Cube (arithmétique)

“ Tant que le cube proposé n'est pas formé de plus de trois chiffres, il est inutile de faire une opération. La mémoire suffit pour reconnaître la V si c'est un cube parfait, puisqu'il n'y en a que dix depuis 1 jusqu'à 1000, ou pour reconnaître de suite le cube qui 'en approche le plus, si c'est un nombre irrationnel. ”

“ Si le nombre est décimal, fractionnaire ou fraction , le cube s'obtient de la même manière ; et de même que les nombres 10,100, 1000. sont élevés à leurs cubes en triplant le nombre des zéros, de même un nombre décimal à son cube aura toujours ses chiffres en nombre triple de ceux de la racine, et le cube pourra toujours se partager en tranches de trois chiffres, à partir de la virgule et allant vers la droite. Par exemple 10,000027 est bien un cube dont la V- est 0,03, mais 0,0027 n'est pas un cube, parce qu'on ne peut le partager exactement en tranches de 3 chiffres. ”

“ CUBE ET RACINE CUBIQUE D'UN NOMBRE DÉCIMAL
339. - Il n'existe aucune difficulté pour élever au cube un nombre décimal. Nous ferons remarquer seulement que le cube d'un nombre décimal contient toujours un nombre triple de chiffres décimaux que le nombre proposé; car le cube d'un nombre terminé par un chiffre significatif n'est jamais terminé par un zéro (326) : donc un nombre décimal terminé par un ou deux zéros, ou contenant un nombre de chiffres décimaux qui n'est pas divisible par 3, ne peut être un cube parfait. ”

“ Mais tandis que dans le premier cas, le résultat représente des mètres cubes, dans le second, ce sont des décimètres cubes. C'est donc comme si l'on élevait le nombre 6,4 à la troisième puissance.
Remarque. — On s'explique maintenant pourquoi les sous-multiples et les multiples du mètre cube sont de mille
1. De là le nom de cube sous lequel on désigne en arithmétique la troisième puissance d'un nombre
en mille fois plus petits ou plus grands. ”

“ THÉORÈME III. Le cube d'un nombre entier est terminé par le même chiffre que le cube du chiffre de ses unités. Quand On multiplie l'un par l'autre deux nombres entiers,- le chiffre des unités du produit dépend seulement du dernier chiffre de chaque facteur ; lors donc que pour élever un nombre au cube, on le multipliera deux fois par lui-même, le chiffre des unités du résultat ne dépendra que du dernier chiffre de ce nombre.
REMARQUE. Les cubes des neuf premiers nombres entiers sont 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729. Ils sont tous terminés par des chiffres différents ”

“ Lorsque le numérateur, ni le dénominateur d'une fraction arithmétique n'est un cube parfait,
on multiplie les deux termes de la fraction arithmétique par le carré du dénominateur , ce qui ne change pas la valeur de la fraction. Par cette préparation , le dénominateur est devenu un cube parfait , ensorte que l'extraction de la racine cubique rentre dans le cas précédent. ”

“ Définition de cette opération. Le nombre des chiffres d'une racine cubique se déduit de celui composant son cube. Solution du premier cas. Il existe une plus grande quantité de cubes irrationnels, qu'il n'existe de carrés incommensurables dans la suite des nombres. Analyse des autres cas de l'extraction des racines cubiques. Règle générale pour effectuer cette opération, suivie de deux exemples 216.222 'J?3 et 374* Moyens de vérifier le dernier chiffre mis à la racine cubique. Formule de laquelle on les déduit. ”

“ La formation du cube d'un nombre formé de plusieurs chiffres n'offre rien de particulier, quant à l'opération, il se compose de quatre parties, savoir : le cube des unités, le triple carré des dizaines multiplié par les unités, le triple carré des unités multiplié par les dizaines, et le cube des dizaines. ”

“ REMARQUE. La différence des cubes de deux nombres entiers consécutifs est égale à trois fois le carré du plus petit, plus trois fois le plus petit, plus 1. Si, en effet, on désigne ces deux nombres par a et a + 1, on a, en vertu du théorème précédent, (a + 1) 8 = aS + 3a2 + 3a + 1 ; la différence (a + 1) 3 — aS est donc 3a8 + 3a + l.
291. THÉORÈME II. Le cube d'un produit est égal au produit des cubes des facteurs. ”

“ La troisième puissance ou produit de trois facteurs égaux porte le nom spécial de cube, parce que le nombre d'unités de volume contenues dans la figure géométrique nommée cube est égal à la troisième puissance du nombre d'unités de longueur contenues dans le côté de la figure. ”

“ Nous pouvons de la même manière, former une rangée de 4, 5, 6, 10 cubes, ou davantage : nous formerons ainsi un solide ayant la forme d'un prisme de plus en plus allongé, et ayant 4, 5, 6, 10 centimètres cubes de volume, ou plus si nous voulons. Remarquez, mes enfants, qu'à mesure qu'on ajoute un cube, la longueur du prisme augmente d'un centimètre, et son volume d'un
centimètre cube : autant de centimètres de longueur, autant de centimètres cubes de volume. ”

“ Ces sortes d'extractions se déduisent naturellement de ce qui vient d'être dit touchant l'extraction des racines cubiques incommensurables : il suffit de faire compter les chiffres décimaux contenus dans le cube proposé parmi le nombre de ceux qu'il doit renfermer à l'égard de la quantité de ceux que l'on veut obtenir à sa racine. ”

“ Pour trouver le volume d'un cube, il suffit de multiplier deux fois par lui-même le nombre qui exprime la longueur de son arête. Le produit exprime des mètres cubes, si c'est le mètre qui a été pris pour unité de longueur ”

“ Le mètre cube contient 1000 décimètres cubes ; le décimètre cube contient 1000 centimètres cubes, et le centimètre cube contient 1000 millimètres cubes.
En effet supposons qu'on ait tracé sur un plancher un mètre carré divisé par des lignes droites, comme dans la figure du n° 86, en 100 décimètres carrés. En posant un décimètre cube de bois ou de carton sur chaque décimètre carré, on forme une
tranche carrée ayant 1 mètre en longueur et en largeur, 1 décimètre d'épaisseur et composée de 100 décimètres cubes. ”

“ La fraction représenterait des millièmes de centimètre cube, qui sont bien des millimètres cubes.
Enfin, en millimètres cubes, on écrirait : 86003523216 millimètres cubes.
142. Comme dans les nombres cubiques abstraits, la virgule, en avançant de trois rangs à gauche, donne au nombre une valeur mille fois plus grande; et pour que le volume reste le même, on lui donne une dénomination d'unité mille fois plus petite ; c'est le contraire quand la virgule avance de trois rangs vers la gauche.
145. L'arête d'un corps de forme cubique est comme la racine d'un nombre cubique ”

“ Au contraire, le cube d'une fraction proprement dite est plus petit que le carré (puisqu'on multiplie le carré par un multiplicateur plus petit que l'unité) , et par conséquent plus petit que la fraction elle-même. Si on augmente le nombre que l'on élève au cube, le cube augmente.
200. THÉORÈME V. Lorsqu'un nombre entier n'est pas un nombre cube, il n'existe pas de nombre fractionnaire qui, élevé au cube, reproduise exactement le nombre donné. ”

“ Le volume réel du corps ne peut être autre que la différence d'un mètre cube à 1,022 décimètres cubes, puisqu'il n'y a que cette différence qui puisse, quand elle sera ajoutée au volume réel, reproduire 1 mètre cube. ”

“ Un corps cubique ou simplement un cube est un corps terminé par six faces carrées toutes égales, comparable à un dé à jouer dont la forme est connue de tout le monde, Si on suppose chacune des faces égale à un mètre carré, le corp s a le volume d'un MÈTRE CUBE, et c'est le mètre cube qui est l'unité des mesures de volume. ”

“ On abrège la formation du cube d'un nombre terminé par un ou plusieurs zéros, et formant d'abord le cube des .chifFres significatifs, et écrivant à droite du produit, le triple des zéros de la racine. ”

“ Peut-on extraire la racine du cube ?
, Le M. Oui; elle s'appelle la racine cubique, ou troisième. Comment ferez-vous pour l'extraire ?
- Le D. Le meilleur serait de le faire avec des jetons. S'il y a des mille au nombre, il y a des x à la racine; on ferait le petit cube des dixaines, et
puis on groupperait tout autour les autres nombres de manière à le grossir d'une unité dans tous les , sens à chaque fois. ”