Bifurcation

“ L’idée féconde dont Poincaré a fait usage est celle des équilibres de bifurcation. Considérons un système dont l’état dépend d’un certain paramètre. Si l’on a par exemple une masse fluide animée d’un mouvement de rotation, ce paramètre sera la vitesse angulaire de rotation. Supposons que plusieurs états différents d’équilibre du système correspondent à une même valeur du paramètre. Changeons cette valeur. Les configurations ou les figures d’équilibre changent. Il peut arriver qu’en s’approchant d’une certaine limite, deux figures d’équilibre viennent se confondre entre elles. ”

“ Je lisais sans mesure et sans choix , et je m' aperçus bientôt avec une surprise fort ridicule que je ne savais rien , que je n' avais pas même appris à apprendre , et que mes brillantes connaissances n' étaient qu' un voile léger , jeté sur une profonde ignorance . Enfin , je sentis les funestes effets de la bifurcation et le dommage de n' avoir pas assez écouté les leçons de géométrie que me donnait M. Mésange , en sommeillant au son des violons . ”

“ Une planète formée de fluide homogène a la forme d'un sphéroïde aplati et son équilibre est stable. Si l'on augmente sa vitesse angulaire de rotation, sa forme elliptique augmente aussi, mais la stabilité diminue. Lorsque l'ellipticité s'est accrue jusqu'à une certaine extension définie, la stabilité cesse et, par suite d'une rotation plus rapide, la figure devient instable. Au moment critique du changement, nous passons par une forme de bifurcation, et nous savons qu'il doit y avoir une autre série de figures qui ont aussi cette forme. ”

“ Des bifurcations ont eu beau se produire, des voies latérales s’ouvrir où les élément dissociés se déroulaient d’une manière indépendante ; ce n’en est pas moins par l’élan primitif du tout que se continue le mouvement des parties. ”

“ Ainsi pour l’évolution de la vie. Les bifurcations, au cours du trajet, ont été nombreuses, mais il y a eu beaucoup d’impasses à côté de deux ou trois grandes routes ; et de ces routes elle-mêmes une seule, celle qui monte le long des Vertébrés jusqu’à l’homme, a été assez large pour laisser passer librement le grand souffle de la vie. Nous avons cette impression quand nous comparons les sociétés d’Abeilles ou de Fourmis, par exemple, aux sociétés humaines. ”

“ Les uns s’y meuvent avec lenteur ; ils produisent un flux et un reflux dont la période est d’un demi-jour : d’autres ont un mouvement de révolution à-peu-près égal à la moitié du mouvement de rotation de la terre, et ils produisent un flux et un reflux dont la période est d’environ un jour : d’autres enfin ont un mouvement de révolution à-peu-près égal au mouvement de rotation de la terre ; ils produisent un flux et un reflux dont les périodes sont d’un mois et d’une année. Examinons ces trois espèces de marées. ”

“ On pourrait enfin supposer que l’instabilité générale est sortie d’un état général de stabilité, que la période où nous sommes, et pendant laquelle l’énergie utilisable va en diminuant, a été précédée d’une période où la mutabilité était en voie d’accroissement, que d’ailleurs les alternatives d’accroissement et de diminution se succèdent sans fin. ”

“ Quel plus grand scandale scientifique pourrait-on imaginer, en ce temps d’évolution, que celui d’une force qui ne serait pas du même ordre que les autres, qui ne serait pas la conversion mécanique d’une autre, qui aurait l’inexplicable privilège de rompre en quelques points la chaîne tendue de l’extrémité des phénomènes à l’autre en y insérant du nouveau et de l’imprévu, un commencement de mouvement qui ne serait pas contenu dans les mouvemens précédens et qui changerait quelque chose ou à la suite réglée, ou à la vitesse, ou à la direction des phénomènes ? ”

“ Comme si l’obscurité ne venait pas tout entière de ce qu’on a supposé l’immobilité plus claire que la mobilité, l’arrêt antérieur au mouvement ! Comme si le mystère ne tenait pas à ce qu’on prétend aller des arrêts au mouvement par voie de composition, ce qui est impossible, alors qu’on passe sans peine du mouvement au ralentissement et à l’immobilité ! ”

“ Il n’est pas de milieu dans le vide sans fin.
Mais prenons qu’il existe : à quoi bon ? Quelles causes
Près ou loin de ce centre auraient fixé les choses ?
Qu’est-ce que l’infini ? Le lieu de l’univers ;
Les poids, les mouvements, circulent au travers ;
Au centre comme ailleurs l’espace reste libre.
Quel point pourrait forcer les corps à l’équilibre
Et les soustraire au poids, leur souverain moteur ?
Non. Le vide partout cède à la pesanteur ;
Partout les pressions mesurent sa retraite.
Je ne vois nulle part l’attraction secrète
Qui fait tout converger vers un milieu fatal. ”

“ Ou plutôt, dès que nous le définissons avec précision, sachons bien ce que nous faisons : nous allons par une pente logique jusqu’au bout de sa détente, nous créons du mathématique. S’il y avait un mouvement absolument sans durée, les arguments éléates de la Flèche et du Stade seraient irréfutables. Le mouvement sans durée c’est la limite théorique que nous obtenons en supposant l’énergie complètement défaite, la tension absolument détendue, ce qui fournit d’ailleurs, comme le vide du doute provisoire, le meilleur moyen de la tendre ensuite à neuf. ”

“ Soit que la circulation continue, soit qu'elle ait été supprimée, la névrosité disparaît de la même manière; mais si la circulation continue, la névrosité s'épuise moins vite, et elle est reproduite au bout d'un espace de temps appréciable; si la circulation est supprimée, la névrosité s'épuise plus vite, et une fois épuisée elle ne reparaît plus. ”

“ Nous comprenons que dans cette révolution circulaire, le même mouvement fait tourner en même temps le plus grand cercle et le plus petit, se communiquant dans une certaine proportion aux grands et aux petits cercles, augmentant ou diminuant suivant le même rapport : ce qui est la source de plusieurs phénomènes merveilleux, la même force motrice imprimant en même temps aux grands cercles et aux petits une vitesse et une lenteur proportionnée, ce qu’on serait tenté de regarder comme impossible. ”

“ Tout ce qui existe maintenant, peut avoir existé; chaque particule de matière, de force, d'espace, occupée par le même temps, sujette aux mêmes lois, si elle n'eût pas été conduite par l'opération ou l'influence d'une autre, fût restée dans le même état de choses, et alors quel chaos au-delà du pouvoir même de notre imagination. Tout fut resté sans forme et sans vide, plein d'élémens en désordre et exposé à un changement perpétuel. ”

“ Mais ce système conquérant se heurte à d’autres mouvements ou à d’autres systèmes qui le limitent ou le détruise sans cesse, créant ces états transitoires, que nous apprécions relativement à notre propre durée et que nous dénommons équilibre et harmonie, ou cataclysme et chaos, selon qu’ils s’effectuent à notre échelle dynamique ou hors de notre rythme vital. ”

“ La chute, ou complément réclamé par l'intégrité, étant en même temps la condition du retour de la périodicité, mode de la vie, doit donc être considérée comme un élément aussi indispensable à la manifestation de la durée que l'élan et que l'épanouissement; son caractère est la décroissance de la force qui crée la périodicité; sa limite et sa mesure gisent dans le point même qu'elle atteint, lorsqu'elle parfait l'intégrité de ces trois moments de la durée.
En résumé le mouvement s'élance, s'épanouit et tend à sa fin, à sa consommation qui est l'unité par l'intégrité. ”

“ De l’antithèse du fugitif et du durable, sort l’idée, non pas de fugitivité, qui exprimerait cependant bien mieux l’essence du temps, mais l’idée de durée. Pourquoi cela ? Pourquoi aussi, de l’opposition entre le lent et le rapide, l’idée de vitesse, et non de lenteur plutôt, est - elle sortie comme notion fondamentale de la Mécanique ? Pourquoi l’idée de force et non l’idée de faiblesse, est-elle le fondement de la Dynamique ? Pourquoi l’idée de poids, de masse, et non de légèreté, l’idée de solidité et non de fragilité, ont-elles triomphe de même en physique ? ”

“ Si loin qu’on remonte, tout changement, d’après votre loi, était déjà dégagement de chaleur, égalisation, nivellement des températures ; et si quelque énergie remontait ici ou là, ce n’était qu’apparence, et ricochet d’une autre chute, et nivellement dans l’ensemble, comme on voit que de l’eau versée ne s’égalise point sans vagues ni remous. Eh bien, si c’est ainsi, c’est déjà fini, car le temps en arrière est aussi long qu’on veut ; et l’équilibre une fois établi, rien ne peut le changer. Si le monde n’a point de commencement, et s’il va à l’équilibre, il y est déjà. ”

“ En somme, on peut dire, d'une manière générale, que toutes les fois que deux corps, en contact, viennent à être animés de vitesses variables,—ou l'un d'une certaine vitesse, l'autre restant à l'état de repos,—il se produit une force retardatrice du mouvement, et il y a frottement. ”

“ Vite l’entendement le remplace par une série d’états plus courts, qui se décomposeront à leur tour s’il le faut, et ainsi de suite indéfiniment. Comment pourtant ne pas voir que l’essence de la durée est de couler, et que du stable accolé à du stable ne fera jamais rien qui dure ? Ce qui est réel, ce ne sont pas les « états », simples instantanés pris par nous, encore une fois, le long du changement ; c’est au contraire le flux, c’est la continuité de transition, c’est le changement lui-même. ”

“ C’est un principe admis en dynamique que tout corps, recevant une impulsion, une disposition à se mouvoir, se meut en ligne droite dans la direction donnée par la force impulsive, jusqu’à ce qu’il soit détourné ou arrêté par quelque autre force. Comment donc, demandera-t-on peut-être, ma première couche, la couche extérieure d’atomes peut-elle arrêter son mouvement à la surface de la sphère de verre imaginaire, quand une seconde force, d’un caractère non imaginaire, ne se manifeste pas, pour expliquer cette interruption dans le mouvement ? ”

“ Les alternances de génération et de dépérissement, les évolutions sans cesse renaissantes, le mouvement circulaire indéfiniment répété des sphères célestes, tout cela représente simplement un certain déficit fondamental en lequel consiste la matérialité. Comblez ce déficit : du même coup vous supprimez l’espace et le temps, c’est-à-dire les oscillations indéfiniment renouvelées autour d’un équilibre stable toujours poursuivi, jamais atteint. ”

“ Si le système éprouve des changements brusques par l’action mutuelle des corps ou par la rencontre d’obstacles, la force vive reçoit, à chacun de ces changements, une diminution égale à la somme des produits de chaque corps par le carré de sa vitesse détruite, en concevant sa vitesse avant le changement décomposée en deux, l’une qui subsiste, l’autre qui est anéantie et dont le carré est évidemment égal à la somme des carrés des variations que le changement fait éprouver à la vitesse décomposée parallèlement à trois axes quelconques perpendiculaires entre eux. ”

“ Dans la plus courte de leurs perceptions simples les êtres supérieurs immobilisent des trillions d’oscillations éthérées, et par rapport à chacune de ces oscillations les qualités de la matière, perçues en le minimum de durée sensible, se définissent comme des arrêts. ”

“ Ou bien, au contraire, les partisans de la nouvelle théorie parviendront-ils à écarter les obstacles qui Bons empêchent de l'adopter sans réserve ? La discontinuité va-t-elle régner sur l'univers physique et son triomphe est-il définitif ? ou bien reconnaîtra-t-on que cette discontinuité n'est qu'apparente et dissimule une série de processus continus. Le premier qui a vu un choc a cru observer un phénomène discontinu, et nous savons aujourd'hui qu'il n'a vu que l'effet de changements de vitesse très rapides, mais continus. ”

“ Mais le mouvement de révolution qui doit en résulter, par cela même qu’il est en soi indifférent à toutes les directions, ne demande que la plus légère impulsion pour se déterminer dans une direction plutôt que dans une autre. Et cette légère impulsion lui est donnée par la rencontre des particules élémentaires qui circulent autour du Soleil, mais avec plus de vitesse, et qui entrent dans la sphère d’attraction de la planète. ”

“ Ces répliques, nous les appelons des simulacres. Parlons maintenant de leur mouvement. Un mouvement qui se poursuit dans le vide, sans qu’aucun obstacle doive lui résister, franchit toute distance imaginable, en un temps inconcevable : car ce sont la résistance et la non-résistance qui communiquent au mouvement l’aspect de la lenteur et de la rapidité. ”

“ Si elles sont opposées de directions et égales en puissance, l’état de repos se maintient de lui-même. Il y a de l’art à changer, par des obstacles indirects, le sens dans lequel elles agissent. Le parallélogramme des forces pourrait servir d’emblème à ce genre d’adresse.
Lorsqu’un système est en repos, cet état peut être dû à des conditions essentiellement différentes. Si une cause extérieure vient à agir sur le système, ou il tendra à reprendre sa position initiale, et l’équilibre se rétablira au moyen d’oscillations dont l’amplitude diminuera à chaque instant ”

“ Sans entreprendre une analyse exhaustive de l’idée de causalité, nous ferons simplement remarquer que l’on confond d’ordinaire trois sens de ce terme qui sont tout différents. Une cause peut agir par impulsion, par déclanchement ou par déroulement. La bille de billard qu’on lance contre une autre bille en détermine le mouvement par impulsion. L’étincelle qui provoque l’explosion de la poudre agit par déclanchement. ”

“ Mais, quelque faible qu’on suppose la résistance qu’offrent mutuellement à leurs mouvements les particules situées dans le plan de l’anneau, par suite de leur grande dispersion, il est vraisemblable que le retard des points les plus éloignés ralentit peu à peu, à chaque révolution, le mouvement plus rapide des points inférieurs, tandis que ceux-ci au contraire communiquent aux autres une partie de leur vitesse ”

“ Au moment où le système commence à se former, il y règne déjà un commencement d’ordre ; les mouvements internes de la nébuleuse ne sont pas capricieux et désordonnés ; ils se ramènent à une rotation uniforme ”