Joseph Valentin Boussinesq

“ L’influence des frottements et de la pente de fond, cause de complications dans les problèmes de mouvement non permanent, quand elle intervient comme perturbatrice et secondaire, mais surtout quand elle est du même ordre de grandeur que les autres actions en jeu, amène, au contraire, une simplification notable lorsqu’elle atteint d’assez grandes valeurs pour masquer, à une première approximation, la non-permanence du régime. ”

“ Le calcul n’avait fourni jusqu’à ces dernières années, sur tous ces phénomènes intéressants, que la loi simple et de première approximation de Lagrange, d’après laquelle la vitesse de propagation des ondes et des remous dont il s’agit devait être sensiblement la même pour toutes leurs parties et peu différente de la racine carrée du produit du nombre par la profondeur primitive. ”

“ Arrêtons-nous un instant à ce problème de l’écoulement par un tuyau ou par un canal découvert remplis de sable, problème très-important, soit dans la théorie des filtres, soit dans l’étude de la marche des eaux souterraines, et prenons un axe longitudinal des abscisses dirigé le long de l’axe même du tuyau ou, quand le canal est découvert, suivant le profil longitudinal de la surface libre du liquide (d’ailleurs cachée par le milieu poreux) . J’appellerai : la densité du liquide ; la pente, généralement un peu variable avec de l’axe des abscisses ”

“ Un tuyau ou un canal se compose, en général, de parties plus ou moins longues dans l’étendue desquelles le régime est graduellement varié, reliées les unes aux autres par d’autres parties courtes, où la courbure des filets n’est pas négligeable et où même parfois leur inclinaison mutuelle cesse d’être petite. ”

“ Si l’hypothèse de Newton, reproduite par Navier et Poisson, et qui consiste à prendre le frottement intérieur proportionnel à la vitesse relative des filets glissant les uns devant les autres, peut être appliquée approximativement pour les divers points d’une même section fluide, tous les faits connus portent à inférer qu’il faut faire croître le coefficient de cette proportionnalité avec les dimensions des sections transversales ”

“ Il est vrai que des savants estimables ont tenté, tout récemment encore, d’expliquer l’écoulement dans les conduites et dans les canaux découverts en supposant, du moins à une première approximation, la continuité parfaite des mouvements du fluide. Mais une telle hypothèse me paraît être devenue complètement inadmissible depuis les expériences si précises du docteur Poiseuille sur l’écoulement dans les tubes capillaires, expériences qui prouvent : d’une part, l’exactitude des expressions des frottements intérieurs données par Navier pour les mouvements continus ”

“ Leur principale différence, trouvée par M. Belanger dès 1828, consiste en ce que le régime uniforme se détruit assez graduellement dans les premiers, pour que la forme des remous de gonflement et d’abaissement, produits aux points où s’opère cette destruction, puisse être déterminée au moyen de l’équation du mouvement permanent graduellement varié, tandis que, dans les seconds, dont les remous de gonflement sont des ressauts, le même régime se détruit trop rapidement pour que la courbure des filets fluides soit négligeable aux mêmes endroits. ”

“ Enfin ces lois cessent de se vérifier quand la hauteur de l’intumescence dévient comparable à la profondeur primitive : alors l’onde initiale déferle sans cesse ; sa hauteur n’est plus supérieure à celle de la lame qui suit et, à cause sans doute de l’exagération des frottements du fond ou des bords, le carré de la vitesse de propagation n’égale plus environ que le produit de par la distance de la face supérieure de cette lame au fond. ”

“ Les expériences de M. Bazin, soit sur les ondes isolées, positives ou négatives, qui montent ou qui descendent le long d’un canal en pente, soit sur les remous indéfinis propagés, dans un canal pareil, en sens inverse du courant, confirment cette théorie et montrent même l’exactitude de la réflexion précédente relative aux ondes et aux intumescences ascendantes peu rapides [10] . ”

“ Dans le premier de ces problèmes, qui est aussi le plus important, je trouve que les ondulations du fond déterminent la formation, sur la surface, d’ondulations de même longueur, produites d’autant plus en amont de celles du fond que la pente moyenne de ce dernier est plus petite, mais qui s’en rapprochent et passent même à leur aval quand cette pente atteint ou dépasse une valeur particulière, moyennement égale à et désignant respectivement la longueur d’une ondulation complète et la profondeur moyenne. ”

“ Des expériences de M. Bazin confirment, la division, en deux classes, des ressauts qui se produisent au bas des torrents : ressauts longs et onduleux, quand le torrent est peu rapide ; ressauts courts, sans inflexion à leur partie inférieure, et ne pouvant présenter des ondulations qu’après le relèvement de la surface, quand le torrent est, au contraire, de forte pente [6] .
Influence d’une courbure sensible du fond. Cas d’un fond régulièrement ondulé. ”

“ Malheureusement, il est presque toujours nécessaire d’y tenir compte des frottements et de la pente de fond, qui introduisent, même dans le cas analytiquement traitable de remous d’une médiocre hauteur, une assez grande complication, nécessitant de longs calculs numériques. Toutefois, deux lois assez simples régissent encore, l’une, les vitesses de propagation des diverses parties de l’onde, l’autre, les vitesses moyennes des molécules sur une section quelconque. ”

“ C’est ce qui arrive dans le mouvement quasi-permanent, qui est celui de tous les cours d’eau en temps ordinaire (sauf dans leurs parties maritimes, sujettes à l’influence des marées) , et qui est même souvent celui des grandes rivières en temps de crue. ”

“ Cette équation et la destruction du régime uniforme ou, plus généralement, de tout régime graduellement varié. s’obtient facilement quand on raisonne dans la supposition très-probable que l’influence des courbures dépend peu des différences de vitesse, habituellement modérées, des filets fluides, et lorsqu’on se borne au cas, le plus ordinaire, d’un canal découvert de grande largeur, dont le fond a son profil longitudinal droit ou courbe, mais sensiblement contenu dans un plan vertical. ”