Forme géométrique

“ DE LA GÉOMÉTRIE La géométrie est un inventaire des formes, en vue de déterminer des relations de distance et de grandeur entre les objets de l’expérience. Sa loi est de compliquer progressivement les formes en partant des plus simples ; son succès est tel qu’il n’est point de problème géométrique qui ne se puisse résoudre par des triangles égaux ou semblables, le triangle étant la plus simple des figures terminées, comme la droite est la plus simple des lignes, et qu’il n’est point de courbe qui ne s’inscrive toute sur trois axes rectilignes. ”

“ Nous comprenons donc, avant tout, qu’il eût été surérogatoire, et conséquemment anti-philosophique, d’attribuer aux atomes, en vue de leurs destinations respectives, autre chose qu’une différence de forme au moment de leur dispersion, et postérieurement une inégalité particulière de distance, — toutes les autres différences naissant ensemble des premières, dès les premiers pas que la masse a faits vers sa constitution. Nous établissons donc l’Univers sur une base purement géométrique. ”

“ Si le plan fixe est à l'infini, on conclut de ce théorème cette autre propriété singulière des surfaces géométriques : Étant donnée une surface géométrique ; si on lui mène ses plans tangents parallèles à un même plan, leurs points de contact avec la surface auront pour centre des moyennes distances un point fixe, quelle que soit la direction commune des plans tangents. ”

“ Hâtons-nous de dire, cependant, pour éviter toute interprétation inexacte de notre but et de notre sentiment sur les deux méthodes qui se partagent le domaine des sciences mathématiques, que notre admiration pour l'instrument analytique, si puissant de nos jours, est sans bornes, et que nous n'entendons pas lui mettre en parallèle, sur tous les points, la méthode géométrique. ”

“ On doit remarquer cependant que, si l'équation (1) , outre-les variables x, y, z, renfermait une ou plusieurs indéterminées, cette équation fournirait autant de surfaces différentes que l'on pourrait donner de valeurs aux indéterminées, en sorte que, dans ce cas, le lieu géométrique serait l'assemblage d'une infinité de surfaces ou de couches infiniment minces, qui formeraient alors, à proprement parler, un solide. ”

“ Ce théorème se conclut, par le principe de dualité, de cette autre proposition, dont la démonstration résulte des premiers principes de la Géométrie analytique, savoir : Le lieu d'un point dont les distances à plusieurs plans fixes ont entre elles une relation constante, du degré m, est une surface géométrique, qu'une droite quelconque rencontre en m points (réels ou imagi- naires) . ”

“ DÉFINITION DE LA GÉOMÉTRIE , DU CERCLE, DES PERPENDICULAIRES , DES PARALLÈLES ET DES ANGLES.
NOl. On entend par géométrie, la connaissance des propriétés et la mesure de l'étendue.
L'étendue a trois dimensions : longueur AB, largeur AD , et hauteur BC, qu'on nomme aussi épaisseur ou profondeur. Avec deux de ces dimensions on forme les surfaces, et avec les trois dimensions on forme les cubes et les parallélipipèdes n° 2. Chaque ligne n'a d'autre dimension que la longueur. Tout corps qui réunit les trois dimensions est un solide. ”

“ Peut-on voir une rectitude géométrique dans un raisonnement poussé à, l'extrême à travers le monde des idées? Non sans doute, car on n'est pas géomètre par cela seul qu'on tire une ligne droite à travers l'espace. La géométrie, comme son nom l'indique, sert à mesurer la terre; elle la mesure par la loi du triangle, dont l'angle est le principe, et l'angle suppose deux lignes qui se joignent et se servent mutuellement de point de départ. ”

“ Il ne faut point perdre de vue que, pour qu'une question géométrique tombe dans le domaine propre de la géométrie descriptive, elle doit nécessairement avoir toujours été résolue préalablement par la géométrie spéculative, dont ensuite, comme nous l'avons vu, les solutions ont constamment besoin d'être préparées pour la pratique de manière à suppléer aux constructions en relief par des constructions planes, substitution qui constitue réellement la seule fonction caractéristique de la géométrie descriptive. ”

“ DE LA GÉOMÉTRIE. 35
demie de Saint-Pétersbourg ( 1) ; par Carnot, dans sa Géométrie de position (2) ; par J. Français (3) , Poisson (4) , Binet ( 5) et Hachette (6) .
M. Gaultier, ancien élève de l'Ecole Polytechnique et professeur de Géométrie descriptive au Conservatoire des arts et métiers, donna le premier une solution géométrique générale du problème. Le beau travail qui contient cette solution est intitulé : Mémoire sur les moyens généraux de construire graphiquement un cercle déterminé par trois conditions, et une sphère déterminée par quatre conditions. ”

“ Les mathématiciens appellent lignes les limites ou termes des surfaces, ils les divisent en droite et en courbes. Pour la facilité de leurs démonstrations, ils imaginent les solides transparents comme du verre, pour s'en mieux représenter la forme et les lignes. Dans les livres de géométrie, on trace seulement en lignes pointées les formes que l'œil suppose exister, mais qu'il ne pourrait voir sur des corps solides opaques. ”

“ Quelle géométrie pourront-ils construire ? Il est clair d’abord qu’ils n’attribueront à l’espace que deux dimensions ; ce qui jouera pour eux le rôle de la ligne droite, ce sera le plus court chemin d’un point à un autre sur la sphère, c’est-à-dire un arc de grand cercle, en un mot leur géométrie sera la géométrie sphérique. ”

“ Pour qu'un espace à deux dimensions possède les propriétés géométriques qui nous ont été rendues familières par l'étude de la géométrie élémentaire, il est nécessaire que l'on puisse construire, en un point quelconque de cet espace, une figure congruente à une figure donnée. ”

“ En effet, la géométrie descriptive, plus élégante que la géométrie simple, plus générale dans les rapports qu'elle saisit et les résultats qu'elle présente, est plus applicable à un art qui a pour objet de représenter les corps suivant les lois de la vision, et de faire voir tout ce qui peut résulter, dans l'espace, de leurs formes et de leurs combinaisons ”

“ Dans la seconde Géométrie, on regarde la droite, ou le plan, suivant qu'on opère sur un plan ou dans l'espace, comme l'être primitif, ou l'unité qui doit servir à former toutes les autres parties de l'étendue. ”

“ Quand on aura exposé d'une manière rigoureuse tout ce qui concerne les figures tracées sur un plan, les élèves posséderont suffisamment la méthode géométrique. Ils n'auront aucune peine à croire qu'on peut appliquer les mêmes procédés et avec la même certitude aux figures dans l'espace et aux corps à trois dimensions. ”

“ On voit aisément que cette convention s’accorde avec celle qui la précédait et qui déterminait déjà l’ordre successif des points sur une droite.
Les déplacements des segments et des angles se feront suivant les méthodes connues de la Géométrie analytique. Une transformation de la forme
permet d’effectuer la translation des segments et des angles. ”

“ Il n’en est pas moins important de discuter les principes et les théorèmes fondamentaux de la Géométrie quand on fait abstraction de l’axiome des parallèles. Nous avons aussi exclu de notre étude la question importante de savoir s’il est possible, sans la notion du plan ni de la droite, au seul moyen des points comme éléments et en employant la notion des groupes des déplacements, ou a l’aide de la notion de distance, d’édifier la Géométrie d’une manière logique. ”

“ Il suffira donc d'étudier les propriétés de la figure située dans ce plan, et d'en transporter l'énoncé à la figure située à l'infini. Par là, on saisira mieux l'ensemble et les rapports de toutes les parties d'une figure proposée dans l'espace; plusieurs de ses parties qui, situées à l'infini, échapperaient aux yeux et à l'esprit, deviendront palpables dans la nouvelle figure. On évitera des constructions que l'on serait obligé de concevoir idéalement sur des objets entièrement à l'infini ; et les raisonnements, devenus plus faciles, seront en même temps plus lumineux et plus convaincants. ”

“ « Une géométrie est l'ensemble de toutes les notions et de toutes les propriétés qui restent conservées lorsqu'on fait subir à une figure toutes les transformations appartenant à un groupe donné ». A chaque groupe de transformations correspond une géométrie distincte. Ainsi, par exemple, la géométrie élémentaire est l'ensemble de toutes les notions et de toutes les propriétés qui restent conservées après qu'on a fait subir à une figure une similitude quelconque. ”

“ Géométrie, — Les volumes, les surfaces et les lignes ont des formes diverses, et, par suite, des-propriétés particulières à chacune de ces formes. Ainsi les propriétés de la sphère ne sont pas celles du cube; de même toute ligne courbe ne jouit pas des propriétés de la circonférence. La géométrie a pour but d'étudier ces propriétés diverses, mais l'objet principal de cette science, c'est la mesure des volumes, des surfaces et des ligne s.
RÉSUMÉ.
Le volume d'un corps est l'espace qu'il occupe. ”

“ En effet, qu'une figure plane soit donnée à transformer; on imprimera à son plan un mouvement infiniment petit dans l'espace; les plans normaux aux trajectoires des différents points de la figure envelopperont une surface conique (qui aura son sommet en un point du plan de la figure) 1, et un plan transversal, mené arbitrairement dans l'espace, coupera cette surface conique suivant une figure qui sera une transformée de la proposée. ”

“ LES FORMES DANS LA MATIÈRE La forme n’est qu’une vue de l’esprit, une spéculation sur l’étendue réduite à l’intelligibilité géométrique, tant qu’elle ne vit pas dans la matière. Comme l’espace de la vie, l’espace de l’art n’est pas sa propre figure schématique, son abréviation justement calculée. Bien que ce soit une illusion assez communément répandue, l’art n’est pas seulement une géométrie fantastique, ou plutôt une topologie plus complexe, il est lié au poids, à la densité, à la lumière, à la couleur. ”

“ La Géométrie nouvelle emploie la même chose pour les solides. Une surface à laquelle on donne une hauteur infiniment petite, est l’élément d’un solide, & cet élément se transforme en ce solide même par le calcul intégral. ”

“ La géométrie nous apprend à étudier les éléments de symétrie d’une figure limitée telle qu’un polyèdre et à découvrir entre ces éléments des relations nécessaires qui permettent de les réunir en groupes. ”

“ Il nous suffit, je crois, pour la prouver, de faire remarquer que la Géométrie plane n'est qu'un cas particulier de la Géométrie de la sphère, où l'on suppose le rayon infini; qu'ainsi toutes les vérités principales de la première doivent participer aux propriétés plus générales de la seconde : et il est toujours utile de contempler les vérités géométriques dans leur plus grande étendue, dans leur plus grande généralité, dans leur plus grande approximation, pour ainsi, dire, des lois suprêmes, dont la recherche doit être l'objet constant des efforts des géomètres. ”

“ Ainsi, nous pouvons dire que les deux principes de dualité et d'homographie offrent une véritable méthode rationnelle pour appliquer aux figures sphériques les propriétés des figures planes, et, en un mot, pour former la Géométrie de la sphère; et cette partie de la science de l'étendue peut, dès aujourd'h ui, faire de rapides et faciles progrès. ”

“ Ces trois théories sont maintenant connues de tous les géomètres; nous rappellerons seulement ici les caractères distinctifs qu'elles ont permis de donner aux recherches de la Géométrie moderne, et qui consistent en ce que, dans toutes les relations de segments ou d'angles, la règle des signes s'observe, comme dans les résultats de la Géométrie analytique; et que les imaginaires, qui se présentent toujours par couples, comme dans les racines d'une équation du second degré, n'offrent aucune difficulté dans leur interprétation. ”

“ En nous servant, ainsi que nous venons de le faire, d'une surface simple ( une surface développable) pour démontrer l'existence d'un théorème pour une surface générale, nous avons employé une méthode très-familière à la géométrie descriptive et qui est très-féconde. ”

“ Si ce point fixe est le centre de la première surface, son plan polaire sera à l'infini, et le théorème prendra cet énoncé : Quand deux sur faces du second degré sont homologiques; si, du centre d'homologie, on mène deux rayons aux extrémités d'un diamètre de la première surface, la somme ou la différence de ces rayons, divisés respectivement par les rayons menés aux points homologues de la seconde surface, sera constante. ”

“ Lorsqu'on emploie l'analyse à la recherche des propriétés géométriques, on ne fait pas autre chose pour mettre le problème en équation que d'écrire les équations des lignes qui sont les projections sur trois plans des lignes situées dans l'espace. ”

“ Dans la géométrie à trois dimensions, je voudrais exprimer la position d’une droite quelconque par où exprimerait la grandeur absolue de la droite, l’angle qu’elle fait avec l’axe des abscisses, et celui que le plan de l’angle fait avec le plan des mais toutes mes tentatives à cet égard ont été jusqu’ici infructueuses. Je désire que quelqu’un plus habile que moi vienne à bout de completter cette lacune. Quoi qu’il en soit, je suis persuadé que le vrai moyen d’étendre notre théorie des imaginaires à la géométrie à trois dimensions réside dans la considération des angles imaginaires. ”

“ Le corps humain est composé de deux parties symétriques. Par exemple, les deux mains d'un homme ont là même structure, et pourtant si nous concevons que l'une d'elle pénètre dans l'espace occupé par l'autre, nous voyons que leur coïncidence est impossible. L'image d'un corps, réfléchie derrière une glace, est symétrique du corps qu'elle représente.
Pour former un polyèdre symétrique d'un polyèdre donné, la géométrie fournit cette règle bien simple. Abaissez de tous les sommets de ce polyèdre, sur un plan quelconque, des lignes perpendiculaires que vous prolongerez au-dessous de ce plan. ”