Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica

“ Selon la manière de parler ordinaire, les principes mathématiques sont ceux qui consistent dans les mathématiques pures, comme nombres, arithmétique, géométrie. Mais les principes métaphysiques regardent des notions plus générales, comme la cause et l’effet. ”

“ Or, si les mathématiques elles-mêmes ne peuvent toucher la réalité, ne fût-ce que du bout de l’aile, sans y perdre quelque chose de leur idéale rigueur, comment l’induction philosophique, dont l’essence et la loi sont de se rattacher à l’âme vivante et de suivre les multiples mouvemens d’un être libre et sensible, revêtirait-elle sans les fausser, ou sans se fausser elle-même, les formes raides de l’abstraction mathématique? La confusion des méthodes n’a jamais produit que les erreurs les plus désastreuses. ”

“ Ce qu’il y a de meilleur dans les mathématiques mérite, non pas seulement d’être appris comme un devoir, mais d’être assimilé comme une portion de la pensée quotidienne et ramené plusieurs fois devant l’esprit en guise d’encouragement sans cesse renouvelé. ”

“ C'est, en effet, dans un sens purement logique que nous avons toujours reconnu à l'analyse mathématique une importance vraiment propre et prépondérante, comme offrant, par sa nature, l'exercice le plus fécond et le plus décisif de l'art élémentaire du raisonnement positif, d'après l'admirable facilité que l'extrême simplicité du sujet y présente pour multiplier et varier les conséquences pleinement rigoureuses: aucune autre étude, même mathématique, ne saurait aussi nettement caractériser l'aptitude déductive de l'esprit humain. ”

“ La raison mathématique se contente de fournir, dans le domaine le plus favorable, un type de clarté, de précision et de consistance dont la contemplation familière peut seule disposer l’esprit à rendre les autres conceptions aussi parfaites que le comporte leur nature. ”

“ Elle n'induit point en erreur sur le véritable but final des mathématiques; seulement elle présente comme direct un objet qui, presque toujours, est, au contraire, fort indirect, et par là, elle ne fait nullement concevoir la nature de la science. ”

“ Il faudra un jour qu’une philosophie de la mathématique s’occupe de l’ensemble de la question et qu’elle se demande comment il se peut que le renversement, par la généralisation, de toutes les limites de l’intuition et de la possibilité réelle conduise précisément aux formules les plus simples, qui, dans leur application à la réalité, restent incontestées. ”

“ Mais, bien différentes des abstractions métaphysiques, celles de la mathématique sont extraites des propriétés sensibles et mesurables des corps ; elles constituent une philosophie physique. Il en résulte que les vérités mathématiques, bien qu’intangibles par elles-mêmes, peuvent être comparées sans cesse à la nature qui, sans jamais les dégager entièrement, laisse paraître qu’elles sont toutes en elles. ”

“ Nous savons aujourd’hui que les mathématiques pures ne peuvent jamais trancher des problèmes de l’existence réelle : le monde de la raison gouverne, dans un certain sens, le monde des phénomènes, mais il n’est jamais créateur de phénomènes et dans l’application de ses résultats au monde de l’espace et du temps, les approximations et les hypothèses commodes lui font perdre de sa certitude et de sa précision. ”

“ Les théorèmes et les formules mathématiques sont rarement susceptibles d'une application complète à l'étude effective des phénomènes naturels, quand on veut dépasser la plus extrême simplicité dans les conditions réelles des problèmes. Mais le véritable esprit mathématique, si distinct de l'esprit algébrique, avec lequel on le confond trop souvent 20, est, au contraire, constamment applicable; et sa connaissance approfondie constitue, à mes yeux, le plus intéressant résultat que les physiciens puissent retirer d'une étude philosophique de la science mathématique. ”

“ Les Mathématiques pures se bornent à spéculer sur les grandeurs abstraites. Elles forment une science de raisonnement qui se déduit de notions primitives, d’axiomes, sans rien emprunter à l’expérience. Ses branches sont l’arithmétique, la géométrie et l’analyse (algèbre et calcul infinitésimal) . ”

“ Aujourd'hui, en effet, la science mathématique est bien moins importante par les connaissances, très-réelles et très-précieuses néanmoins, qui la composent directement, que comme constituant l'instrument le plus puissant que l'esprit humain puisse employer dans la recherche des lois des phénomènes naturels. ”

“ Mais lorsqu’on les a enfin découverts on constate qu’ils sont en petit nombre et qu’ils sont la seule source de tout ce que contiennent les mathématiques pures. Cette constatation, que les mathématiques tout entières découlent nécessairement d’un petit nombre de lois fondamentales, est de nature à rehausser considérablement la beauté intellectuelle de l’ensemble ”

“ Dans les mathématiques on construit les êtres sur lesquels on opère, c'est-à-dire on les crée. Toutes les parties des mathématiques pures reposent sur quelque chose d'idéal, et ne conduisent qu'à l'idéal. Au contraire, la philosophie tend à la réalité, et veut arriver aux existences. ”

“ Ainsi, quand on se borne à définir les mathématiques comme ayant pour objet la mesure des grandeurs, on en donne une idée fort imparfaite, car il est même impossible de voir par là comment il y a lieu, sous ce rapport, à une science quelconque, et surtout à une science aussi vaste et aussi profonde qu'est réputée l'être avec raison la science mathématique. ”

“ Il ne faut pas croire, bien entendu, que dans la nature les faits se passent avec cette précision mathématique, car de nombreuses influences viennent entraver ou modifier le principe dans son application. ”

“ Mais alors l’existence du fait mathématique est liée à l’existence de la science mathématique même ; le fait résulte du progrès de la science, avant d’y concourir : « La mathématique ne se passe pas de l’expérience, telle est la thèse empiriste. Nous y adhérons, mais à la condition d’ajouter qu’il s’agit d’une certaine expérience qui, inversement, n’existerait pas sans la mathématique [24] . » ”

“ Pour que nous pussions voir dans les mathématiques l’objectivation de la pensée elle-même, il faudrait que les lois en fussent parfaitement intelligibles ; or l’esprit n’arrive pas à se les assimiler sans se faire quelque violence. D’ailleurs, nos mathématiques représentent une forme particulière de la mathématique ; d’autres sont possibles, et, si nous tenons à celles-ci, c’est uniquement parce qu’elles sont plus simples, ou plus commodes pour comprendre les phénomènes extérieurs. ”

“ En présentant cette comparaison sous un nouveau point de vue, on peut dire que la mathématique concrète a un caractère philosophique essentiellement expérimental, physique, phénoménal; tandis que celui de la mathématique abstraite est purement logique, rationnel. Ce n'est pas ici le lieu de discuter exactement les procédés qu'emploie l'esprit humain pour découvrir les lois mathématiques des phénomènes. ”

“ Les modernes ont enfin, depuis quelque temps, rejeté les forces essentielles et les qualités occultes, pour rappeler les phénomènes naturels à des lois mathématiques. Je me suis proposé dans ce traité de contribuer à cet objet, en cultivant les Mathématiques en ce qu'elles ont de rapport avec la philosophie naturelle. ”

“ De là aussi cette croyance que pour orienter ses travaux dans la bonne voie, le mathématicien n’a qu’à rechercher ce qui est simple et ce qui est « beau ».
Chez les modernes, au contraire, — qui ne croient plus à une harmonie préétablie entre la matière et la forme des théories — le travail de la pensée mathématique prend un caractère tout différent. Le but est de saisir, de forcer un objet qui nous résiste. ”

“ Parmi les sciences, il en est une qui, toute spéculative en son essence, voisine par-là de la construction philosophique, n’est qu’une longue série de notions enchaînées par un lien nécessaire : la mathématique. ”

“ Dans l'étude philosophique de la mathématique concrète, je m'attacherai à faire exactement apprécier cette seconde propriété caractéristique de l'analyse transcendante, non moins admirable que la première, et en vertu de laquelle le système entier d'une science immense, comme la géométrie ou la mécanique, a pu se trouver condensé en un petit nombre de formules analytiques, d'où l'esprit humain peut déduire, par des règles certaines et invariables, la solution de tous les problèmes particuliers. ”

“ L'analyse mathématique est donc, d'après les principes que nous avons constamment suivis jusqu'ici, la véritable base rationnelle du système entier de nos connaissances positives. Elle constitue la première et la plus parfaite de toutes les sciences fondamentales. Les idées dont elle s'occupe, sont les plus universelles, les plus abstraites et les plus simples que nous puissions réellement concevoir. ”

“ Cet art de vivre est l’occasion d’une science, au sens véritable du mot, qui recherche déjà la nécessité, et qui réalise l’accord des esprits par des définitions simples et claires et des démonstrations rigoureuses ; on peut appeler cette science d’une manière générale la Mathématique, et la Mathématique, quoiqu’elle suppose les faits, est pourtant indépendante des faits. ”

“ Lorsqu'on préconise les mathématiques, comme le modèle par excellence d'une méthode pour apprendre (p. 237) à raisonner, sait-on bien à quelles conditions la logique de la géométrie est si rigoureuse, pourquoi ses démonstrations sont si évidentes? Ces sciences qui se sont décorées du nom d'exactes, ne doivent cette exactitude qu'à l'absence de réalité des objets sur lesquels elles opèrent. Ces objets ne sont que des pures abstractions, des points de vue de l'esprit, des entités idéales mais qui n'ont pas d'existence dans la nature. ”

“ Tandis que les vraies théories mathématiques ont fait, depuis un siècle, de si grands et si utiles progrès, cette absurde doctrine, sauf les occasions de calcul abstrait qu'elle a pu susciter, n'a véritablement subi, pendant le même temps, malgré de nombreux et importans essais, aucune amélioration essentielle, et se retrouve aujourd'hui placée dans le même cercle d'erreurs primitives, quoique la fécondité des conceptions constitue certainement, à l'égard d'une science quelconque, le symptôme le moins équivoque de la réalité des spéculations. ”

“ Il s’en faut de beaucoup ; il semble qu’en s’arithmétisant, en s’idéalisant pour ainsi dire, la mathématique s’éloignait de la nature et le philosophe peut toujours se demander si les procédés du calcul différentiel et intégral, aujourd’hui complètement justifiés au point de vue logique, peuvent être légitimement appliqués à la nature. ”

“ Ces analogies demandées aux mathématiques peuvent faire entendre ce que sont les Idées, leur nature et leur existence. Les Idées sont dans les choses comme y sont les surfaces, les lignes, les points, les unités ; et c’est la raison aussi qui les en tire. Néanmoins, il y a une grande différence entre les Idées et les entités de l’arithmétique ou de la géométrie. dans le monde mathématique, tout est non seulement immobile, mais impassible ; tout ce que les mathématiques exigent, c’est l’acquiescement de l’intelligence aux vérités qu’elles lui découvrent. ”

“ Sous les noms divers de jugements synthétiques a priori, postulats, définitions, axiomes, faits fondamentaux, les mathématiciens philosophes admettent, soit comme venant de l’expérience, soit comme venant de l’esprit, des principes bruts et impénétrables. En fait, les mathématiques se sont constituées et se perfectionnent par un travail de généralisation qui consiste à imaginer des axiomes et des définitions permettant de développer les démonstrations avec le plus de continuité, le moins de lacunes possible. ”

“ Si j’avais répondu non, c’est parce que « le principe d’induction complète » me paraissait à la fois nécessaire au mathématicien et irréductible à la logique. On sait quel est l’énoncé de ce principe :
« Si une propriété est vraie du nombre , et si l’on établit qu’elle est vraie de pourvu qu’elle le soit de , elle sera vraie de tous les nombres entiers. » J’y voyais le raisonnement mathématique par excellence. Je ne voulais pas dire, comme on l’a cru, que tous les raisonnements mathématiques peuvent se réduire à une application de ce principe. ”

“ Non seulement les mathématiques sont indépendantes de nous et de nos pensées, mais, d’autre part, nous sommes indépendants et l’univers entier des choses existantes est indépendant des mathématiques. Il est indispensable d’avoir bien saisi leur caractère purement idéal avant de pouvoir comprendre convenablement la place des mathématiques parmi les arts. On croyait autrefois que la raison pure décidait, à certains égards, de la nature du monde réel : on croyait au moins que la géométrie régit l’espace dans lequel nous vivons. ”

“ Entendue selon sa vraie nature, comme un système de jugements synthétiques à priori, la mathématique est justifiée, du moment où les objets ne peuvent nous affecter qu’en se soumettant aux lois de l’espace et du temps. Sans doute nous ne pouvons dire que les choses possèdent, en elles-mêmes, des manières d’être que nous ne nous expliquons que comme formes de notre facultés de sentir. Mais nous savons que tout objet de notre sensibilité sera conforme à la mathématique, ce qui suffit à assurer l’objectivité de cette science. ”

“ « La mathématique n’existerait pas si les êtres dont elle traite n’étaient pas des concepts vivants, pleins de contenu intuitif, répondant à des états d’âme réels, à des idées qui quoique abstraites sont nées du moins directement de la vie et de l’observation. » L’auteur délimite, d’ailleurs, son sujet avec précision, il n’étudie que la notion d’infini considérée comme distincte du fini et de l’indéfini. ”

“ Voyons donc comment, en partant de cette grossière ébauche, on peut s'élever à une véritable définition de la mathématique, à une définition qui soit digne de correspondre à l'importance, à l'étendue et à la difficulté de la science.
La question de mesurer une grandeur ne présente par elle-même à l'esprit d'autre idée que celle de la simple comparaison immédiate de cette grandeur avec une autre grandeur semblable supposée connue, qu'on prend pour unité entre toutes celles de la même espèce. ”