Ernest Lebon

“ Il était naturel de chercher à étendre aux systèmes composés de forces quelconques les propriétés du centre des forces parallèles, c'est-à-dire d'examiner comment varie l'effet d'un système quelconque de forces appliquées en des points déterminés du corps solide, soit lorsque, leur grandeur et leur direction demeurant les mêmes, l'orientation du corps vient à changer, soit, ce qui est la même chose, lorsque, le corps demeurant en repos, les forces changent de direction de manière à conserver entre elles les mêmes angles. ”

“ On connaissait depuis longtemps un système de ce genre, formé de surfaces homofocales du second ordre. La découverte d'un système analogue, faite simultanément par M. Darboux et par M. Moutard, excita un vif intérêt. Un peu plus tard, M. Darboux, généralisant le problème pour l'étendre aux fonctions d'un nombre quelconque de variables, forma les équations aux dérivées partielles analogues à celle que M. Bonnet avait donnée pour le cas des surfaces, et qui sont la condition nécessaire et suffisante pour que la question admette une solution. ”

“ M. Darboux est resté simple et modeste, bien qu'il soit arrivé à une situation très élevée. Il importe de faire remarquer qu'il la doit seulement à ses efforts et à son talent: aucun de ses ascendants n'a occupé de position même modeste, dans le monde de la science, de l'administration ou de la politique; si des savants l'ont protégé au début de sa carrière et lui ont ouvert les portes de la gloire, c'est qu'ils avaient vu dans ses travaux des points de nature à faire progresser la Science et reconnu en lui des qualités de premier ordre. ”

“ «Soyez persuadé, Monsieur, qu'aucun des membres de la commission n'est capable de chercher à abuser de la confiance de ses collègues». Dans toutes les circonstances de la vie, M. Darboux procède avec méthode; il ne faut donc pas être surpris de retrouver cette qualité lorsqu'il développe le programme de son cours et qu'il écrit sur le tableau les équations dans l'ordre où elles se présentent. Très consciencieux par nature, il ne laisse inachevé aucun raisonnement et expose à ses auditeurs des leçons toujours soigneusement préparées. ”

“ Quand deux systèmes de surfaces orthogonales se coupent suivant les lignes de courbure de ces surfaces, il existe un troisième système orthogonal aux deux premiers, donne d'abord une démonstration simple de ce théorème de M. Ossian Bonnet, que la recherche de tous les systèmes orthogonaux revient à l'intégration complète d'une équation aux différences partielles du troisième ordre à trois variables indépendantes. ”

“ Les théorèmes célèbres de Poncelet et de Chasles sur les polygones inscrits et circonscrits à des coniques ont été pour M. Darboux l'occasion d'une nouvelle et importante série de recherches. Il en donne une démonstration nouvelle, montre leur liaison avec la théorie de la transformation des fonctions elliptiques, et enfin les étend aux polygones inscrits dans un ellipsoïde. ”

“ On remarquera, dans cette Partie du travail, un moyen simple de trouver l'équation différentielle des surfaces applicables sur une surface donnée, et l'explication des solutions singulières de cette équation, la démonstration du théorème que, lorsque les lignes de courbure d'une surface ont une enveloppe, cette enveloppe, en laissant de côté un cas exceptionnel, se compose d'une suite de droites isotropes, etc. ”

“ M. Darboux possède les qualités d'organisateur à un degré aussi élevé que celles de professeur. Il l'a révélé dans les hautes et délicates fonctions de doyen de la Faculté des Sciences de Paris, auxquelles il fut nommé, sur la proposition de ses collègues, par le ministre de l'Instruction publique, le 12 novembre 1889. Mais, désireux de prendre un repos qu'il avait bien mérité, M. Darboux demanda à être relevé de ses fonctions avant l'expiration de son cinquième mandat: il fut nommé doyen honoraire le 4 mars 1903. ”

“ Il reconnaît que ses professeurs de Mathématiques ont découvert, éveillé et entretenu son goût pour la Géométrie et il répète leurs noms avec émotion et plaisir. Il s'efforce de juger sans parti pris et avec équité les questions qui lui sont soumises. Lorsqu'il préside une commission, il a une confiance absolue en ses collègues et il les défend s'ils sont attaqués. ”

“ Quand une force fonction de la position du point lui fait décrire une trajectoire plane quelle que soit la vitesse initiale, cette force passe par un point fixe ou est parallèle à une droite fixe; il résout par l'analyse cette question: Un point sollicité par une force centrale décrit une conique, trouver la loi de la force en fonction de la position. Outre les deux solutions connues
et , M. Darboux en trouve deux autres dans lesquelles la force dépend de r et de ω, avec l'équation générale correspondante de la trajectoire ”

“ Pendant ses trois années de séjour à l'École Normale, M. Darboux se livra, dans ses loisirs, à l'étude approfondie des belles questions géométriques qu'avaient résolues Monge, Gauss, Poncelet, Dupin, Lamé, Jacobi; il fit même, sur la théorie des surfaces orthogonales, un travail que Serret présenta à l'Académie des Sciences le 1er août 1864 et dont le résumé fut inséré aux Comptes rendus. Bientôt après, le 20 septembre 1864, M. Darboux était reçu premier au concours d'agrégation des Sciences mathématiques. ”

“ Au lieu d'exposer à part les deux démonstrations connues du théorème de Sturm, celle de l'inventeur et celle de M. Hermite, et d'établir ensuite le lien entre ces deux démonstrations au moyen de l'expression des fonctions de Sturm, due à M. Sylvester, M. G. Darboux développe la théorie tout entière, en employant uniquement la méthode de M. Hermite ”

“ Après une seule année de travail, M. Darboux se présenta, surtout pour faire plaisir à son professeur, aux examens du concours d'admission à l'École Polytechnique; 2 déclaré admissible, il ne voulut pas subir l'examen du second degré, car il avait déjà le désir d'entrer dans l'enseignement. Il suivit de nouveau le cours de Charles Berger et eut le rare bonheur, en octobre 1861, d'être admis premier à la fois à l'École Polytechnique et à l'École Normale supérieure dans la section des Sciences. Fidèle à son idée de devenir professeur, M. Darboux choisit l'École Normale. ”

“ M. Sylvester a donné une 40 solution du même problème (Philos. Trans., 1866) : M. Darboux s'en occupe; il établit, au sujet des normales de longueur constante menées à l'ellipsoïde le long de la polhodie, un beau théorème de géométrie, qui lui fournit une infinité de manières de réaliser le mouvement de Poinsot par le roulement d'un ellipsoïde, ou même d'une ellipse, sur un plan fixe. Il déduit de là, sans calcul, la loi du mouvement trouvée par Jacobi au moyen des fonctions elliptiques. ”

“ La Note XVI est consacrée au développement d'un théorème énoncé par 39 l'Auteur dans son Mémoire sur les théorèmes d'Ivory: Si l'on sait calculer l'attraction d'un ellipsoïde sur un point quelconque pour une loi d'attraction en fonction ψ' (u) de la distance, on saura la calculer pour la loi
k étant une constante quelconque.
La Note XVII est très importante: elle roule sur l'herpolhodie et sur la théorie de Poinsot. La méthode est entièrement analytique. ”

“ La Note VII contient la solution complète de ce joli problème: Trouver la figure d'équilibre d'un fil flexible parcouru par un courant, sous 38 l'action d'un pôle d'aimant. La tension du fil est constante; la figure d'équilibre est une ligne géodésique d'un cône de révolution qui a son sommet au pôle. M. Darboux donne le moyen de construire ce cône, connaissant la longueur du fil et ses extrémités. ”

“ Mais à ses débuts il se trouvait en présence de cinq ou six auditeurs seulement: les élèves de l'École Normale avaient déserté le cours que Liouville, âgé et malade, ne faisait que très irrégulièrement, et auquel Briot suppléait dans ses conférences à l'École. Dès l'année suivante, ces derniers reprirent le chemin de la Sorbonne, et M. Darboux eut la satisfaction d'avoir des auditeurs aptes à suivre un enseignement qu'il avait dû établir sur des bases nouvelles. Parmi eux, il convient de citer MM. Paul Appell et Émile Picard, aujourd'hui ses collègues à l'Institut. ”

“ Recherches sur un système articulé.
Ce Mémoire se rapporte à un système de deux quadrilatères articulés que M. Kempe a défini et étudié seulement dans certains cas où la déformation est possible. La solution complète que donne M. G. Darboux permet de rattacher à une théorie générale deux appareils dus à M. Hart, au moyen desquels on peut décrire une ligne droite en n'employant que cinq tiges articulées. ”

“ Ces courbes et ces surfaces jouissent de la propriété de se transformer les unes dans les autres quand on les soumet à une transformation par rayons vecteurs réciproques. Aussi l'Auteur a-t-il consacré la première Partie de son travail à l'étude analytique et détaillée de cette transformation dans ses rapports avec la théorie des imaginaires et avec celle des focales des surfaces, qui lui est due pour les surfaces du degré supérieur, et qu'il a développée pour la première fois dans un travail inséré aux Annales de l'École Normale en 1865. ”

“ Les cycliques sont, après les courbes du troisième degré, les courbes les plus simples, dont l'étude se ramène à celle des fonctions elliptiques. L'Auteur signale rapidement ce lien, qui a été déjà étudié complètement à un point de vue général par M. Clebsch.
Les surfaces analogues aux courbes cycliques sont les surfaces du quatrième ordre, ayant le cercle de l'infini pour ligne double, et les surfaces du troisième ordre qui contiennent le cercle. ”

“ MÉMOIRES. NOTES. Analyse pure. 1. Sur la série de Laplace.
Lagrange a donné une importante série servant au développement en série convergente des racines d'une certaine équation. Laplace a exposé une formule plus générale, mais moins simple que celle de ce géomètre. M. G. Darboux est parvenu à simplifier la formule de Laplace et a ainsi trouvé un résultat analogue à celui de Lagrange.
C R, t. 68, 8 fév. 1869, p. 323-327. 16 2. Sur les séries dont le terme général dépend de deux angles et qui servent à exprimer des fonctions arbitraires entre des limites données. ”

“ Quelques-unes d'entre elles, analogues à l'ellipse de Cassini, ont des propriétés semblables à celles du cercle, et l'Auteur donne pour toutes des propriétés analogues à celle de l'angle inscrit dans le cercle. En même temps l'étude de ces courbes fournit à l'Auteur une occasion d'appliquer des principes généraux relatifs à la transformation des relations où entrent les imaginaires. Je signalerai en particulier un procédé nouveau pour déduire, des théorèmes généraux sur les coniques planes et sphériques, les propriétés focales de ces courbes. ”

“ Le présent Opuscule contient la liste, le plus souvent avec des analyses, de toutes les publications mathématiques de M. Darboux; il suffit donc, dans cette Notice, d'indiquer les principaux caractères des recherches de ce géomètre. M. Darboux a généralisé des questions dont des cas particuliers avaient seuls été abordés. Il a su établir des rapprochements entre des théories dont on n'avait pas encore aperçu les points communs. Il a 6 fait faire de sensibles progrès à la solution de problèmes qui se rencontrent en Analyse et en Physique mathématique. ”

“ M. G. Darboux donne une démonstration très simple du théorème suivant, dû à J. Liouville: Toutes les transformations conformes de l'espace se ramènent à une inversion ou à une homothétie, précédée ou suivie d'un déplacement.
A M P G, d. R., 1. Bd., 1901, 20 nov. 1900, p. 34-37. Analyse par Sommer: J F M, Bd. 32, J. 1901, S. 678-679. 36 69. Sur les surfaces isothermiques.
Je voudrais étudier une classe spéciale de surfaces isothermiques (c'est-à-dire à lignes de courbure isothermes) qui interviennent dans la théorie de la déformation des surfaces les plus générales du second degré. ”

“ Sur l'herpolhodie et sur quelques propositions relatives à la théorie de Poinsot.
C M D, t. II, n. XVII, 1886, p. 488-510. Analyse par G. Kœnigs: B S M, 2e s., t. 10, 1re p., janv. 1886, p. 9-10. 18 à 20. Sur le mouvement d'un corps pesant de révolution, fixé par un point de son axe.
Jacobi a énoncé et démontré un théorème d'après lequel le mouvement de rotation d'un corps pesant de révolution, fixé par un point de son axe, peut se ramener à une combinaison des mouvements de rotation de deux solides différents sur lesquels n'agirait aucune force accélératrice. ”

“ Nous signalerons dans cette Partie la définition des foyers des courbes planes et sphériques, celle des focales des courbes gauches et des surfaces, et la théorie complète d'une classe importante de surfaces développables imaginaires circonscrites au cercle de l'infini, et que 24 l'Auteur a appelées développables focales. ”

“ Puis il fait connaître une Nouvelle méthode de recherche des systèmes orthogonaux, fondée sur l'emploi d'une certaine fonction auxiliaire V. La troisième Partie contient des Applications de la méthode exposée dans la deuxième Partie. ”

“ M. G. Darboux démontre que ces polygones deviennent de plus en plus petits et qu'ils tendent à devenir semblables à des polygones semi-réguliers inscrits dans une ellipse.
B S M, 2e s., t. 2, 1re p., juil. 1878, p. 298-304. 69 7. Sur un problème de courriers.
Cet intéressant problème est ainsi énoncé: n personnes doivent se rendre d'une localité à une autre; elles ont à leur disposition une voiture pouvant contenir n' personnes (n' < n) . Chaque personne, à pied, ferait le trajet en un temps t, et la voiture le ferait dans le temps t' (t' < t) . ”

“ Analyse par F. Müller: J F M, Bd. 33, 1902, p. 3-4. 12. Publication de Lettres inédites dues à divers Savants.
Cet Article contient deux Lettres de Laplace à Condorcet, deux de Laplace à D'Alembert, une de Borda à Condorcet, une de Fuss à Condorcet, une de Jean Albert Euler à Condorcet. Il contient en outre une Remarque de M. G. Darboux: Voir no 27, p. 19.
B S M, 2e s., t. 3, 1re p., mai 1879, p. 206-228.
ANALYSES. 1 à 17. Analyses des Œuvres suivantes:
Œuvres complètes de Niels Henrik Abel, publiées par Sylow et Lie. ”