M.-R.-A. Barailon

“ L'analogie parfaite de ces deux puissances nous montre clairement que la quatrième puissance est comprise dans la seconde; et que la progression génératrice des quarrés y 3 , 5 , 7 , 9 , etc., etc., peut nous être utile pour former les quatrièmes puissances et pour obtenir l'extraction de la racine quatrième d'un nombre quelconque.
En effet, nous pensons que les différences qui existent entre les quatrièmes puissances des nombres naturels 1,2, 3 , 4, 5, etc., etc. , et qui servent à les former, sont les produits des termes de la progression génératrice des quarrés. ”

“ Cette règle est suffisante pour trouver les cubes de la racine qui augmente d'unité en unité , de dizaine en dizaine , de centaine en centaine, de mille en mille , de dix mille en dix mille, etc. ; mais lorsque nous passons d'une dizaine à une autre immédiatement supérieure ou à une autre immédiatement inférieure, nous nous servons, dans l'un et l'autre cas, de la multiplication et de la soustraction. Nous avons vu la manière de nous en servir dans les six articles de la section II concernant les dizaines ascendantes qui se rapprochent de plus en plus de l'infini. ”

“ La connaissance de la différence constante des termes de la progression génératrice de chaque puissance, et la connaissance du nombre des colonnes nécessaire pour leur formation, sont deux signes indicateurs pour nous faire trouver les progressions génératrices de chacune d'elles. ”

“ Comme il est démontré, par tout ce que nous avons dit antérieurement, que le dividende étant précisément la puissance d'un degré quelconque du diviseur, la puissance d'un degré immédiatement inférieur du même diviseur indique toujours le quotient qu'on cherche. ”

“ Tout ce que nous avons dit jusqu'à présent, suffit pour trouver toutes les différences possibles dont chacune étant la quatrième puissance d'une unité , et étant ajoutée à celle qui précède immédiatement, est par conséquent la quatrième puissance de la racine augmentée d'une unité. ”

“ Les dizaines ascendantes sont celles qui s'éloignent de plus en plus des unités de la racine , et s'approchent dans la même proportion de l'infini.
Les dizaines descendantes sont au contraire celles qui s'éloignent de plus en plus de l'infini, s'approchent des unités de la racine , et servent à l'extraction de la racine quarrée. ”

“ Mais comme le nombre des termes varie à chaque puissance d'un degré pair qu'on doit former ou dont on doit extraire la racine , et dépend de la connaissance de chaque puissance inférieure; comme aussi il est important de connaître la manière de calculer chaque nombre : il est essentiel de revoir brièvement les puissances que nous avons formées et dont nous avons extrait les racines ”

“ Au lieu de l'addition qui serait trop longue , nous nous servons de la multiplication afin de sommer plus promptement les nombreux termes de la progression qui sont absolument nécessaires pour former les sixièmes puissances. ”

“ La première qui consiste à calculer un nombre suffisant de termes de la progression primitive , donne justement la puissance de la racine du degré pair - laquelle précède immédiatement celle du degré impair que nous cherchons. ”

“ LES nombres naturels 1,2, 3, 4 > 5, 7 > 8, 9, etc., etc. qui ont i pour différence constante entre tous leurs termes même poussés jusqu'à l'infini, sont les racines de toutes les puissances. Ces nombres naturels élevés, successivement et suivant leur ordre numérique, à la seconde , troisième , quatrième, cinquième, etc. ”

“ A chaque addition , nous ajoutons deux unités au chiffre du dernier terme de la même série placé, devant les six zéros, nous additionnons ce terme ainsi augmenté avec le quarré précédent ; la somme sera toujours le quarré de la racine suivante. C'est de cette manière que nous sommes parvenus à trouver 16384000000 quarré de 128000 qui égale les trois premières tranches. ”

“ Mais puisque la troisième
puissance qui divise , diminue de trois chiffres et doit com- mencer la division par les premiers chiffres du reste du dividende, et puisque la seconde puissance indicative a trois chiffres de moins que la précédente, c'est pourquoi le quatrième quotient sera placé sous la première somme , de manière que son dernier chiffre ne dépassera pas ses centaines. ”