La Chapelle, d’Alembert, Diderot

“ Mais les premiers principes ne sont autre chose que des propriétés générales des rapports, qui ont lieu de quelque maniere que ces rapports soient désignés : telles sont par exemple ces regles ; si on ôte un nombre d’un autre, cet autre nombre joint avec le reste, doit rendre le premier nombre ; si on divise une grandeur par une autre, le quotient multiplié par le diviseur doit rendre le dividende ; si on multiplie la somme de plusieurs nombres par la somme de plusieurs autres, le produit est égal à la somme des produits de chaque partie par toutes les autres, &c. ”

“ Dans l’addition de deux nombres (car toute addition se réduit proprement à celle de deux nombres) , l’un des deux nombres représente l’excès de la somme sur l’autre nombre. Dans la multiplication l’un des deux nombres est le rapport géométrique du produit à l’autre nombre. Voyez Somme, Produit.
A l’égard du détail des opérations particulieres de l’Arithmétique, il dépend de la forme & de l’institution des signes par lesquels on désigne les nombres. Notre Arithmétique, qui n’a que dix chiffres, seroit fort différente si elle en avoit plus ou moins ”

“ Les nombres étant des rapports apperçûs par l’esprit, & distingués par des signes particuliers, l’Arithmétique, qui est la science des nombres, est donc l’art de combiner entr’eux ces rapports, en se servant pour faire cette combinaison des signes mêmes qui les distinguent. ”

“ Toutes les questions qu’on peut proposer sur les nombres, ne sont pas aussi simples que celles d’ajoûter un nombre donné à un autre, ou de l’en soustraire, de les multiplier ou de les diviser l’un par l’autre. Il est des questions beaucoup plus compliquées, & pour la solution desquelles on est obligé de faire des combinaisons, dans lesquelles le nombre ou les nombres que l’on cherche doivent entrer. Il faut donc avoir un art de faire ces combinaisons sans connoître les nombres que l’on cherche ”

“ L’Angleterre contient, dit-il, 39 millions d’arpens de terre. Les habitans, selon son calcul, sont à peu près au nombre de 5545000 ames, & ce nombre augmente tous les ans d’environ 9000, déduction faite de ceux qui peuvent périr par les pestes, les maladies, les guerres, la marine, &c. & de ceux qui vont dans les colonies. Il compte 530000 habitans dans la ville de Londres ; dans les autres villes & bourgs d’Angleterre 870000, & dans les villages & hameaux 4100000. Il estime la rente annuelle des terres à 10 millions sterlin ; celle des maisons & des bâtimens à deux millions par an ”

“ On en a fait quelques autres depuis qui, au jugement même de MM. de l’Académie des Sciences, paroissent avoir sur celle de Pascal des avantages dans la pratique : mais celle de Pascal est la plus ancienne ; elle a pû servir de modele à toutes les autres : c’est pourquoi nous l’avons préférée.
Cette machine n’est pas extrèmement compliquée ; mais entre ses pieces il y en a une surtout qu’on nomme le sautoir, qui se trouve chargée d’un si grand nombre de fonctions, que le reste de la machine en devient très difficile à expliquer. ”

“ Pour entendre ceci, il faut remarquer que toute grandeur qu’on compare à une autre, est ou plus petite, ou plus grande, ou égale ; qu’ainsi toute grandeur a un certain rapport avec une autre à laquelle on la compare, c’est-à-dire qu’elle y est contenue ou la contient d’une certaine maniere ”

“ L’Arithmétique théorique est la science des propriétés & des rapports des nombres abstraits, avec les raisons & les démonstrations des différentes regles. Voyez Nombre.
On trouve une Arithmétique théorique dans les septieme, huitieme & neuvieme livres d’Euclide. Le moine Barlaam a aussi donné une théorie des opérations ordinaires, tant en entiers qu’en fractions, dans un livre de sa composition intitulé Logistica, & publié en Latin par Jean Chambers, Anglois, l’an 1600. ”

“ La valeur des manufactures de laine travaillées en Angleterre, est d’environ 8 millions par an ; & toutes les marchandises de laine qui sortent annuellement de l’Angleterre, passent la valeur de 2 millions sterl. Le revenu annuel de l’Angleterre, sur quoi tous les habitans se nourrissent & s’entretiennent, & payent tous les impôts & taxes, se monte, selon lui, à environ 43 millions : celui de la France à 81 millions, & celui de la Hollande à 18250000 livres sterlin. ”

“ Il y a dans le monde entier environ 300 millions d’ames, dont il n’y a qu’environ 80 millions, avec lesquelles les Anglois & les Hollandois soient en commerce. La valeur de tous les effets de commerce ne passe pas 45 millions sterlin. Les manufactures d’Angleterre qu’on fait sortir du royaume, se montent annuellement à environ 5 millions sterlin. Le plomb, le fer-blanc & le charbon, à 500000 livres sterlin par an. La valeur des marchandises de France qui entrent en Angleterre, ne passe pas 1200000 livres sterlin par an. ”

“ Au reste je ne prétends pas faire voir par cet article la nécessité de l’Algebre ; car elle ne seroit encore guere nécessaire, si on ne proposoit pas des questions plus compliquées que celles-là : j’ai voulu seulement faire voir par cet exemple très-simple, & à la portée de tout le monde, comment par le secours de l’Algebre on parvient à trouver les nombres inconnus.
L’expression algébrique d’une question, n’est autre chose, comme l’a fort bien remarqué M. Newton, que la traduction de cette même question, en caracteres algébriques ”

“ Si le multiplicateur a plusieurs caracteres, il faut multiplier tous les chiffres du multiplicande par chacun de ceux du multiplicateur, les écrire de la même maniere que pour l’addition : mais il faut observer au second multiplicateur de prendre pour premiere roue celle des dixaines. ”

“ Il est évident par le nombre des dents des cercles mobiles Q, Q, Q, &c. que le premier à droite marque les deniers ; le second en allant de droite à gauche, les sous ; le troisieme, les unités de livres ; le quatrieme, les dixaines ; le cinquieme, les centaines ; le sixieme, les mille ; le septieme, les dixaines de mille ; le huitieme, les centaines de mille : & quoiqu’il n’y en ait que huit, on auroit pû, en aggrandissant la machine, pousser plus loin le nombre de ces cercles.
La ligne YZ est une rangée de trous, à-travers lesquels on apperçoit des chiffres. ”

“ Mais souvent les ministres (je n’ai garde de parler sans exception) croyent n’avoir pas besoin de passer par des combinaisons & des suites d’opérations arithmétiques : plusieurs s’imaginent être doüés d’un grand génie naturel, qui les dispense d’une marche si lente & si pénible, sans compter que la nature des affaires ne permet ni ne demande presque jamais la précision géométrique. ”

“ Voyez Application. (O)
* Arithmétique politique, c’est celle dont les opérations ont pour but des recherches utiles à l’art de gouverner les peuples, telles que celles du nombre des hommes qui habitent un pays ; de la quantité de nourriture qu’ils doivent consommer ; du travail qu’ils peuvent faire ; du tems qu’ils ont à vivre, de la fertilité des terres, de la fréquence des naufrages, &c. ”

“ Exemple de multiplication. Revenez aux ouvertures inférieures ; faites remonter la bande PR sur les ouvertures supérieures ; mettez toutes les roues à zéro, par le moyen du conducteur, comme nous avons dit plus haut. Ou le multiplicateur n’a qu’un caractere, ou il en a plusieurs ; s’il n’a qu’un caractere, on écrit, comme pour l’addition, autant de fois le multiplicande, qu’il y a d’unités dans ce chiffre du multiplicateur : ainsi la somme 1245 étant à multiplier par 3, j’écris ou pose trois fois cette somme à l’aide de mes roues & des cercles Q ”

“ On peut y ajoûter l’ouvrage Italien de Lucas de Burgo, mis au jour en 1523 : cet auteur y a donné les différentes divisions de nombres de Nicomaque & leurs propriétés, conformément à la doctrine d’Euclide, avec le calcul des entiers & des fractions, des extractions de racines, &c.
L’Arithmétique pratique est l’art de nombrer ou de calculer, c’est-à-dire, l’art de trouver des nombres par le moyen de certains nombres donnés, dont la relation aux premiers est connue ; comme si l’on demandoit, par exemple, de déterminer le nombre égal aux deux nombres donnés, 6, 8. ”

“ Ainsi le nombre 3 exprime le rapport d’une grandeur à une autre plus petite, que l’on prend pour l’unité, & que la plus grande contient trois fois. Au contraire la fraction 1/3 exprime le rapport d’une certaine grandeur à une plus grande que l’on prend pour l’unité, & qui est contenue trois fors dans cette plus grande. ”

“ Qu’il y a plus de sujets sans emploi, qu’il n’en faudroit pour procurer à la nation deux millions par an, s’ils étoient convenablement occupés ; & que ces occupations sont toutes prêtes, & n’attendent que des ouvriers. ”

“ Rien n’empêche non plus de supposer que tandis que le premier barillet présentera ses douze chiffres à son ouverture, le second ne présentera plus que le chiffre 1 à la sienne ; que tandis que le second barillet présentera ses vingt chiffres à son ouverture ou intervalle, le troisieme ne présentera que le chiffre 1 ”

“ M. Newton nous a donné sur l’Algebre un excellent Ouvrage, qu’il a intitulé Arithmetica universalis. Il y traite des regles de cette science, & de son application à la Géométrie. Il y donne plusieurs méthodes nouvelles, qui ont été commentées pour la plûpart par M. s’Gravesande dans un petit ouvrage très-utile aux commençans, intitulé Elementa algebræ, & par M. Clairaut dans ses élémens d’Algebre, Voyez à l’article Algebre les noms de plusieurs autres auteurs, qui ont traité de cette science : nous croyons que l’ouvrage de M. s’Gravesande, celui. ”

“ Parmi ces quantités qui seroient connoître les autres, & que je nomme pour cette raison synthétiques, cherchez celles qui feroient connoître les autres le plus facilement, & qui pourroient être trouvées le plus difficilement, si on ne les supposoit point connues ; & regardez ces quantités comme celles que vous devez traiter de connues. ”

“ Usages de la machine arithmétique pour l’addition. Commencez par couvrir de la bande PR, la rangée supérieure d’ouvertures, en sorte que cette bande soit dans l’état où vous la voyez fig. 1. mettez ensuite toutes les roues de la bande inférieure ou rangée à zero ; & soient les sommes à ajoûter
Prenez le conducteur ; portez sa pointe dans la huitieme denture du cercle Q le plus à la droite ; faites tourner ce cercle jusqu’à ce que l’arrêt ou la potence S vous empêche d’avancer. ”

“ Il est fort vraissemblable que cette progression a pris son origine des dix doigts des mains, dont on faisoit usage dans les calculs avant que l’on eût réduit l’Arithmétique en art.
Les Missionaires de l’orient nous assûrent qu’aujourd’hui même les Indiens sont très-experts à calculer par leurs doigts, sans se servir de plume ni d’encre. Voyez les Lett. ”

“ Elle consiste, comme nous l’avons vû dans l’article Addition, à ajoûter ensemble avec leurs signes, sans aucune autre opération, les quantités dissemblables, & à ajoûter les coefficiens des quantités semblables : par exemple, si j’ai à ajoûter ensemble les deux grandeurs dissemblables a, b, j’écrirai simplement a + b ; ce résultat n’est autre chose qu’une maniere d’indiquer que si on désigne a par quelque nombre, & b par un autre, il faudra ajoûter ensemble ces deux nombres ”

“ Ce qui précede bien entendu, nous pouvons passer au jeu de la machine. Soit fig. 2. le cercle mobile 1 Q 2, mû dans la direction 1 Q 2, la roue à chevilles 4, 5, sera mûe, & la roue à cheville 6, 7 ; & fig. 3. la roue VIII, IX ; car c’est la même que la roue 8, 9 de la fig. 2. Cette roue VIII, IX, sera mûe dans la direction VIII, VIII, IX, IX. La premiere de ses deux chevilles r, s, entrera dans l’échancrure du sautoir ; le sautoir continuera d’être élevé, à l’aide de la seconde cheville RS. Dans ce mouvement l’extrémité 1 du cliquet sera entraînée ”