0 que l'on appelle centre. ”

“ Le carré est le polygone régulier de quatre côtés; on l'inscrit dans une circonférence en menant deux diamètres perpendiculaires; les extrémités de ces diamètres seront les sommets du carré.
81. Le pentagone est le polygone régulier à cinq côtés. ”

“ En un mot, les angles ayant leurs sommets au centre d'une circonférence sont proportion-
nels aux arcs que leurs côtés comprennent sur cette circonférence (fig. 48) .
Par suite de cette proportionnalité, un angle peut être mesuré par l'arc décrit de son sommet comme centre, et compris entre ses deux côtés.
On voit que deux diamètres perpendiculaires entre eux partagent la circonférence en quatre parties égales appelées quadrants. L'angle droit AOD, par exemple, intercepte donc un quadrant entre ses côtés (fig. 48) . ”

“ Deux droites menées dans un même plan et suffisamment prolongées doivent en général se rencontrer; parfois il arrive que, prolongées aussi loin que l'on veut, elles ne se rencontrent pas. Ce sont alors deux droites parallèles.
Deux droites qui se rencontrent et que l'on prolonge jusqu'à l'infini à partir de leur point de rencontre renferment entre elles une certaine portion du plan qui les contient. Cette portion de plan est appelée angle.
On l'énonce par trois lettres, en ayant soin de mettre au milieu la lettre qui se trouve au point d'intersection ; ainsi, l'on dira l'angle BAC ou CAB ”

“ La perpendiculaire commune aux deux bases est la hauteur du parallélipipède.
110. Quand la base inférieure GHFE est un carré et qu'on prend GF, EF, ED égales, les faces sont des carrés égaux, et le solide ainsi formé prend le nom de cube. Tout le monde a vu un dé à jouer (par exemple) . Le cube est le solide qui sert d'unité dans la mesure des volumes, comme le carré au chap. ”

“ De même un carré et un losange ont leurs côtés homologues proportionnels et ne sont pourtant pas semblables, car ils n'ont pas leurs angles égaux.
Pour faire sur la ligne LK (fig. 59) , homologue de ED (fig. 60) , un polygone semblable au polygone ABCDE, tracez d'abord les diagonales AC, AD; faites au point L un angle = E, et au point K l'angle LKF=EDA ”

“ Nous.allons passer maintenant à la considération des corps solides, c'est-à-dire des corps qui ont les trois dimensions de l'étendue : longueur, largeur et hauteur; ils portent le nom général de polyèdres. ”

“ Par trois points non en ligne droite on peut faire passer une circonférence, et l'on n'en peut faire passer qu'une (fig. 43) . Je joins A, B, C, j'élève au milieu de AB et de BC une perpendiculaire DI et une autre HK. Ces deux perpendiculaires doivent se rencontrer en un point 0, car si elles étaient parallèles, AB perpendiculaire à HK le serait aussi à sa parallèle supposée ID, mais BC est perpendiculaire à DI. On aurait donc du même point B deux perpendiculaires à DI, ce qui est impossible. Donc HK et DI se
rencontrent. ”

“ Si l'on mène
le rayon OC , on remarque que le triangle AOC est isocèle, par conséquent (n° 16) l'angle A=C. L'angle extérieur BOC vaut (nO 30) les deux angles A et C, ou deux fois l'angle A. Mais il a pour mesure l'arc BC : donc A a pour mesure la moitié de l'arc BC. C. Q. F. D.
52. De cette proposition on déduit cette conséquence remarquable, que tout angle inscrit dans une demi-circonférence est un angle droit, ou que deux droites me-
nées des extrémités d'un diamètre à un même point d'une circonférence sont perpendiculaires. ”

“ On mesure cette inclinaison par l'angle BAC que forment deux perpendiculaires à l'intersection MP, et tracées, l'une dans le plan MN, l'autre dans le plan PQ, par un même point A pris à volonté sur l'intersection des deux plans; ainsi, les deux plans seraient perpendiculaires entre
eux si l'angle BAC était droit. -92. Une ligne droite est dite perpendiculaire à un plan quand elle fait des angles droits avec toutes celles qu'on pourrait tracer par son pied dans ce plan. ”

“ Il nous reste donc le triangle équilatéral, le carré et le pentagone.
On ne peut réunir que trois faces du carré (car quatre faces donneraient quatre angles droits) . On obtient ainsi le cube.
Les angles du triangle équilatéral étant égaux à t d'angle droit, on peut en réunir jusqu'à 5 l'un contre l'autre ; en en réunissant 5 on forme le tétraèdre réqulier, en en réunissant 4 l'octaèdre
polyèdre à huit faces, en en réunissant 5 l'icosatdre poyèdre à vingt faces. -
Enfin, les angles du pentagone étant égaux à ! ”

“ Il suffit,pourqu'une droite BA soit perpendiculaire à un plan, qu'elle le soit à deux droites AC, AD, tracées par son pied dans ce plan, car dès qu'elle l'est à deux, elle l'est à une autre quelconque AI, et par conséquent au plan. ”

“ Ainsi donc, les côtés AC et DF, BC et EF, doivent coïncider: donc les points de rencontre C et F de ces droites coïncideront, et par suite les deux triangles. (C.Q.F.D.)
b) Deux triangles rectangles (b) sont égaux lorsqu'ils ont l'hypoténuse et un des côtés de l'angle droit égaux chacun à chacun. Ainsi (fig. 24 et 25) ADB=A'D'B' et ABC = A'B'C'. ”

“ On nomme en général polygones les figures planes qui ont plusieurs côtés; triangle celle qui a trois côtés; quadrilatère celle qui en a quatre ; pentagone celle qui en a cinq; hexagone celle qui en a six, etc.
Parallélogramme.
33. On appelle ainsi un quadrilatère dans lequel les côtés opposés sont parallèles.
Après avoir tra-
cé la ligne DB, qui porte le nom de diagonale, on prou-
verait sans peine que les côtés opposés et les angles opposés sont égaux ”

“ RAPPORT DE LA CIRCONFÉRENCE AU DIAMÈTRE.
88. On démontre sans peine que deux circonférences de cercle quelconques sont proportionnelles à leurs rayons ou à leurs diamètres, ou, en d'autres termes, que le rapport de la circonférence au diamètre est le même pour tous les cercles.
- La détermination de ce rapport est assez difficile, nous ne la développerons pas ; nous nous contenterons de donner une idée de la principale méthode employée pour y arriver, celle des isopérimètres. On a un polygone régulier d'un nombre m de côtés, inscrit à une certaine circonfé-
rence et circonscrit à une autre. ”

“ AIG : ABC :: AI : AB ou :: DE : AB, car ADEI est un parallélogramme et DE = AI. D'un autre côté, les deux triangles ABC et DEF étant semblables, on a (n° 77) ABC : DEF :: AB2 : DE2, d'où DE : AB :: √ DEF : √ ABC, et par suite AIC : ABC :: √DEF : v' ABC, d'où enfin ÂÏC2" = DEF X ABC.
(C. Q. F. D.) POLYÈDRES RÉGULIERS.
123. Un polyèdre est régulier lorsque toutes ses faces
sont des polygones réguliers et que tous les angles diè- dres sont égaux entre eux, ainsi que tous les angles polyèdres. ”

“ Il est donc ~galement impossible d'abaisser deux perpendiculaires un même point sur la même droite.
22. La perpendiculaire AB est toujours plus courte qu'une blique quelconque. En prolongeant AB (fig. 20) d'une lantité égale BK et joignant CK, il arrive que AC = CK, risque les deux triangles ABC et CBK sont égaux comme ant un angle ABC = CBK compris entre deux côtés AB BK par construction et CB commun : or, la droite AK ant plus courte que la ligne brisée ACK, AB moitié de AK ra plus courte que AC moitié de la ligne ACK. (C. Q. F. D.)
23. ”

“ Réciproquement lorsque, deux droites
dans le même plan étant coupées par une sécante, les angles alternes-internes sont égaux, les droites sont parallèles. Du point G, milieu de la droite OP, abaissons une perpendiculaire GH sur AB. Elle seraaussi perpendiculaire sur CD, en vertu de la réciproque du n#26. Alors
JC8 deux triangles PGH, OGK seront des triangles rectangles égaux ”

“ En effet, soient P, P' les surfaces de deux parallélogrammes ayant l'un pour base b et pour hauteur h, l'autre pour base b' et pour hauteur h'; soit p la surface d'un parallélogramme intermédiaire, ayant pour base b et pour hauteur h', on aura (nU 67) P:p::h:h', et (no 68) p: pl : : b: b', d'où en multipliant les deux proportions p;p/::&/i:6W.
70. Cette proportionnalité des surfaces des parallélogrammes aux produits de leurs bases par leurs hauteurs a
fait prendre ces produits pour mesures de ces surfaces. ”

“ Cette manière de s'exprimer
suppose un raisonnement analogue a celui que nous avons fait (n° 70) dans l'évaluation du rectangle, c'està-dire qu'il faut admettre une unité de volume relative à l'unité de longueur.
Ainsi, si l'on suppose que AD contienne six fois l'unitéde longueur, que AC la contienne trois fois, et que la hauteur AB la contienne sept fois, le parallélipipède MBPNCADQ contiendra 6X5X7 fois, ou 126 fois le petitcubembpncadq. ”