Alessandro Padoa

“ Certainement, il y a des mots qui ne permettent aucune hésitation sur le choix du vocabulaire dans lequel ils doivent être placés ; par ex., les mots
point, droite, plan, circonférence seront placés dans le vocabulaire géométrique [2] , tandis que les mots
chaque, quelque, aucun, seulement trouveront leur place dans le vocabulaire logique.
Mais, si la distinction est simple pour ces mots, dont chacun a toujours la même signification, elle n’est pas si simple pour les mots qui ont plusieurs significations, c’est-à-dire pour la majorité. ”

“ La logique traditionnelle envisage toute classe à deux points de vue différents, qu’on appelle de l’extension et de la compréhension ; c’est-à-dire qu’elle considère une classe comme l’ensemble des individus qui la composent ou bien comme l’ensemble des propriétés qui la caractérisent. ”

“ Or, celui — qui aura persévéré en cette diligente analyse du langage ordinaire jusqu’à l’accomplir, au moins par rapport à une science déterminée, et voudra en faire recueillir les fruits par ceux qui n’ont ni le temps ni la patience de parcourir, pas à pas, un chemin si pénible — reconnaîtra que ce même langage qu’il vient d’analyser est incapable d’exprimer avec précision les résultats de ses subtiles recherches. ”

“ Mais, dira-t-on, dans la plupart des cas il s’agit de nuances qui ne pourraient avoir aucune influence sur la nette séparation entre le vocabulaire logique et le vocabulaire d’une science spéciale.
Malheureusement les choses ne se passent pas ainsi ; il y a, en effet, beaucoup de mots bien propres à nous mettre dans une perplexité embarrassante, même parmi ceux que notre dictionnaire nous apprend à traduire d’une manière uniforme. ”

“ Mais, au contraire, tandis qu’un si grand nombre de modes du syllogisme n’est qu’une illusion due aux moyens imparfaits d’expression dont se servent les scholastiques, nous avons déjà énoncé 100 (et nous en verrons bien d’autres) dont 2 seulement sont des syllogismes !
L’analyse que je vais faire de la syllogistique (et qui ne se trouve pas dans le Formulaire) sera fatigante et peu agréable ; mais le but que je me propose est justement de persuader les futurs professeurs de Logique de ne plus fatiguer leurs élèves avec des leçons inutiles sur cette question. ”

“ Il ne faut pas croire que l’Idéographie logique soit le résultat de conventions absolument arbitraires ; car — si le choix des signes moyennant lesquels on représente les idées n’est subordonné qu’à des exigences de commodité et de clarté — la liberté dans le choix des idées qu’il convient de représenter par des signes est très restreinte. ”

“ Mais, en laissant de côté toute opinion à cet égard, les langues internationales artificielles ne sont que des instruments d’expression, comme les langages naturels, tandis que l’Idéographie logique, seule, est un instrument d’analyse de la pensée. ”

“ Avant de commencer la Logique déductive — savoir d’étudier les propriétés de ces symboles et par suite d’en constater la puissance comme moyen d’analyse — il ne sera peut-être pas sans intérêt d’en constater la précision comme moyen d’expression, en faisant quelques comparaisons entre l’idéographie logique et le langage courant. ”

“ Presque tous les philosophes de profession — qui, par le caractère plus littéraire que scientifique de leur préparation intellectuelle, ont une forte répugnance pour les formules — se sont apaisés par le renoncement à élargir l’enceinte de leurs connaissances, en croyant peut-être que cette Logique mathématique n’était qu’une partie de la Logique qu’ils avaient apprise et qu’ils enseignent. ”

“ C’est le cas, par ex., du mot « un » qu’on traduit en italien « uno », aussi bien dans l’une que dans l’autre des propositions :
Praxitèle fut un sculpteur,
un et un font deux, bien que dans l’une il soit employé comme terme logique et dans l’autre comme terme arithmétique ; par suite — malgré son unicité de traduction, qui pourrait faire croire à son unicité de signification — le mot « un » doit être placé aussi bien dans l’un que dans l’autre vocabulaire. ”

“ Au contraire, il est parmi les plus ardus, exigeant une connaissance, scientifique aussi bien que littéraire, profonde et bien assurée, de la signification de chaque mot : signification qui à l’examen attentif d’un esprit exercé se révèle, pour la plupart des mots, si variable qu’il devient très difficile de la saisir et de la fixer, chaque fois, avec une précision irréprochable. ”

“ Car le mérite essentiel de l’Idéographie logique est celui d’établir une correspondance parfaite et immédiate entre symboles et idées, de manière à éliminer la possibilité des discussions interminables qui naissent de la signification ambiguë de quelques mots et qui n’aboutissent à rien, ne détournant personne de son opinion. ”

“ On démontre une sans se soucier de ce qu’elle dit
126. Jusqu’à présent, sauf peu d’exceptions, je me suis contenté de vous persuader (par l’intuition immédiate, par des exemples, par la vision de figures, par le souvenir de vos expériences, par la facilité d’en faire de nouvelles) de la vérité des logiques que je vous ai énoncées ; c’est-à-dire que j’ai fait de l’empirisme logique, ainsi que l’on fait de l’empirisme mathématique dans les écoles primaires. ”

“ La Science et l’Art sont les deux grandes manifestations de notre esprit et sont également admirables et bienfaisants. Mais, comme ils ont une substance et un but différents, ils exigent des outils divers ; et si la rigidité du langage scientifique ne peut convenir à la grâce de l’Art, la souplesse du langage artistique pourrait être nuisible à la rigueur de la Science. ”

“ Je préfère dire que l’égalité est caractérisée par la propriété substitutive, savoir que si « », alors « en remplaçant x par y dans une écriture quelconque, la signification de cette écriture ne change pas ». ”

“ Pour le moment, il faut réfléchir à la nécessité déjà expliquée de représenter différemment un individu et l’ qui le renferme, tâcher de bien comprendre la signification (plus facile à saisir) du symbole « » et considérer simplement le « » comme son inverse. ”

“ Et il faut ajouter que, tandis que pour les langages naturels le « legere » est si loin de l’« intelligere » que plusieurs années d’étude systématique ne suffisent pas à soustraire les meilleurs élèves de nos écoles à la tyrannie du dictionnaire et de la grammaire, pour l’Idéographie logique, ainsi que vous pourrez l’expérimenter, lire et comprendre c’est la même chose. ”

“ Après M. Peano, le maître reconnu des études de Logique mathématique en Italie, je dois rappeler deux savants morts depuis peu : Albino Nagy (1866-1901) , un précurseur de la dernière phase [4] , et Giovanni Vailati (1863-1909) , un savant génial, dont on vient de réunir en un gros volume les écrits qu’il avait répandus en de nombreuses revues [5] . Et parmi les vivants : M. C. Burali-Forti, producteur et vulgarisateur [6] , et M. Mario Pieri dont les recherches rigoureuses sur les principes de la Géométrie, élémentaire et projective, ont le cachet des nouvelles études de logiques. ”

“ D’où : l’impossibilité de réduire la Logique déductive à un seul principe. Si cela semble possible dans quelques traités, c’est que le langage ordinaire a tendu des pièges aux auteurs, qui ne se sont pas aperçus avoir recours dans leurs réductions aux principes mêmes qu’ils voulaient démontrer ou à d’autres principes qui n’étaient pas les trois en question. ”

“ Il faut donc, sous peine de confondre à jamais les idées représentées par les symboles « », qu’aucun ne soit représenté comme l’individu qui lui appartient.
Personne n’avait reconnu cette nécessité avant M. Peano. Il représenta donc chaque , en écrivant le symbole (qui est la lettre « iota », initiale du mot ἴσος) avant le nom de l’individu qui lui appartient. Réciproquement, en écrivant le signe renversé, c’est-à-dire « », avant le nom d’un donné, il représenta l’individu qui lui appartient. ”

“ La contradiction est apparente, parce qu’un même symbole peut avoir des rôles différents, dans une même science, pourvu que ces rôles soient nettement distingués entre eux et que les propriétés de ce symbole dans tous ses rôles restent toujours les mêmes. ”

“ Pour simple que puisse paraître la relation d’égalité [23] , on peut la décomposer. En effet, x étant un objet donné quelconque, l’écriture « » est une condition par rapport à y [52] ; l’ensemble des y qui la vérifient, c’est-à-dire [58] « », est la dont x est le seul individu, c’est-à-dire [45] « ». ”

“ Syllogistique
101. Le syllogisme est la forme de raisonnement que les scholastiques ont toujours considérée comme le pivot de la Logique déductive, jusqu’à identifier celle-ci avec la Syllogistique.
Comme les scholastiques distinguent 19 modes du syllogisme et que nous n’en considérons qu’un (dans ses deux formes : collective [ 47] et individuelle [ 56] , dont la seconde est une particularisation de la première [90] ) , on croit que notre Logique est plus restreinte que la Logique scholastique. ”

“ En effet, les symboles logiques — dont je vous expliquerai la signification, l’emploi et les propriétés — ne sont qu’au nombre de seize, et ils suffisent amplement pour exposer une théorie déductive quelconque, en renonçant tout à fait au langage ordinaire ; pourvu, naturellement, que la théorie dont il s’agit ait son idéographie complète. ”

“ Mon Cours se terminera par un essai de Méthodologie [2] , qui relèvera toute la valeur et toute l’importance des études d’Idéographie et de Logique, en montrant quelle aide précieuse (je dirai même indispensable) elles donnent autant à la construction qu’a la critique d’une théorie déductive quelconque. ”

“ D’après Vailati on dit qu’une relation est réflexible si elle subsiste entre x et x, pour toute valeur possible de x [78] .
L’égalité est réflexible ; en effet, quel que soit x :
41. 
L’appartenance n’est pas réflexible, parce que le signe « » est toujours placé entre un individu et une [24] .
Nous avons déjà remarqué que l’inclusion est réflexible [31] , c’est-à-dire que
42.  (leibniz)
d’où [66 6 et 12]
43. 
et par suite l’implication est aussi réflexible (par rapport à une condition quelconque [60] ) [3] . ”

“ Ces considérations ont amené M. Peano à imaginer une idéographie logique complètement distincte de l’idéographie arithmétique. Et, à cet effet, il n’aurait pu choisir un système de signes qui fût plus propre à faire ressortir les deux grandes lois logiques : à savoir, l’identité substantielle entre les deux théories des classes et des conditions [61] , et le principe de dualité [115] . ”

“ Ces exemples me semblent suffisants à justifier le reproche d’ambiguïté que j’ai fait au langage ordinaire, dès le commencement, et à justifier aussi mon assertion paradoxale « qu’on n’est pas maître d’un mot, jusqu’à ce qu’on n’ait réussi à s’en passer, en le supprimant ou en le remplaçant ! » ”

“ En effet, l’instinct de l’économie nous pousse d’un côté à employer le plus possible les mêmes symboles — car de cette façon, comme dans les exemples que je viens de donner, si l’on excepte les détails dans l’exécution des opérations et peu de règles spéciales, chaque nouveau chapitre de l’arithmétique, bien que distinct des précédents pour le contenu, les renferme en soi au point de vue de l’apparence des formules ”

“ Beaucoup d’exemples, tirés du langage courant et du langage scientifique, en rendent la lecture plus intelligible et plus agréable ; et des notices historiques bien choisies permettent de suivre les progrès de ces études, depuis Leibniz jusqu’à nos jours. ”

“ On pourrait le lire justement « appartient à la classe » ou « est un individu de la classe » ; mais la lecture « est un », outre qu’elle est plus brève et plus usitée, présente l’avantage d’éviter l’emploi des mots individu et classe ”

“ Et cette égalité caractérise les triangles parmi tous les polygones ; car un polygone, qui ne serait pas un triangle, pourrait être équilatéral sans être équiangle, ou équiangle sans être équilatéral, c’est pourquoi il faut une troisième locution « polygone régulier » pour designer les polygones qui sont en même temps équilatéraux et équiangles (par exemple, les quadrilatères, des trois espèces que je viens de considérer, sont nommés losanges, rectangles, carrés) . ”

“ Nous envisageons toujours les conditions au point de vue de l’extension, ainsi que nous faisons pour les [27] et qu’on fait d’ordinaire pour les équations. En d’autres termes : deux conditions par rapport à étant données, quelle qu’en soit la forme, nous disons que l’une est égale à l’autre (selon le langage courant on les dirait équivalentes, mais c’est bien d’une égalité qu’il s’agit [23] ) toutes les fois que l’ensemble des qui vérifient la première est égal à (savoir, est le même que) l’ensemble des qui vérifient la seconde. ”

“ Mais c’est bien ainsi qu’il arrivera forcément toutes les fois qu’on voudra lier trois termes par deux « », car le deuxième terme doit être considéré comme par rapport au premier et comme individu par rapport au troisième, qui par suite ne peut pas être une simple, mais une classe de classes ; c’est pourquoi le premier terme n’est jamais un individu du troisième terme. ”

“ Les parenthèses et les points forment la ponctuation logique, qui remplit le même rôle que les pauses dans le discours et que la ponctuation grammaticale dans l’écriture commune ; mais elle le remplit avec une précision et une évidence sans exceptions, qui permet justement de se passer complètement des flexions [25] . ”

“ Toutefois il convient d’éviter un scepticisme excessif ; car, toujours et partout, il y a eu une élite — aujourd’hui moins restreinte que par le passé — laquelle s’est plu et se plaît à tout ce qui l’élève au-dessus des vagues troubles des passions, dans l’immensité imperturbable de la connaissance, dont les horizons deviennent plus vastes à mesure que les ailes de la pensée deviennent plus puissantes et plus rapides. ”

“ C’est-à-dire : tandis qu’une écriture prolixe retarde et entrave le travail intellectuel, en faisant paraître compliqué ce qui est simple et empêchant presque d’exprimer ce qui est vraiment compliqué, il arrive le contraire en employant une écriture concise (pourvu qu’elle ne soit pas ambiguë) . Car, en donnant une forme simple et compacte aux concepts les plus ardus et les plus complexes, elle excite la pensée à franchir ses bornes habituelles et l’empêche de s’égarer ou de s’exténuer. ”