Joseph Valentin Boussinesq

“ Il est, en effet, naturel que ce frottement du fluide sur la paroi soit proportionnel au nombre des molécules de la paroi rencontrées par le fluide dans l’unité de temps, c’est-à-dire à la vitesse, et augmente en outre avec le rapprochement produit, entre le liquide et le solide, rapprochement que la facilité avec laquelle un liquide se moule instantanément sur un solide doit rendre indépendant de la vitesse, mais qui n’en doit pas moins croître avec la pression. ”

“ Tout ce que l’état actuel de nos connaissances nous permet d’en savoir, c’est que la régularisation interne, le rétablissement incessant de l’isotropie, sont rendus possibles par l’amplitude des vibrations calorifiques, assez étendues dans tous les fluides pour dégager les molécules les unes des autres, et qui permettent à la matière d’y prendre, dans chaque cas, la disposition la plus stable, laquelle est naturellement la plus simple, c’est-à-dire la plus égale en tous sens, la plus homogène. ”

“ Le tassement d’une masse de sable, contenue dans un vase, au moyen de secousses multipliées imprimées au vase, phénomène où nous voyons les grains de sable affecter de même successivement un grand nombre de modes de groupement qui leur sont offerts et acquérir finalement le plus homogène possible pour le conserver désormais, peut nous faire comprendre comment l’agitation calorifique produit sans cesse dans les fluides un effet analogue, mais encore plus complet et plus rapide. ”

“ Le calcul n’avait fourni jusqu’à ces dernières années, sur tous ces phénomènes intéressants, que la loi simple et de première approximation de Lagrange, d’après laquelle la vitesse de propagation des ondes et des remous dont il s’agit devait être sensiblement la même pour toutes leurs parties et peu différente de la racine carrée du produit du nombre par la profondeur primitive. ”

“ Je rappelle d’abord que, dans une masse fluide suffisamment large et profonde qui commence à couler entre des parois quelconques, les moindres déviations causées par leurs rugosités, même imperceptibles, ou par les plus légères irrégularités du mouvement à l’entrée, etc., entraînent des chocs, des tourbillonnements, qui se communiquent d’une particule à l’autre, se multiplient dès que la vitesse est sensible, et sillonnent bientôt en tous sens la masse. ”

“ Arrêtons-nous un instant à ce problème de l’écoulement par un tuyau ou par un canal découvert remplis de sable, problème très-important, soit dans la théorie des filtres, soit dans l’étude de la marche des eaux souterraines, et prenons un axe longitudinal des abscisses dirigé le long de l’axe même du tuyau ou, quand le canal est découvert, suivant le profil longitudinal de la surface libre du liquide (d’ailleurs cachée par le milieu poreux) . J’appellerai : la densité du liquide ; la pente, généralement un peu variable avec de l’axe des abscisses ”

“ De plus, comme le prouve cette dernière loi, une certaine ampleur de la section, une certaine aire occupée par le fluide au devant ou en face de l’élément du contour, et par unité de sa longueur n’est pas moins indispensable ; car elle seule donne du jeu au ballottement du fluide, aux mouvements oscillatoires normaux à la paroi, qui provoquent et puis entretiennent l’agitation en écartant ou rapprochant de la paroi les particules affluentes dans le voisinage et en les faisant, dès lors, par leur engrènement avec les inégalités de celle-ci tour à tour diminué et accru, tournoyer en sens divers. ”

“ Mais si l’inégalité de vitesse des filets fluides n’a qu’une influence ordinairement négligeable sur la célérité de propagation du centre de gravité d’une intumescence, elle en a, au contraire, une grande sur la manière dont leur courbure tend à modifier, d’un instant à l’autre, la forme de la surface libre ”

“ Quand le milieur extérieur est une paroi fixe, l’ignorance où l’on est de la composante normale de sa pression se trouve suppléée par la connaissance de la composante analogue de vitesse, alors nulle. Mais on ne peut se dispenser d’avoir une formule de ses composantes tangentielles, c’est-à-dire du frottement extérieur opposé en direction au glissement sur la paroi, des couches fluides presque contiguës, plus intérieurs toutefois que la couche extrêmement mince immobilisée par adhésion à la paroi. ”

“ L’influence des frottements et de la pente de fond, cause de complications dans les problèmes de mouvement non permanent, quand elle intervient comme perturbatrice et secondaire, mais surtout quand elle est du même ordre de grandeur que les autres actions en jeu, amène, au contraire, une simplification notable lorsqu’elle atteint d’assez grandes valeurs pour masquer, à une première approximation, la non-permanence du régime. ”

“ Donc la pression exercée sur cet élément plan, fonction de la configuration observée, occupe aussi, par rapport à lui, une position invariable, et ne peut qu’être dirigée suivant la normale. D’ailleurs, la configuration observée restant encore la même quand l’élément plan change ensuite de direction, la pression a, par unité d’aire, la même valeur sur tous les éléments plans menés au même endroit. Ainsi, l’isotropie entraîne la normalité des pressions et leur égalité en tous sens, circonstances que nous savons d’autre part être solidaires. ”

“ Or c’est justement de ces vitesses actuelles (1) de dilatation et de glissement, en même temps que de la température et de la densité actuelles de la particule (supposée sans viscosité appréciable) , que dépendent les écarts existant entre la contexture interne effective de la particule et sa contexture élastique ou isotrope à la même température et à la même densité, écarts en rapport avec la rapidité actuelle des déformations, qui ne laisse pas le temps à la particule de refaire son isotropie sans cesse troublée par la continuation du mouvement relatif de sa matière [4] . ”

“ Leur principale différence, trouvée par M. Belanger dès 1828, consiste en ce que le régime uniforme se détruit assez graduellement dans les premiers, pour que la forme des remous de gonflement et d’abaissement, produits aux points où s’opère cette destruction, puisse être déterminée au moyen de l’équation du mouvement permanent graduellement varié, tandis que, dans les seconds, dont les remous de gonflement sont des ressauts, le même régime se détruit trop rapidement pour que la courbure des filets fluides soit négligeable aux mêmes endroits. ”

“ Et l’on reconnait qu’alors le quotient ou, par suite, le quotient ne dépendent bien, en effet, dans le tube elliptique, que des rapports de aux demi-dimensions correspondantes de la section, mais qu’ils dépendent, en outre, dans le tube rectangulaire, du rapport même de ces demi-dimensions entre elles. Or s’ils sont, de la sorte, pour la section rectangulaire, fonctions de trois variables dans le cas le plus simple, à plus forte raison doivent-ils l’être dans les autres, c’est-à-dire quand le mouvement devient tumultueux ou agité. ”

“ Dans le premier de ces problèmes, qui est aussi le plus important, je trouve que les ondulations du fond déterminent la formation, sur la surface, d’ondulations de même longueur, produites d’autant plus en amont de celles du fond que la pente moyenne de ce dernier est plus petite, mais qui s’en rapprochent et passent même à leur aval quand cette pente atteint ou dépasse une valeur particulière, moyennement égale à et désignant respectivement la longueur d’une ondulation complète et la profondeur moyenne. ”

“ L’action du liquide sur sa couche superficielle se réduira donc à sa composante normale, que l’on égalera à la pression donnée de l’atmosphère ; et, inversement à ce qui arrivait auprès d’une paroi fixe, la connaissance de cette pression suppléera à celle de la vitesse de déplacement de la surface, c’est-à-dire à la connaissance de la composante de la vitesse moyenne locale, suivant le sens normal. ”

“ Si l’hypothèse de Newton, reproduite par Navier et Poisson, et qui consiste à prendre le frottement intérieur proportionnel à la vitesse relative des filets glissant les uns devant les autres, peut être appliquée approximativement pour les divers points d’une même section fluide, tous les faits connus portent à inférer qu’il faut faire croître le coefficient de cette proportionnalité avec les dimensions des sections transversales ”

“ Le degré d’agitation, voilà la vraie variable dont dépend. L’observation, même la plus superficielle, des grands écoulements, comparés à ceux qu’offrent les tubes capillaires et dont les lois ont été données par Poiseuille, montre que la valeur de ce coefficient pour des mouvements bien continus n’est presque rien par rapport à celles qu’il prend dès que l’agitation devient notable. ”

“ Les changements arbitraires de forme d’un fluide, produits avec une lenteur suffisante, qui n’altéreront pas la densité, ne feront donc naître dans le fluide aucune résistance appréciable, susceptible de s’opposer à leur continuation ou de les maintenir entre certaines limites. Aussi ces déformations pourront-elles, sans que leur cause devienne sensible, atteindre des valeurs quelconques, et, en particulier, le fluide se moulera parfaitement sur tout solide qui le touchera si légèrement que ce soit. ”

“ Mais il importe, dès à présent, d’observer que l’existence de frottements intérieurs, de pressions obliques et inégales en divers sens, dans les fluides qui se déforment avec une vitesse suffisante, ne constitue pas une propriété de ces corps purement accidentelle, ou susceptible de disparaître en laissant subsister dans l’état de mouvement la fluidité parfaite (c’est-à-dire la normalité et l’égalité en tous sens des pressions) dont ils jouissent dans l’état de repos. ”

“ Il n’est donc fonction de celles-ci qu’à la manière d’une moyenne locale, où se confondent leurs détails tant de direction que de grandeur ; et l’on peut dire qu’il dépend uniquement (à part les variables de l’état élastique moyen local) du degré actuel moyen d’intensité de l’agitation au point considéré, comme les coefficients évaluant les propriétés physiques d’un corps dépendent en général du degré de son imperceptible agitation calorifique appelé température. ”

“ De l’isotropie simple et de l’isotropie symétrique. — Quoique les fluides soient les plus simples des corps, surtout au point de vue des propriétés mécaniques ou des formules qui relient, dans toute particule matérielle, les pressions à l’état moyen local actuel [2] , néanmoins, la définition de la fluidité suppose la connaissance d’une notion, d’ailleurs capitale dans toutes les branches de la Physique, qu’il convient d’exposer d’abord, celle de l’isotropie. ”

“ Dans les cas de la section circulaire et demi-circulaire, la loi simple d’accroissement de vers l’axe, exprimée par le dernier facteur ne peut plus s’appliquer aux petites distances de l’axe, où elle conduirait à supposer une agitation presque infinie, physiquement inadmissible. Mais elle n’y donne aucun frottement très grand par unité d’aire, vu que la vitesse relative du glissement moyen local des couches y décroît jusqu’à zéro, par raison de continuité et de symétrie. ”

“ Passons au cas plus général de tuyaux ayant leur contour d’une même forme quelconque, définie par une relation donnée entre les rapports des coordonnées de leurs divers points au rayon moyen et comprenons-y d’ailleurs celui d’un canal découvert, en imaginant alors, comme il a été indiqué ci-dessus, un tuyau de section double où le contour mouillé, double également, se composerait du proposé et de son symétrique par rapport à la surface libre. ”

“ Le mouvement brownien, agitation lente mais perpétuelle de l’eau et de l’air les plus calmes, rendue perceptible au microscope par l’entraînement des poussières éparses à leur intérieur, n’est peut-être que la partie visible de cette agitation, celle des particules qui, exceptionnellement, progressent dans une même direction sur une étendue et durant un temps appréciables. ”

“ Si l’on prend celle d’entre elles qui sont à une distance de la paroi à peine perceptible, et néanmoins suffisante pour que leur vitesse moyenne locale n’éprouve plus de l’une à l’autre le très rapide accroissement local dû à leur voisinage même de la couche immobilisée, la vitesse à très peu près la même sur une épaisseur sensible, y sera ce que les hydrauliciens appellent la vitesse à la paroi. ”