Leibniz

“ En donnant la methode des Differences dans vostre écrit, vous donnerés, Monsieur, la Methode des sommes virtuellement, et en effect je ne distingue pas ces deux calculs. Ainsi vostre écrit sera plus qu'une introduction et j'espere d'en faire profit moy même ; le mien ne sera pas en estat de paroistre si tost, si ma santé ne devient meilleure. Il ne sera point necessaire aussi, que vous vous borniés aux seules differences puisque, leur calcul est le même avec celuy des sommes, l’un estant seulement reciproque de l’autre. ”

“ Il suppose cependant quelque fois certains theoremes aussi bien que Diophante qu'il ne demontre pas, en voici un : Que tout nombre entier qui est composé de trois quarrez au moins en fraction est necessairement ou quarré ou composé de deux quarrez ou de trois quarrez en entiers. ”

“ Je vous dirai seulement en gros que vos methodes pour l'inverse des tangentes et les quadratures me paroissent tres generales et fort belles, mais je crains, que le calcul ne soit long et difficile, et qu'il ne demande même souvent la vûe de celui qui les a inventées pour eviter plusieurs difficultez qui peuvent naître dans la comparaison des termes. Je souhaierois extremement de trouver ici quelqu'un qui fust capable de vous aider et j'y donnerois avec plaisir mes soins, mais cela est plus difficile que vous ne pensez et nous sommes ici fort denuez de ces sortes de gens. ”

“ La maniere dont vous vous servez de nombres au lieu de lettres dans les equations pour en tirer en suite des regles ou theoremes est tres ingenieuse, et comme l'analyse n’est que l'art d'abbreger les raisonnements et de representer tout d'une vûe a l'esprit ce qu'il ne pouroit apperçoir autrement que par un long circuit, il est certain que les caracteristiques en font la principale partie. ”

“ C'est comme si on disoit que les yeux voyent les objets dans les rayons du soleil. Mais comme ce n'est qu'une dispute sur la phrase, on peut permettre à chacun de s'expliquer comme il le trouve le plus à propos. ”

“ Ce qui est bon aussi pour resoudre l'inverse des Tangentes dans les ordinaires. Il est vray qu'il y à d'autres voyes pour parvenir aux Solutions transcendentales, mais je n'en suis pas encor assez le maistre. Je ne crois pas, Monsieur, de vous avoir decouvert beaucoup de nouveautés, car vostre penetration va bien loin. En tout cas vous voyés ma bonne volonté, et je m'assure que si vous trouvés des personnes propres à m'assister dans le detail, vous serés bien aise de le faire pour l'avancement de la Science. ”

“ Outre qu’il avoit cherché tout une autre ligne, je trouvay deux defauts contre nostre methode infinitesimale, l’un qu’il faisoit des differences du second, l’autre qu’en cherchant le Moindre il ne faisoit pas un denombrement parfait de tous les cas parmy lesquels il faut choisir. Les points dont il ne choisit qu’un, tombent tous dans une même ligne droite. ”

“ J'ay plusieurs Methodes qui ne demandent que du temps pour estre mises en estat de servir, par exemple pour aller aux racines du cinquième degré, et autres degrés superieurs ; pour pousser les problemes faits a la façon de Diophante qui jusqu'icy n'ont pas esté assez soumis à l'analyse ; pour avancer la science des nomdres d'une naniere toute nouvelle ; pour reduire les lignes Transcendantes aux ordinaires quand il est possible ; ce qui comprend encor les quadratures indefinies ou communes à chaque segment ”

“ Tschirnhaus. Maintenant je n'ay point voulu manquer de vous donner avis de la reception de la vostre, et du soin que j'ay eu d'envoyer à Leipzig, ce que vous y avés inseré pour les Actes qu’on y publie. Vos constructions sont tres simples et l'adresse avec laquelle vous les avés obtenues est singuliere. Il n'est que trop vray qu'on s'enfonce aisement dans les grands calculs, quand on neglige de preparer les figures.
Vostre construction de la courbe propre à l'elevation d'un pont levis est dans les Actes du mois de fevrier de cette année. ”

“ Et excepté les sçavans, si ceux qui me connoissent sçavoient qu'avec cela je m'amusois encor à l'Algebre, ils le trouveroient estrange. Quand j'ay fait quelque chose, je l’oublie presque entierement au bout de quelques mois, et plustost que de le chercher dans un chaos de brouillons que je n'ay pas le loisir de digerer, et de marquer par rubriques, je suis obligé de faire le travail tout de nouveau. On est heureux dans une grande ville, ou l'on trouve des amis de toute façon, dont les assistances et concours à un même dessein soulagent merveilleusement. ”

“ Je crois que nous convenons qu'il se conserve tousjours la même force, mais il estime la force par la quantité du mouvement. Pour moy je tiens que deux forces sont égales lorsque par leur consomtion le mème effect se peut produire, par exemple un mème poids elevé à une même hauteur ou le même ressort bandé au même degré etc, Or il est manifeste, comme j'ai fait voir que la conservation de la force estant supposée dans ce sens, la même quantité de mouvement ne sçauroit tousjours subsister. ”

“ Ce moyen subsidiaire consiste dans une series infinie qu'on peut continuer aisement aussi loin qu'il est necessaire pour la practique, et dont on peut connoistre la progression à l'infini pour l'exactitude de la theorie, Ainsi on peut dire que cela est achevé dans son genre. J'appliqueray cette methode à vostre Probleme, c'est à dire la descriplion de la Ligne dont l'Equation diffcrenlielle est aax dx + 2y^3dy = 2aax dy - aay dx (1) ou bien (supposant a = 1) 2^3 - 2x + ydx:dy + xdx:dy = 0 (2) (dx:dy me signifie dx divisé par dy ou la raison de dx à dy) . ”

“ J'appelle rationelles, ou l'indeterminée x n'entre pas dans le vinculum. Allons maintenant au cas suivant ou il y a ce + 11e + 12 = 0 (1) . Il s'agit de trouver yy + 21y + 22 = 0 (2) car il est aisé de demonstrer qu'il est impossible que la grandeur y puisse monter plus haut que celle d'e. Je me sers des nombres au lieu des lettres parce que la note dextre me fait observer la loy des homogenes et la sinistre pour discerner les quantités qui sont icy données ou cherchées. ”

“ Si je pouvois trouver un jeune homme d'une esperance extraordinaire et d'une curiosité un peu etendue, ce seroit mon fait, et je pourrois peut estre luy procurer même quelque avantage, mais il est rare d’en trouver et en Allemagne autant et peut estre plus qu'ailleurs. ”

“ J'ay quantité d'adresses dont je me sers lorsqu'il s'agit de resoudre quelque probleme differentiel, et de se delivrer des infiniment petites, soit en supposant des quadratures, ou autrement ; mais elles ne sont pus tousjours bonnes. J'ay projetté quelques Methodes generales, mais il faudroit se resoudre à faire une fois pour toutes certains calculs assez prolixes, et je ne suis pas en estat de les executer. Nous n'avons pas des gens dans ce pays cy qui ayent la moindre connoissance de ces choses, (Et je n’en parle pas seulement.) ”

“ Tschirnhaus eut quelque avantage par dessus celle de Cardan, elle étoit au contraire sujette au mesme deffaut, et plus embarassée. Ce deffaut consiste a mon sens en ce que l'expression des racines des egalitez du 3e degré dans le cas ou elles sont toutes trois réelles et incommensurables, renferme des grandeurs imaginaires qu'on ne peut debarasser en aucune sorte de leur lignes. ”

“ Pour les autres suites j'en ai aisement trouvé la raison. Au reste cette equation exprime dans un cas parliculier la courbe de descente que vous ayez proposée autrefois aux Cartesiens. Voici comment. On demande la courbe (fig. 42.) AD telle qu'un corps pesant en descendant par cette courbe s’eloigne egalement du point fixe A en temps egaux. ”

“ Mais je ne sçaurois comprendre comment elle puisse estre suffisante, par exemple pour le troisieme degré il donne les courbes suivantes y3 = x, y3 = xx, y3 = x+xx, y3 = x+x3, y3 = xx+x3, y3 = x+xx+x3, et ainsi dans les autres degrés. Mais je ne crois pas qu'on puisse tousjours oster tous les termes ou y se trouve hors le supreme. Quant à ce que M. Fatio Duillier a corrigé dans la premiere mamere de M. Tschirnhaus de donner les Tangentes par les foyers, il dit, qu'il y a eu une erreur dans la figure de sa premiere edition. ”

“ Et vous jugés bien qu'il n’est pas difficile de l'appliquer, soit qu'on considere les ordonnées comme paralleles ou comme conPage:Leibniz-en.francais-Gerhardt.Math.1a7.djvu/295 Page:Leibniz-en.francais-Gerhardt.Math.1a7.djvu/296 me manque. J'espere que vostre ouvrage dont vous m'avés parlé sera maintenant sous la presse. Mons. de Tschirnhaus vient de publier une seconde edition de son Medicina Mentis, où il a omis les paroles, que M. de la Hire en cite. Il donne aussi pag. 400 et 404 une maniere de determiner les tangentes par les foyers, que j'en ay fait copier, pour vous l'envoyer. ”