Lagrange

“ Lagrange, dans sa Mécanique analytique, donne une méthode remarquable pour l'intégration des équations simultanées, aux différences mêlées, c'est-à-dire contenant les différences et les différentielles des fonctions.
Pour déterminer la forme des intégrales, il suppose que les équations aux limites sont finies. Or, la nature des questions de mécanique et de physique conduit à des équations aux limites, complexes. Ce sont des équations différentielles simultanées. ”

“ Lagrange lui-même, n'est parvenu que très-péniblement à retrouver, d'après sa méthode, les résultats principaux déjà obtenus par la méthode infinitésimale pour la solution des questions générales de géométrie et de mécanique; on peut juger par là combien on trouverait d'obstacles à traiter, de la même manière, des questions vraiment nouvelles et de quelque importance. Il est vrai que Lagrange, en plusieurs occasions, a montré que les difficultés, même artificielles, déterminent, dans les hommes de génie, des efforts supérieurs, susceptibles de conduire à des résultats plus étendus. ”

“ Lagrange a donné pour le calcul des inégalités séculaires des autres éléments elliptiques des formules qui permettent de résoudre les questions les plus variées sur l'avenir du système planétaire. Bornons-nous à citer un exemple : l'orbite de la terre va actuellement en s'arrondissant lentement; finira-t-elle par devenir un cercle parfait? ”

“ Lagrange, l'un des plus grands mathématiciens qui aient existé, est, de l'avis général, celui qui a le mieux préparé les voies où de nos jours les géomètres concentrent leurs efforts. La publication des œuvres de Lagrange n'est pas seulement un hommage rendu à la mémoire du plus illustre des géomètres français, elle offre un intérêt permanent, et elle servira au développement des aptitudes pour la géométrie qui viendront à se manifester parmi les générations nouvelles. ”

“ Quoique Lagrange prenne ses différentielles comme si c’était des différences finies, elles ont un caractère qui les distingue essentiellement de celles-ci : c’est qu’elles demeurent toujours indéterminées, de sorte qu’on reste maître, pendant tout le cours du calcul, de les rendre aussi petites qu’on le veut, sans rien changer à la valeur des quantités dont on cherche la relation ; ce qui fournit des moyens d’élimination qui n’appartiennent point au calcul ordinaire des différences finies, dans lequel ces différences sont fixes. ”

“ Si Borda fût sorti le premier, Lagrange m’en eût dit autant sans doute de son confrère, homme de sens et de beaucoup d’esprit, qui, comme Lagrange, ne changeait pas volontiers les idées qu’il n’avait adoptées qu’après un mûr examen.
Souvent on remarquait dans son ton une légère et douce ironie, sur l’intention de laquelle il était possible de se méprendre, et dont je n’ai pas vu d’exemple que personne ait pu se tenir offensé ; ainsi il me disait un jour : « Ces Astronomes sont singuliers ; ils ne veulent pas croire à une théorie, quand elle ne s’accorde pas avec leurs observations. » ”

“ Lagrange le démontre ; il fonde ses nouvelles recherches sur les lois connues de la Dynamique ; en ne considérant dans l’air que les particules qui se trouvent en ligne droite, il ramène le problème à celui des cordes vibrantes, sur lequel les plus grands Géomètres étaient divisés ; il fait voir que leurs calculs sont insuffisants pour décider la question, il entreprend une solution générale par une analyse aussi neuve qu’intéressante, puisqu’elle permet de résoudre à la fois un nombre indéfini d’équations, et qu’elle s’étend jusque sur les fonctions discontinues ”

“ Au lieu de combiner les orbites deux à deux, comme ses prédécesseurs, il les considère toutes ensemble, et, quel qu’en soit le nombre, il parvient à donner à l’équation une forme qui permet l’intégration, en supposant d’une part le principe fondamental de la gravitation, et de l’autre les orbites connues, comme elles le sont pour une certaine époque. Son analyse détermine ce qu’elles ont été, ce qu’elles deviendront dans tous les siècles passés et futurs. La solution ne laisse rien à désirer, si ce n’est une connaissance plus exacte de la masse des planètes qui n’ont point de satellites. ”

“ Lagrange a fait plus habituellement un autre usage de ses sublimes talents ; il tire tout de l’Analyse. Il est pourtant plus vrai de dire qu’il a réuni au plus haut degré l’une et l’autre méthode ; la preuve en est dans le Calcul des variations, auquel ne peut se comparer, ni pour la grandeur, ni pour l’universalité, aucune des idées les plus heureuses des autres Géomètres ”

“ Mademoiselle, je ne comprends pas du tout l’analyse que vous m’envoyez ; il y a certainement erreur, ou dans l’écriture, ou dans le raisonnement et je suis porté à croire que vous n’avez pas une idée bien nette des opérations qu’on fait sur les intégrales doubles dans le calcul des variations. Votre explication des quatre points ne me satisfait pas davantage. Lagrange a eu raison de considérer deux éléments consécutifs dans la courbe élastique, et de mesurer l’élasticité par l’angle compris entre les deux éléments. ”

“ C’est au sujet de ces découvertes, qui paraissent si simples et si faciles à ceux qui les reçoivent toutes faites avec leurs nombreuses et importantes applications, que Lagrange s’exprime en ces termes, dans sa mécanique analytique :
La dynamique est la science des forces accélératrices ou retardatrices, et des mouvements variés qu’elles doivent produire. Cette science est due exclusivement aux modernes, et c’est Galilée qui en a jeté les premiers fondements. ”

“ Ce fut pour eux une bien bonne fortune que le système du monde, découvert par Newton. Jamais l’Analyse transcendante ne pouvait trouver un sujet plus digne et plus grand ; quelques progrès qu’on y fasse, le premier inventeur conservera son rang ; aussi M. Lagrange, qui le citait souvent comme le plus grand génie qui eût jamais existé, ajoutait-il aussitôt : et le plus heureux ; on ne trouve qu’une fois un système du monde à établir. ”

“ Telle est la combinaison conçue par Lagrange, et si admirablement développée dans sa Mécanique analytique, qui a élevé la science générale de la mécanique abstraite au plus haut degré de perfection que l'esprit humain puisse ambitionner sous le rapport logique, c'est-à-dire à une rigoureuse unité, toutes les questions qui peuvent s'y rapporter étant désormais uniformément rattachées à un principe unique, d'après lequel la solution définitive d'un problème quelconque ne présente plus nécessairement que des difficultés analytiques. ”

“ Mais c’est à Lagrange qu’on doit l’algorithme qui a donné à cette belle théorie un caractère propre et une marche uniforme et simple autant que possible.
Dans les questions ordinaires de maximis et minimis, il s’agit de trouver des valeurs déterminées qu’on doit attribuer aux diverses variables qui entrent dans telle ou telle fonction finie proposée de ces mêmes variables, pour que cette fonction obtienne la plus grande ou la plus petite valeur possible. ”

“ Le calcul n’avait fourni jusqu’à ces dernières années, sur tous ces phénomènes intéressants, que la loi simple et de première approximation de Lagrange, d’après laquelle la vitesse de propagation des ondes et des remous dont il s’agit devait être sensiblement la même pour toutes leurs parties et peu différente de la racine carrée du produit du nombre par la profondeur primitive. ”

“ La matière, difficile et nouvelle, était traitée de main de maître, Lagrange en a dit : « Le traité de dynamique de d'Alembert, mit fin à ces espèces de défis (que se posaient les mathématiciens du temps sur diverses questions de mécanique) en offrant une méthode directe et générale pour résoudre ou du moins pour mettre en équations tous les problèmes de dynamique qu'on peut imaginer. Cette méthode réduit les lois du mouvement des corps à celle de leur équilibre et ramène ainsi la dynamique à la statique. » ”

“ Cet état d'esprit de Lagrange, nous le retrouvons presque toujours à certains moments de la vie des plus grands savants. Les idées nouvelles qui leur sont apparues dans la période féconde de la jeunesse et qu'ils ont introduites dans le domaine commun leur ont donné tout ce qu'ils pouvaient en attendre; ils ont rempli leur tâche et éprouvent le besoin de tourner vers des sujets tout nouveaux l'activité de leur esprit. ”

“ Le but constant de cette première élaboration analytique, dans l'exposition de laquelle je ne dois nullement entrer ici, est de faire parvenir aux équations différentielles proprement dites, ce qui se peut toujours, et par-là la question rentre dans le domaine de l'analyse transcendante ordinaire, qui achève la solution, du moins en la ramenant à l'algèbre pure, si on sait effectuer l'intégration. La destination générale, propre à la méthode des variations, est d'opérer cette transformation, pour laquelle Lagrange a établi des règles simples, invariables, et d'un succès toujours assuré. ”

“ Satisfaits d’avoir écarté les difficultés plus réelles, ils s’inquiètent trop peu de l’embarras où ils laissent les calculateurs et du travail que doit leur imposer l’usage de la formule, même après qu’elle a été convenablement réduite. Nous n’oserions assurer que Lagrange n’ait pas été le plus souvent de cette opinion. Plus d’une fois il a exprimé ouvertement son vœu de voir encourager les recherches purement analytiques ; et, même quand il paraît se proposer la plus grande facilité des calculs usuels, c’est encore l’Analyse principalement qu’il perfectionne. ”

“ C’est trop s’arrêter sur un tel sujet ; lorsque nous nommons Newton, songeons au livre des Principes ; à cet édifice unique et incomparable que deux siècles d’études et de progrès, en le laissant intact, n’ont fait qu’étendre et affermir, et que Lagrange, l’illustre Lagrange, presque l’égal de Newton, a pu appeler, sans que personne osât y contredire, la plus haute production de l’esprit humain. ”

“ En exposant cette admirable filiation des principales conceptions de l'esprit humain relativement à la mécanique rationnelle, depuis l'origine de la science jusqu'à nos jours, le génie de Lagrange a certainement pressenti le véritable esprit général de la méthode historique, par cela seul qu'il a choisi une telle appréciation fondamentale pour base préliminaire de l'ensemble de ses propres spéculations scientifiques. ”

“ M. de Lagrange a trouvé que, dans cette hypothèse, la vraie équation [28] devrait être de la forme , en supposant d’ailleurs très petit. Je n’ai point vérifié ce calcul ; on peut s’en rapporter à son auteur. Mais ce qui du premier coup d’œil confirme son exactitude, c’est qu’en supposant la surface vibrante réduite à une lame d’une largeur constante, ce qui peut s’exprimer en faisant , on retombe sur l’équation [29] , qui est, autant qu’il m’en souvient (car je n’ai pas le volume sous la main) , l’équation donnée par Euler pour les lames élastiques vibrantes. ”

“ Lagrange a expressément montré comment, d'après cette seule considération, on peut, en général, retrouver la formule fondamentale de la dynamique. Mais, quelqu'utile que puisse être en certains cas une telle manière de procéder, il ne faut point s'exagérer son importance; car on ne doit pas perdre de vue qu'elle ne fournit par elle-même aucune intégrale finie des équations du mouvement; elle se borne seulement à établir ces équations d'une autre manière, qui peut quelquefois être plus convenable. ”

“ Lagrange observe très-bien, qu'indépendamment de la sphère inscrite, il y en a quatre autres, qui sont aussi bien qu'elle tangentes, chacune aux quatre faces de la pyramide , mais qu'alors il y a toujours- une de ces quatre faces qui n'est qu'extérieurement tangente à la sphère. Il est aisé, d'après cela, de trouver le rayon de ces quatre nouvelles sphères; car il n'y a qu'à regarder comme négative celle des faces à laquelle la sphère est extérieurement tangente, c'est-à-dire, donner successivement le signe - à chacun des radicaux qui les-expriment. ”

“ Ces écrits sont marqués au coin du génie original et profond auquel nous devions déjà le Calcul des variations et la Mécanique analytique ; comme ils doivent se trouver entre les mains de tous ceux qui veulent approfondir la science du calcul, je n'en dirai ici qu'un mot.
Afin de conserver, dans tout le cours de ses opérations, l'exactitude rigoureuse dont il s'est fait la loi de ne jamais s'écarter, Lagrange, qui fait aussi usage des différentielles, sous une autre dénomination et sous une autre notation, les considère comme des quantités finies, indéterminées. ”

“ Les grands maîtres de l'analyse moderne sont Lagrange, Laplace et Gauss qui furent contemporains, et il est intéressant de noter le contraste marqué qui existe dans leurs écrits. Lagrange est parfait à la fois dans la forme et dans le fond, il est soucieux de donner la voie qu'il a suivie et ses écrits sont d'une lecture facile.
Laplace par contre n'explique rien ; la forme le laisse indifférent, et une fois assuré de l'exactitude des résultats trouvés, il se con-
tente de les présenter sans démonstration ou quelquefois avec une démonstration imparfaite. ”

“ Lagrange, Laplace, Poisson avaient envisagé ce problème en purs mathématiciens : ils supposaient que les astres fussent réduits à des points, se déplaçant dans un milieu vide de toute matière. Poincaré, qui comprenait mieux que personne l’intérêt philosophique de cette belle recherche, s’en est occupé toute sa vie ; mais il a reconnu que, pour résoudre le problème de la stabilité, tel que l’univers nous le présente, il faut se placer au point de vue du physicien et tenir compte de bien des éléments qu’avaient négligés les géomètres. ”