Archimède

“ Sur la pression que reçoit et transmet le liquide il n’a pas eu des vues aussi précises que sur le poids spécifique. Il n’a pas défini ces pressions ; il n’en a pas donné une théorie. Examinant ce qui se passe en des points différents d’une même couche liquide horizontale (c’est là son procédé constant de recherche) , il constate, sans plus, que la pression sera plus grande ici, plus faible là. Il ne l’étudie pas autrement ; pour aucun des divers cas qui se présentent, il ne la mesure. ”

“ Remarque. [De] ce théorème, par lequel on a établi que toute sphère vaut 4 fois le cône qui a pour base un grand cercle et pour hauteur un rayon de la sphère, [m’est venue] l’idée que la surface d’une sphère vaut quatre grands cercles. C’est en effet une hypothèse vraisemblable que, de même que tout cercle équivaut à un triangle ayant pour base la circonférence et pour hauteur le rayon, ainsi toute sphère équivaut (en volume) à un cône ayant pour base la surface de la sphère et pour hauteur le rayon [3] . ”

“ Dès qu’il tient pour accordés le glissement des molécules liquides et la direction de ce mouvement, Archimède explique aisément, sinon avec une absolue rigueur, du moins avec une admirable clarté d’évidence, comment se comportent dans les divers cas possibles, les solides flottants dans un liquide.
Il est vrai que sa théorie semble quelque peu éparse et comme émiettée : il ne la rattache pas tout entière à un principe unique, simple et compréhensif, centre autour duquel le reste ne soit plus qu’un rayonnement de corollaires. Il ne faut pas s’en étonner. ”

“ Comme dans toutes les applications du procédé d’exhaustion, Archimède décompose les volumes étudiés en tranches de plus en plus nombreuses et de plus en plus minces. Mais il ne prend pas la peine de donner au procédé sa forme irréprochable : en fait, il découpe le volume, à l’aide de plans parallèles équidistants et de plus en plus rapprochés ; mais il assimile immédiatement les tranches très minces ainsi obtenues à des aires planes ; il parle comme le ferait un partisan des indivisibles. Est-ce donc qu’il est encore incapable de traduire rigoureusement son procédé d’exhaustion ? ”

“ Car il est plus facile, une fois que par cette méthode on a acquis une certaine connaissance des questions, d’en imaginer ensuite la démonstration, que si l’on recherchait celle-ci sans aucune notion préalable. Par la même raison, les théorèmes dont Eudoxe [11] a le premier découvert la démonstration, — à savoir que le cône est le tiers du cylindre, la pyramide le tiers du prisme qui ont même base et même hauteur, — il faut en rapporter une bonne part de mérite à Démocrite [12] , qui le premier a énoncé, sans démonstration, les propositions relatives à ces figures. ”

“ Il n’est point d’autre base sur laquelle doive être établie une traduction du Traité des corps flottants. Tartaglia ou Commandin ne doivent plus être consultés qu’à titre de renseignements. C’est ainsi que j’ai procédé pour le présent travail. — Pourtant, je me suis aussi servi, pour contrôler l’état du texte, d’une source tout à fait indépendante de celle-là : les énoncés (sans démonstration) des propositions du premier Livre, traduits directement sur un manuscrit grec par le mathématicien arabe Amed-ben-Mohammed-ben-Abd-Adjalil-Alsidjzî [6] en 969 de notre ère. ”

“ II. Si les centres de gravité d’un nombre quelconque de grandeurs sont situés sur une même droite, le centre de gravité du système total sera également situé sur cette droite [3] .
III. Toute droite a pour centre de gravité le point qui la divise en deux parties égales [4] .
IV. Tout triangle a pour centre de gravité le point de rencontre de ses médianes [5] .
V. Tout parallélogramme a pour centre de gravité le point de rencontre de ses diagonales [6] .
VI. Le cercle a pour centre de gravité son centre de figure.
VII. Tout cylindre a pour centre de gravité le point milieu de son axe. ”

“ Tout segment sphérique a son centre de gravité sur son axe en un point tel que sa distance au sommet soit à sa distance à la base, comme la hauteur du segment plus quatre fois la hauteur du segment supplémentaire est à la hauteur du segment plus deux fois la hauteur du segment supplémentaire. ”

“ C’est là la manière de procéder de l’esprit grec, au moins pour l’exposition de la pensée scientifique. Elle avance pas à pas ; les vérités arrivent une à une, sans que les plus importantes paraissent dominer les autres.
Par exemple, la notion du poids spécifique dont nul avant Archimède [10] n’avait eu la moindre idée, n’est pas énoncée à part et mise au rang qui lui convenait. ”

“ La méthode d’exhaustion est au fond de ces procédés, mais ce qui en fait la fécondité, ce qui permet (à l’aide de trois quadratures distinctes seulement) de traiter une multitude de questions, c’est une notion toute moderne et qui apparaît là pour la première fois dans l’œuvre d’Archimède : la notion de moment d’une force par rapport à une droite ou à un plan. ”

“ Il faut donc nécessairement que la ligne αβγδ soit une circonférence ayant pour centre κ.
On démontrera de même que, de quelque façon que l’on coupe la surface du liquide par un plan passant au centre de la Terre, l’intersection sera une circonférence ayant pour centre celui de la Terre. ”

“ Il faut dire toutefois que les termes d’Archimède sont plus expressifs que les nôtres : le corps formé par la rotation d’une ellipse ressemble à une sphère, et de là le nom sphéroïde ; de même le corps engendré par la rotation d’une parabole ressemble à un cône. ”

“ Comme le triangle fait équilibre par rapport à Κ au segment, transporté au centre Θ (les distances de leurs centres de gravité au point fixe sont inversement proportionnelles à leurs aires) :
tr. ΑΖΓ/segm. ΑΒΓ = ΘΚ/ΚΧ = 3. D’autre part, le triangle ΓΑΖ est quadruple du triangle ΑΒΓ à cause de ΖΚ = ΚΑ, ΑΔ = ΔΓ ; donc finalement :
segm. ΑΒΓ/tr. ΑΒΓ = 4/3. [10] Ce qui précède ne constitue pas une démonstration (complète) [11] , mais suffit à donner à la conclusion une apparence de vérité. ”

“ Nous ne pousserons pas plus loin cet examen où notre compétence de simple grammairien est trop limitée aux connaissances que nous venons d’acquérir pour les besoins de la cause. Aussi bien n’avons-nous donné entier et avec des commentaires que le premier Livre, le seul qui soit d’un intérêt général. ”

“ ΑΘ/ΑΣ = ΜΣ2/ΞΣ2 + ΣΠ2 = ΜΝ2/ΞΟ2 + ΠΡ2 = carré ΜΝ/carré ΞΟ + carré ΠΡ, c’est-à-dire que le carré ΜΝ, restant en place, équilibre par rapport à Α les carrés ΞΟ, ΠΡ transportés en Θ comme centre de gravité. Cette proposition reste vraie pour n’importe quelle position du plan ΜΝ et, par conséquent, pour les sommes des trois espèces de carrés interceptés par chacun de ces plans. Donc, en totalisant, le prisme (somme des carrés ΜΝ) restant en place équilibre la pyramide (somme des carrés ΠΡ) et le volume commun aux deux cylindres (somme des carrés ΞΟ) transportés Θ comme centre de gravité commun. ”

“ À plus forte raison peut-on rendre plus petite que toute grandeur donnée la différence de chacun de ces volumes et du sabot qui est compris entre eux.
2o Je vais montrer de même (fig. 19) que si l’on trace l’arc de parabole ΗΖΕ inscrit dans le demi-cercle ΗΖΕ, on peut inscrire et circonscrire au segment parabolique ΗΖΕ deux séries de rectangles élémentaires (correspondant aux prismes élémentaires des volumes du sabot) dont la différence peut devenir plus petite que toute grandeur donnée. ”

“ Imaginons, comme précédemment, une pyramide comprenant ζ et ayant pour sommet le point κ ; ses faces seront coupées par le plan αβγ suivant ακ, κβ. Admettons une autre pyramide égale et semblable, dont les faces sont coupées par le plan αβγ suivant κβ, κγ. ”

“ Ce souci de dégager ses démonstrations de toute considération mécanique apparaît déjà dans son Traité sur la quadrature de la parabole, où il ne se satisfait que d’une démonstration strictement mathématique. ”

“ Je laisse à de plus compétents le soin d’apprécier quel accroissement la découverte de M. Heiberg apporte à notre connaissance de l’histoire de la Géométrie antique et du génie d’Archimède. Je leur laisse aussi la tâche particulièrement délicate de caractériser la valeur de cette « méthode » dont Archimède est si fier, et qu’il n’a pas cru devoir garder pour lui. ”

“ Lors du grand mouvement de renaissance scientifique en Italie, au xvie siècle, les deux savants Gauricus et Tartaglia qui, entre autres monuments de l’antiquité, voulurent connaître Archimède, le lurent dans cette traduction. ”

“ Supposons (fig. 20) que nos deux cylindres aient des axes horizontaux. Menons un plan vertical perpendiculaire à l’un de ces axes (α) et passant par le centre Κ du cube, et que ce soit le plan de la
Fig. 20. figure. Il coupera le cylindre (α) selon le cercle ΑΒΓΔ, le cube et le cylindre (β) selon le carré ΦΨΩΧ. Prolongeons ΑΒ, ΑΔ jusqu’à leurs intersections Ε, Ζ avec ΧΩ et complétons le rectangle ΕΖΗΛ : ce sera une section verticale d’un prisme rectangulaire, qui a même hauteur que le cube et pour base un carré de côté double. ”

“ Les mêmes expressions se trouveront dans les propositions II, III, IV, V et VII. Elles y ont une importance capitale. Le mode de démonstration employé par Archimède consiste à examiner ce qui se passe, pour chacun des cas qu’il envisage, dans une même couche horizontale. La seconde proposition va définir avec précision le niveau ou l’horizontalité d’une couche liquide. ”

“ Chacun de ces plans produira : 1o dans le demi-cylindre qui a une base égale à ΟΠΡ et une hauteur égale à l’axe une section en forme de rectangle, dont un côté égale ΚΣ (ou ΤΖ) et l’autre égale l’axe ; 2o dans le prisme triangulaire ΘΗΜ une autre section rectangulaire, dont un côté égale ΛΧ (ou ΥΦ) et l’autre égale l’axe. ”

“ Remarquons encore que des plans parallèles divisent un corps en un nombre infini de volumes élémentaires de hauteur infiniment petite. Ces volumes élémentaires, Archimède les assimile crûment à des plans (comme ailleurs il assimile des surfaces élémentaires à des droites) , et, d’une relation d’équilibre entre deux sections planes homologues de figures de même hauteur, placées d’une façon convenable, il conclut à l’équilibre des volumes de ces figures elles-mêmes, considérées comme la somme de ces sections. ”

“ Tout hémisphère a pour centre de gravité un point situé sur son axe et dont les distances au sommet et à la base sont dans le rapport de 5 à 3.
Soit une sphère et un plan passant par son centre qui la coupe suivant le cercle ΑΒΓΔ (fig. 8) . ”

“ R étant le rayon du cercle de base, 2h l’arête du cube, l’équidomoïde à base carrée, composé de 8 onglets ayant R pour rayon de base et h pour hauteur, a pour volume 8 × 2/3 R2h ou, puisque R = h, 16/3 h3. Le cube ayant pour volume (2h) 3 = 8h3, l’équidomoïde vaut bien les deux tiers du cube. On démontre facilement que, si B est la base [section médiane] , Η la hauteur de tout équidomoïde régulier, son volume a pour expression 2/3 BH. ”

“ Puisque hémisph. + cône (en place) équilibrent par rapport à Α le cône (en Θ) , le centre de gravité Ω du système « hémisph. + cône » doit satisfaire à l’égalité :
hémisph. + cône/cône = ΑΘ/ΑΩ, et, comme hémisph. ”