Joseph Valentin Boussinesq

“ Tout ce que l’état actuel de nos connaissances nous permet d’en savoir, c’est que la régularisation interne, le rétablissement incessant de l’isotropie, sont rendus possibles par l’amplitude des vibrations calorifiques, assez étendues dans tous les fluides pour dégager les molécules les unes des autres, et qui permettent à la matière d’y prendre, dans chaque cas, la disposition la plus stable, laquelle est naturellement la plus simple, c’est-à-dire la plus égale en tous sens, la plus homogène. ”

“ Je rappelle d’abord que, dans une masse fluide suffisamment large et profonde qui commence à couler entre des parois quelconques, les moindres déviations causées par leurs rugosités, même imperceptibles, ou par les plus légères irrégularités du mouvement à l’entrée, etc., entraînent des chocs, des tourbillonnements, qui se communiquent d’une particule à l’autre, se multiplient dès que la vitesse est sensible, et sillonnent bientôt en tous sens la masse. ”

“ Le tassement d’une masse de sable, contenue dans un vase, au moyen de secousses multipliées imprimées au vase, phénomène où nous voyons les grains de sable affecter de même successivement un grand nombre de modes de groupement qui leur sont offerts et acquérir finalement le plus homogène possible pour le conserver désormais, peut nous faire comprendre comment l’agitation calorifique produit sans cesse dans les fluides un effet analogue, mais encore plus complet et plus rapide. ”

“ Donc la pression exercée sur cet élément plan, fonction de la configuration observée, occupe aussi, par rapport à lui, une position invariable, et ne peut qu’être dirigée suivant la normale. D’ailleurs, la configuration observée restant encore la même quand l’élément plan change ensuite de direction, la pression a, par unité d’aire, la même valeur sur tous les éléments plans menés au même endroit. Ainsi, l’isotropie entraîne la normalité des pressions et leur égalité en tous sens, circonstances que nous savons d’autre part être solidaires. ”

“ De plus, comme le prouve cette dernière loi, une certaine ampleur de la section, une certaine aire occupée par le fluide au devant ou en face de l’élément du contour, et par unité de sa longueur n’est pas moins indispensable ; car elle seule donne du jeu au ballottement du fluide, aux mouvements oscillatoires normaux à la paroi, qui provoquent et puis entretiennent l’agitation en écartant ou rapprochant de la paroi les particules affluentes dans le voisinage et en les faisant, dès lors, par leur engrènement avec les inégalités de celle-ci tour à tour diminué et accru, tournoyer en sens divers. ”

“ Or c’est justement de ces vitesses actuelles (1) de dilatation et de glissement, en même temps que de la température et de la densité actuelles de la particule (supposée sans viscosité appréciable) , que dépendent les écarts existant entre la contexture interne effective de la particule et sa contexture élastique ou isotrope à la même température et à la même densité, écarts en rapport avec la rapidité actuelle des déformations, qui ne laisse pas le temps à la particule de refaire son isotropie sans cesse troublée par la continuation du mouvement relatif de sa matière [4] . ”

“ L’action du liquide sur sa couche superficielle se réduira donc à sa composante normale, que l’on égalera à la pression donnée de l’atmosphère ; et, inversement à ce qui arrivait auprès d’une paroi fixe, la connaissance de cette pression suppléera à celle de la vitesse de déplacement de la surface, c’est-à-dire à la connaissance de la composante de la vitesse moyenne locale, suivant le sens normal. ”

“ Et l’on reconnait qu’alors le quotient ou, par suite, le quotient ne dépendent bien, en effet, dans le tube elliptique, que des rapports de aux demi-dimensions correspondantes de la section, mais qu’ils dépendent, en outre, dans le tube rectangulaire, du rapport même de ces demi-dimensions entre elles. Or s’ils sont, de la sorte, pour la section rectangulaire, fonctions de trois variables dans le cas le plus simple, à plus forte raison doivent-ils l’être dans les autres, c’est-à-dire quand le mouvement devient tumultueux ou agité. ”

“ Mais il importe, dès à présent, d’observer que l’existence de frottements intérieurs, de pressions obliques et inégales en divers sens, dans les fluides qui se déforment avec une vitesse suffisante, ne constitue pas une propriété de ces corps purement accidentelle, ou susceptible de disparaître en laissant subsister dans l’état de mouvement la fluidité parfaite (c’est-à-dire la normalité et l’égalité en tous sens des pressions) dont ils jouissent dans l’état de repos. ”

“ Le degré d’agitation, voilà la vraie variable dont dépend. L’observation, même la plus superficielle, des grands écoulements, comparés à ceux qu’offrent les tubes capillaires et dont les lois ont été données par Poiseuille, montre que la valeur de ce coefficient pour des mouvements bien continus n’est presque rien par rapport à celles qu’il prend dès que l’agitation devient notable. ”

“ Il n’est donc fonction de celles-ci qu’à la manière d’une moyenne locale, où se confondent leurs détails tant de direction que de grandeur ; et l’on peut dire qu’il dépend uniquement (à part les variables de l’état élastique moyen local) du degré actuel moyen d’intensité de l’agitation au point considéré, comme les coefficients évaluant les propriétés physiques d’un corps dépendent en général du degré de son imperceptible agitation calorifique appelé température. ”

“ Les changements arbitraires de forme d’un fluide, produits avec une lenteur suffisante, qui n’altéreront pas la densité, ne feront donc naître dans le fluide aucune résistance appréciable, susceptible de s’opposer à leur continuation ou de les maintenir entre certaines limites. Aussi ces déformations pourront-elles, sans que leur cause devienne sensible, atteindre des valeurs quelconques, et, en particulier, le fluide se moulera parfaitement sur tout solide qui le touchera si légèrement que ce soit. ”

“ Passons au cas plus général de tuyaux ayant leur contour d’une même forme quelconque, définie par une relation donnée entre les rapports des coordonnées de leurs divers points au rayon moyen et comprenons-y d’ailleurs celui d’un canal découvert, en imaginant alors, comme il a été indiqué ci-dessus, un tuyau de section double où le contour mouillé, double également, se composerait du proposé et de son symétrique par rapport à la surface libre. ”

“ Dans les cas de la section circulaire et demi-circulaire, la loi simple d’accroissement de vers l’axe, exprimée par le dernier facteur ne peut plus s’appliquer aux petites distances de l’axe, où elle conduirait à supposer une agitation presque infinie, physiquement inadmissible. Mais elle n’y donne aucun frottement très grand par unité d’aire, vu que la vitesse relative du glissement moyen local des couches y décroît jusqu’à zéro, par raison de continuité et de symétrie. ”

“ De l’isotropie simple et de l’isotropie symétrique. — Quoique les fluides soient les plus simples des corps, surtout au point de vue des propriétés mécaniques ou des formules qui relient, dans toute particule matérielle, les pressions à l’état moyen local actuel [2] , néanmoins, la définition de la fluidité suppose la connaissance d’une notion, d’ailleurs capitale dans toutes les branches de la Physique, qu’il convient d’exposer d’abord, celle de l’isotropie. ”

“ Le mouvement brownien, agitation lente mais perpétuelle de l’eau et de l’air les plus calmes, rendue perceptible au microscope par l’entraînement des poussières éparses à leur intérieur, n’est peut-être que la partie visible de cette agitation, celle des particules qui, exceptionnellement, progressent dans une même direction sur une étendue et durant un temps appréciables. ”

“ Si l’on prend celle d’entre elles qui sont à une distance de la paroi à peine perceptible, et néanmoins suffisante pour que leur vitesse moyenne locale n’éprouve plus de l’une à l’autre le très rapide accroissement local dû à leur voisinage même de la couche immobilisée, la vitesse à très peu près la même sur une épaisseur sensible, y sera ce que les hydrauliciens appellent la vitesse à la paroi. ”

“ Les perturbations doivent donc être bien moins sensibles dans la section rectangulaire large ; et l’on s’explique que la deuxième approximation n’y ait pas été nécessaire, comme elle l’était dans le cas de la section circulaire ou demi-circulaire, pour faire à peu près disparaître les petits désaccords sur la différence des deux valeurs correspondantes de et sur le coefficient dans le rectangle, que la première laissait subsister entre la théorie et l’expérience [1] . ”

“ On sait que les grands écoulements fluides, tels qu’ils se produisent dans les tuyaux de conduite et les canaux découverts, n’ont longtemps offert aux géomètres, même quand un lit régulier y assure l’uniformité du régime, qu’une énigme désespérante, suivant le mot de l’un de ceux qui s’étaient le plus longtemps et le plus obstinément appliqués à les comprendre, l’illustre Barré de Saint-Venant, célèbre par sa belle solution des problèmes de la torsion et de la flexion des prismes. ”

“ En résumé, que le fluide soit ou non symétrique, comme il est toujours isotrope dans l’état élastique, l’on est conduit à admettre que tout élément plan principal, au point de vue des déformations moyennes locales, est aussi principal au point de vue des pressions moyennes locales, c’est-à-dire perpendiculaire à la pression exercée sur lui. ”

“ En reportant fictivement à la paroi, comme le fait la seconde formule approchée (15) , l’excédent d’agitation produit en réalité dans la masse fluide périphérique, mais, par contre, en imaginant continuée jusque sur l’axe la concentration d’agitation avec renforcement, qui paraît terminée à l’approche de la région centrale, on tient approximativement compte du considérable accroissement de l’agitation et de dans la première région, sans avoir besoin de l’y faire ni aussi fort qu’il l’est, ni aussi exclusif (de la région centrale) quant à son siège. ”

“ Il est clair que, de même, l'énergie interne, également fonction (comme les pressions) de la température et de l'état statique vrai des groupes moléculaires, deviendra, elle aussi, fonction des vitesses de déformation de la particule, auxquelles se trouvent liés les écarts de l'état interne réel d'avec l'état élastique. ”

“ Mais on voit, par les formules (8) et (10) , appliquées (avec d’autres valeurs des cosinus ) au passage du système des directions principales à un système quelconque d’axes rectangulaires, que ce coefficient serait encore le même si l’on rapportait le mouvement à des coordonnées rectangles arbitraires, de sorte qu’il constitue un coefficient de frottement intérieur dépendant des déformation d’agitation au point considéré sans dépendre nu de leurs valeurs à un instant plus qu’aux instants voisins, ni des angles de leurs directions ou de leurs plans avec aucuns autres. ”

“ De là, sans doute, dans l’expression du coefficient de frottement extérieur et, par suite, d’après la première formule (32) , dans le numérateur du coefficient usuel l’augmentation qu’exprime proportionnellement le second terme du facteur binôme augmentation inverse du rayon moyen et fortement croissante avec le degré de rugosité. L’introduction de ce facteur binôme s’explique donc autrement et mieux que par une tendance lointaine, dès lors vague, de l’écoulement vers les lois de Poiseuille. ”

“ Au-dessous du rayon moyen minimum dont il s’agit, si l’écoulement reste néanmoins assez rapide par l’effet d’une pente motrice convenable, le courant, manquant en quelque sorte de place pour son passage, doit laisser moins de fluide mort entre les aspérités de son lit, les contourner ainsi plus profondément ou plus complètement, et y produire des chocs plus forts, à égalité de la vitesse de translation. ”

“ Les vitesses latérales ou transversales seront donc, comparativement à la vitesse longitudinale des quantités du premier ordre de petitesse, ayant leurs carrés et produits négligeables ; et, comme toutes ces vitesses ne changeront dans un rapport sensible qu’au bout de temps assez longs ou sur de grands parcours, l’on pourra négliger aussi les accélérations et les dérivées en tandis que l’accélération longitudinale et la dérivée de en seront du premier ordre de petitesse. ”

“ Il est surtout difficile de ne pas regarder comme paradoxal que ces deux ou trois sortes de sections donnent de plus grandes vitesses moyennes que le cercle, à égalité de pente motrice et de rayon moyen, tant on est habitué à voir la figure circulaire surpasser toutes les autres en effets produits, à raison même de sa génération uniforme. ”

“ Or ces formules expriment que les vitesses moyennes locales prises séparément, et les vitesses d’agitation prises aussi séparément, vérifient, tant les unes que les autres, cette condition de conservation des volumes, si on les suppose se produisant aux divers points de l’espace, comme elles s’y produisent ensemble dans le mouvement effectif. Donc la relation (3) se dédouble en deux autres (4) , (5) , où les déformations d’agitation ne sont pas mêlées à celles du mouvement moyen local : en sorte que l’indépendance mutuelle de ces deux catégories de déformation subsiste. ”

“ Quatrièmement, énergie interne d’un fluide à l’état élastique. — Toujours à l’état élastique, l’énergie interne d’une particule fluide par unité de masse ne pourra également dépendre, à une température donnée que de l’espace total occupé par sa matière et d’après l’étendue duquel se rangent ses molécules : ce sera donc, comme la pression une certaine fonction des deux seules variables
(Je supprime le reste de ce numéro et le numéro suivant, à peu près étrangers au sujet de la présente publication.) ”

“ Les propriétés physiques liées à sa configuration interne s’exprimeront évidemment de même, dans tous les systèmes de coordonnées fournis par trois axes rectangulaires participant au mouvement de l’observateur, c’est-à-dire qui se déduisent d’un premier système d’axes au moyen d’une rotation quelconque, ou qui présentent la même disposition mutuelle, ceux des et des positifs étant, par exemple, devant l’observateur, respectivement à sa gauche et à sa droite, quand l’axe des va de ses pieds vers sa tête. ”

“ Il y a lieu de supposer que, dans le cas intermédiaire, moins abordable, mais très usuel, de rayons moyens ou de vitesses moyennes assez faibles pour que l’agitation masque en majeure partie les effets du frottement régulier sans les annihiler, les lois de l’écoulement s’écartent un peu des précédentes, dans le sens indiqué par celles de Poiseuille. ”