Verticale

“ Construire la projection verticale d'une droite dont on connaît les projections d'un de ses points, la projection horizontale d'un autre de ses points, et l'angle qu'elle fait, soit avec le plan horizontal, soit avec le plan vertical. ”

“ « La verticale est la direction suivant laquelle les graves ou corps pesants tombent lorsqu'ils sont abandonnés à eux-mêmes : la verticale est donc une ligne droite déterminée par le fil à plomb librement suspendu.
« Le fil à plomb est un fil à l'extrémité duquel se trouve une petite masse de plomb. Voir fig. 2.
« L'horizontale est une ligne qui fait un angle droit avec la verticale.
« L'oblique est une droite qui fait un angle aigu d'un côté, etun angle obtus de l'autre, avec une droite qu'elle rencontre.» ”

“ EST VERTICALE. — Puisque deux verticales quelconques sont toujours dans un même plan, il est bien facile de s'assurer si une ligne droite est verticale ou non. Si elle est verticale, on doit pouvoir projeter sur elle, par la vision, un fil à plomb, et cela dans quelque direction que l'on fasse cette épreuve. ”

“ Nous en citerons un exemple pour finir. Considérons la figure 5 : si je vous disais que les lignes A A' et C C', B B' et D D' se rencontrent respectivement sur la verticale de gauche, vous me ririez au nez, et vous m'affirmeriez que les obliques de droite viennent couper cette verticale bien au- dessous de l'extrémité de chaque oblique gauche correspondante. ”

“ Pour cela on suppose, lorsqu'on regarde la projection horizontale d'un corps, que l'œil est placé au-dessus de ce corps à une distance infiniment grande, et lorsqu'on regarde la projection verticale, on est censé être placé devant le plan vertical de projection, et infiniment loin de ce plan. ”

“ S'agit-il de tracer une verticale sur un plan vertical donné; on fait marquer sur ce plan, deux points de la trace d'un plan qui passe par l'œil et par le fil-à-plomb, puis on joint ces deux points par une droite, et cette droite se trouve verticale. 1 269. L'intersection d'un plan horizontal et d'un plan quelconque, est une horizontale. ”

“ La ligne sera horizontale si le fil à plomb du niveau couvre bien la ligne verticale tracée sur le milieu de la traverse du bas, et que l'on nomme ligne de foi. L'erreur sera immédiatement rectifiée à la craie.
5. — Tracer une verticale, fig. 2. La verticale est d'une exécution plus difficile que l'horizontale. Les élèves, habitués à donner à l'écriture une pente de droite à gauche, conservent cette habitude les premiers jours dans le tracé des verticales : le maître, prévenu de cette tendance d'inclinaison vers la gauche, y donnera une attention particulière. ”

“ Prenons la verticale qui passe par l’œil pour l’axe des par son pied, faisons passer sur la surface de l’eau deux droites fixes quelconques, perpendiculaires entre elles, que nous prendrons pour axes des et des soient un point quelconque et son image ; soient désignées par les coordonnées du premier et par celles du second ”

“ Élevons sur le milieu de notre ligne donnée une verticale indéfinie qui se prolongera au-dessus de l'arc de cercle, et sur la partie supérieure de cette verticale, du point supérieur d'intersection de cet arc avec notre verticale, traçons comme centre une série de six cercles concentriques qui viendront couper la verticale en six points. Au premier point de rencontre du plus petit cercle avec la verticale, on placera la pointe sèche du compas jusqu'à la rencontre de l'une ou de l'autre des extrémités de la droite donnée, et on décrira une circonférence. ”

“ Dès que l'élève a acquis une certaine habileté sur la verticale, on passe à l'horizontale, en faisant poser par l'élève lui-même les points extrêmes de sa longueur et en procédant progressivement ; puis on passera à la ligne oblique, dans tous les sens, en observant toujours rigoureusement la position des points-sommets et des points-bases. ”

“ R. Un corps grave abandonné à lui-même tombe selon la verticale. Une bille lancée roule en ligne droite sur une surface plane. Le son, la lumière, arrivent en ligne droite. Les bâtiments, les portes, les fenêtres, sont disposés selon la verticale; les meubles, pour être d'aplomb, doivent poser sur le plancher selon la verticale.
D. Quelle est l'application du cercle dans les arts?
R. Cette application est fréquente : les roues des voitures, les roues des machines, les meules de moulin, ont la forme circulaire.
On trace les très-petites circonférences avec un compas à balustre ”

“ Ainsi une surface de niveau est une surface dont toutes les parties sont perpendiculaires à la direction de la verticale.
Cette condition qui renferme toute la théorie du nivellement (c'est-à-dire la notion de la ligne verticale et de la ligne horizontale) n'implique pas nécessairement que toutes les surfaces de niveau doivent être sphériques comme beaucoup d'auteurs semblent l'avoir admis.
8. — La terre, qui nous occupe plus spécialement, est formée d'éléments très-variables de densité. ”

“ Lorsque la mesure ne saurait être appliquée sur une verticale , le pied est visible ou invisible, accessible ou inaccessible, et l'on peut opérer au niveau de ce pied ou on ne le peut pas.
PROBL. (a) : Mesurer une verticale AB, quand le pied B est accessible et qu'on peut opérer au niveau de ce pied (P. XIV, F. 13) .
Plantez verticalement deux jalons CD, EF sur l'horizontale CB contenue dans un plan vertical ABC ; visez le sommet A , par l'extrémité D du plus petit; faites marquer le point G où l'alignement DA coupe le grand jalon ; mesurez les verticales CD , EG et les horizontales CE, EB ”

“ La verticale d'un lieu quelconque de la surface de la terre n'a donc pas la même direction que si la terre était immobile : ce n'est qu'aux pôles et tout du long de l'équateur que la.direction de la verticale n'est pas changée par l'effet de la rotation de la terre. ”

“ PROBLÈME 8. Tracer une horizontale et une verticale d'un plan (fig. 44) . Une horizontale D du plan P étant parallèle au plan horizontal, sa projection verticale Dv est parallèle à LT, sa trace verticale doit être sur Vp et sur Dv, donc en b, dont la projection horizontale est bh; la droite D étant parallèle à Hp, sa projection horizontale Dh doit être aussi parallèle à Hp (n° 20, 2°) et passer par bh. ”

“ Il en serait de même pour une ligne verticale de 25 mètres, par exemple, il s'agirait simplement de mener des extrémités de la ligne BY des lignes au point de vue. Toutes les verticales comprises entre ces deux lignes seront toutes de la même longueur de 25 mètres.
F. 6. — Un bâtiment vu de front est celui qui a une de ses faces parallèles au tableau, l'autre face qu'on appelle face fuyante a ses lignes horizontales qui se dirigent au point de vue. ”

“ J'ajoute que, plus le plan occupé par les pieds aura une surface étendue, plus la verticale abaissée du centre de gravité tombera facilement dans ce plan ; plus alors la station verticale sera facile. — Sans faire aucune allusion, aux dimensions exagérées des extrémités de certains de nos semblables, qui, dit-on, ont de si grands pieds qu'ils peuvent dormir debout, vous comprendrez très bien qu'un léger écartement des pieds rend la station verticale plus stable et moins pénible. ”

“ Changeons présentement les rôles ; supposons que le point lumineux est dans l’air, tandis que l’œil est, au contraire, plongé dans l’eau. Soit toujours (fig. 6) le plan de la figure un plan vertical passant par l’objet et par l’œil, soit l’intersection de ce plan avec la surface de l’eau ; prenons cette droite pour axe des Soit l’objet ; et prenons pour axe des la verticale conduite par Soit un rayon incident quelconque et soit le même rayon réfracté. ”

“ Nous devons entrer ici dans quelques détails sur les sections horizontales sans revenir sur ce que nous avons dit de ce mode de représentation du relief du sol dans notre avantpropos et aux paragraphes 291-295.
Il nous suffit de rappeler que la surface du sol est considérée, dans ce système, comme engendrée par un plan horizontal, ou une surface de niveau, se mouvant d'un mouvement uniforme suivant une verticale, de manière à se déplacer parallèlement à elle-même. ”

“ En général, on suppose les corps entièrement situés dans l'angle antérieur supérieur.
3. On rapporte les objets aux plans de projections, en abaissant de tous leurs points des perpendiculaires sur chacun d'eux; ces perpendiculaires s'appellent projetantes des points; chaque pied est la projection d'un point ; l'ensemble des pieds, ou mieux le lieu des pieds, forme deux figures qui sont dites l'une projection horizontale, l'autre projection verticale de l'objet. ”

“ Alphabet de la droite. Une droite peut affecter dans l'espace (et ainsi par rapport aux deux plans de projection) un grand nombre de positions, qu'on exprime, sur l'épure, par les situations respectives de ses projections par rapport à la ligne de terre, et par la ponctuation de ses projections.
1° La droite peut être oblique par rapport aux deux plans de projection, et la
portion comprise entre ses traces horizontale et verticale, peut être située dans l'un des quatre angles dièdres ”

“ Si l'axe de la surface de révolution est vertical, tous les parallèles se projettent horizontalement en véritable grandeur, et le plan méridien parallèle au plan vertical se projettera aussi verticalement en véritable grandeur. ”

“ Fig. 2.
au vertical, sur chaque ligne d'eau, la distance au carré de l'axe longitudinal à l'intersection correspondante; servez-vous, pour les contours supérieurs, des projections horizontales des lisses de pont et de batayoles, aux points d'intersection des couples dévoyés; que la hauteur du pied s'arrête, pour l'avant, au fond de la râblure d'étrave, relativement à la position du couple; enfin, par tous ces points, décrivez une courbe, elle sera la projection verticale du couple dévoyé. ”

“ Fig. 4.
de la surface de l'eau n'est incliné d'aucun côté sur la verticale, c'est un plan horizontal; une ligne droite appliquée sur un pareil plan s'appelle une horizontale. Plongez la planchette en partie dans l'eau (fig. 4) ; quand l'agitation produite a cessé, la ligne AB qui sépare la partie immergée de la partie restante est une
ligne droite horizontale. Cette ligne s'appelle la ligne d'intersection du plan de la planchette et du plan de la surface de
l'eau. ”

“ F. 2.- C'est sur cette ligne d'horizon que se placent les points de concours de toutes les droites parallèles horizontales qui font un angle quelconque avec le tableau.
Avant d'aller plus loin, faisons remarquer qu'en géométrie deux parallèles ne doivent jamais se rencontrer; mais en perspective, au contraire, elles se rencontrent toujours par l'effet de la vision : de là les points de concours dont nous venons de parler. Deux cas cependant sont exceptés : le premier, quand les lignes sont verticales elles restent verticales en perspective ”

“ Par exemple, la fig. 106 représente une portion an plan ou de la coupe horizontale d'unmur de soutènement à section verticale rectangulaire de hauteur h, présentant une série de contre-forts à section rectangulaire de même hauteur que le mur. ”

“ Si maintenant nous changeons de plan horizontal, en prenant L'T pour ligne de terre, nous déterminerons la trace horizontale Hp' à l'aide d'une verticale R' du plan P'; enfin, changeant encore de plan vertical, en prenant LT pour ligne de terre, nous trouvons la trace verticale VP' à l'aide d'une horizontale S' du plan P'.
76. Lorsqu'une figure plane est donnée dans l'espace, il est souvent utile d'en avoir la véritable forme ”

“ XIV. Faire passer une circonférence par trois points dont le plan n'a pas ses traces dans les limites de l'épure (fig. 98) . 268 XV. Étant donnée la projection horizontale d'une courbe située dans un plan donné, trouver sa projection verticale et sa vraie grandeur. 269 XVI. Deux droites qui se coupent étant données par leurs projections, on veut mener par leur point d'intersection une troisième
Pages. ”

“ On opérerait de la même manière si le bâtiment, vu sur l'angle, avait ses points de concours aérien et terrestre placés sur la verticale menée par le point de distance ou tout autre point (fig. 6 bis) .
F. 7. - Cette figure, comme la suivante, est une application des points accidentels aérien et terrestre. Après avoir déterminé la hauteur des marches 1, 2, 3, 4; joint ces divers points au point de vue V et trouvé approximativement l'inclinaison de l'escalier 1 A, prolongez cette ligne jusqu'au point 0 (aérien) , menez BCO qui donnera la direction de la rampe. ”

“ F. 30. — Une tour ronde étant déterminée par le cercle supérieur ABC, on demande' d'indiquer un cordon perspectif à un point quelconque D de cette tour. Partagez en parties égales la verticale passant par D, comprise entre le cercle supérieur de la tour et la ligne d'horizon. Divisez en un nombre égal de parties les verticales AH et CO. Joignez les points de divisions correspondans qui vous donneront les courbes que l'on cherche.
F. 31. — Sur une tour en ruine, tracer les assises que l'on aperçoit dans l'intérieur. ”

“ PROBLÈME 14. Faire tourner un point d'un angle donné autour d'un axe per-
pendiculaire au plan vertical (fig. 55) . Ce problème ne diffère en rien du précédent, seulement le cercle C décrit par le point m est dans un plan parallèle au plan vertical, de sorte que l'angle donné a doit être formé par les projections verticales R" et R'v des rayons ( de ce cercle C ) passant par les points m et m" 59. PROBLÈME 14. Faire tourner une droite d'un angle donné autour d'un axe vertical ou perpendiculaire au plan vertical. La droite donnée peut occuper. ”

“ Pour figurer ce claveau à l'élévation, des points 1,2, 3,4,5,6, du plan, élevez des perpendiculaires ; leur rencontre avec les horizontales qui leur correspondent limite les arêtes intérieures ; celles élevées des points 7, 8,9,10,11,12,13, du plan, donnent les deux courbes HH pour les arêtes de l'extérieur; ces deux courbes sont reportées du côté de celles de l'intérieur, ce qui donne la projection verticale du claveau. ”

“ Le pas ordinaire de l'homme est de deux pieds pris horisontalement , & d'un pied verticalement. Conséquemment si vous donnez un pied de largeur ou de giron à vos marches , c'est moitié, ôc leur donnant six pouces de hauteur, vous complettez le pas, puisque six pouces de hauteur équivalent à un pied de largeur. ”