René Descartes

“ Que si la ligne demandée est un cercle, ou une ellipse, ou une hyperbole, il faut premièrement chercher le point M, qui en est le centre, & qui est toujours en la ligne droite IL, ou on le trouve en prenant pour IM en sorte que si la quantité o est nulle, ce centre est justement au point I. Et si la ligne cherchée est un cercle, ou une Ellipse, on doit prendre le point M du mesme costé que le point L, au respect du point I, lorsqu’on a +ox ; & lorsqu’on a –ox, on le doit prendre de l’autre. ”

“ Mais il faut maintenant que je satisfasse à ce que j’ai omis en la Dioptrique, lorsqu’après avoir remarqué qu’il peut y avoir des verres de plusieurs diverses figures qui fassent aussi bien l’un que l’autre que les rayons venant d’un mesme point de l’objet s’assemblent tous en un autre point après les avoir traversés ; & qu’entre ces verres, ceux qui sont fort convexes d’un costé & concaves de l’autre ont plus de force pour brûler que ceux qui sont également convexes des deux costés ; au lieu que tout au contraire ces derniers sont les meilleurs pour les lunettes. ”

“ Mais pourceque la ligne courbe AD est du second genre, & qu’on peut trouver deux moyennes proportionnelles par les sections coniques qui sont du premier; & aussi pourcequ’on peut trouver quatre ou six moyennes proportionnelles par des lignes qui ne sont pas de genres si composés que sont AF & AH, ce seroit une faute en géométrie que de les y employer. Et c’est une faute aussi, d’autre costé, de se travailler inutilement à vouloir construire quelque problème par un genre de lignes plus simple que sa nature ne permet. ”

“ Je pourrais mettre icy plusieurs autres moyens pour tracer & concevoir des lignes courbes qui seraient de plus en plus composées par degrés à l’infini; mais pour comprendre ensemble toutes celles qui sont en la nature, & les distinguer par ordre en certains genres, je ne sache rien de meilleur que de dire que tous les points de celles qu’on peut nommer géométriques, c’est-à-dire qui tombent sous quelque mesure précise & exacte, ont nécessairement quelque rapport à tous les points d’une ligne droite, qui peut estre exprimée par quelque équation, en tous par une mesme ”

“ Façon générale pour construire tous les problèmes solides réduits à une équation de trois ou quatre dimensions.
Or quand on est assuré, que le Problème proposé est solide, soyt que l’équation par laquelle on le cherche monte au carré de carré, soyt qu’elle ne monte que jusqu’au cube, on peut toujours en trouver la racine par l’une des trois sections coniques, laquelle que ce soyt ou mesme par quelque partie de l’une d’elles, tant petite qu’elle puisse estre ; en ne se servant au reste que de lignes droites & de cercles. ”

“ Mesme, prenant successivement infinies diverses grandeurs pour la ligne y, on en trouvera aussi infinies pour la ligne x, & ainsi on aura une infinité de divers points, tels que celuy qui est marqué C, par le moyen desquels on décrira la ligne courbe demandée.
Il se peut faire aussi, la question étant proposée en six ou plus grand nombre de lignes, s’il y en a entre les données qui soyent parallèles à BA ou BC, que l’une des deux quantités x ou y n’ait que deux dimensions en l’équation, & ainsi qu’on puisse trouver le point C avec la règle & le compas. ”

“ Que si on a une Équation dont la quantité inconnue ait quatre dimensions, il faut en mesme façon, après en avoir osté les nombres sourds & rompus s’il y en a, voir si on pourra trouver quelque binosme, qui divise toute la ont somme, en le composant de l’une des quantitez, qui divisent sans fraction le dernier terme. Et si on en trouve un, ou bien la quantité connue de ce binosme est la racine cherchée ; on du moins après cette division, il ne reste en l’équation que trois dimensions, en suite de quoy il faut derechef l’examiner en la mesme sorte. ”

“ Puis multipliant, ou divisant la quantité connue du second terme, par cette mesme qui doit multiplier, ou diviser les racines, & par son carré, celle du troisième, & par son cube, celle du quatrième, & ainsi jusqu’au dernier.
Comment on réduit les nombres rompus d’une équation à des entiers.
Ce qui peut servir pour réduire à des nombres entiers & rationaux, les fractions, ou souvent aussi les nombres sourds, qui se trouvent dans les termes des Équations. Comme si on a
et qu’on veuille en avoir une autre en sa place, dont tous les termes s’expriment par des nombres rationaux ”

“ Et ce n’est pas une moindre faute après cela, de tacher à le construire sans y employer que des cercles & des lignes droites, que ce seroit d’employer des sections coniques à construire ceux auxquels on n’a besoin que de cercles : car enfin tout ce qui témoigne quelque ignorance s’appelle faute.
La réduction des équations qui ont quatre dimensions lors que le problème est plan ; & quels sont ceux qui sont solides. ”

“ De plus il est aisé de faire en une mesme Équation, que toutes les racines qui étaient fausses devienne vraies, & par mesme moyen que toutes celles qui étaient vraies deviennent fausses : à savoir en changeant tous les signes + ou - qui sont en la seconde, en la quatrième, en la sixième ou autres places qui se désignent par les nombres pairs, sans changer ceux de la première, de la troisième, de la cinquième & semblables qui se désignent par les nombres impairs. ”

“ Mais, si on prend garde comment, par la méthode dont je me sers, tout ce qui tombe sous la considération des Géomètres se réduit à un mesme genre de Problèmes, qui est de chercher la valeur des racines de quelqu’Équation, on jugera bien qu’il n’est pas malaisé de faire un dénombrement de toutes les voies par lesquelles on les peut trouver, qui soyt suffisant pour démontrer qu’on a choisi la plus générale & la plus simple. ”

“ Encore que toutes les lignes courbes qui peuvent estre décrites par quelque mouvement régulier doivent estre reçues en la géométrie, ce n’est pas à dire qu’il soyt permis de se servir indifféremment de la première qui se rencontre pour la construction de chaque problème, mais il faut avoir soyn de choisir toujours la plus simple par laquelle il soyt possible de le résoudre. ”

“ C’est pourquoy je croirai faire en ceci tout le mieux qui se puisse, si je donne une règle générale pour les construire, en y employant la ligne courbe qui se décrit par l’intersection d’une Parabole & d’une ligne droite en la façon ci-dessus expliquée. car j’ose assurer qu’il n’y en a point de plus simple en la nature, qui puisse servir à ce mesme effect ; & vous avés vu comme elle suit immédiatement les sections coniques, en cette question tant cherchée parles anciens, dont la solution enseigne par ordre toutes les lignes courbes, qui doivent estre reçues en Géométrie. ”

“ Or, afin que je puisse icy donner quelques règles pour éviter l’une & l’autre de ces deux fautes, il faut que je dise quelque chose en général de la nature des équations, c’est-à-dire des sommes composées de plusieurs termes partie connus & partie inconnus dont les uns sont égaux aux autres, ou plutost qui, considérés tous ensemble, sont égaux à rien : car ce sera souvent le meilleur de les considérer en cette sorte. ”

“ Au reste je n’ai parlé en tout ceci que des lignes courbes qu’on peut décrire sur une superficye plate ; mais il est aisé de rapporter ce que j’en ay dit à toutes celles qu’on sauroit imaginer estre formées par le mouvement régulier des points de quelque corps dans un espace qui a trois dimensions : à savoir, en tirant deux perpendiculaires de chacun des points de la ligne courbe qu’on veut considérer, sur deux plans qui s’entre-coupent à angles droits, l’une sur l’un & l’autre sur l’autre ”

“ Si bien que faisant MN égale a la moitié du costé traversant & le prenant du mesme costé du point M, qu’est le point L, on a le point N pour le sommet de ce diamètre ; ensuite de quoy il est aisé de trouver la section par les second & troisième problèmes du premier livre d’Apollonius.
Mais quand cette section étant une Hyperbole, on à +m2; & que la quantité o2 & nulle ou plus petite que 4pm, on doit tirer du centre M la ligne MOP parallèle à LC, & CP parallèle à LM, & faire MO égale à
ou bien la faire égale à m si la quantité ox est nulle. ”

“ Et mesme à cause que la position des lignes droites données peut varier en toutes sortes, & par conséquent faire changer tant les quantités connues que les signes + & - de l’équation, en toutes les façons imaginables, il est évident qu’il n’y a aucune ligne courbe du premier genre qui ne soyt utile à cette question, quand elle est proposée en quatre lignes droites ; ni aucune du second qui n’y soyt utile, quand elle est proposée en huit ; ni du troisième, quand elle est proposée en douze ”

“ Les anciens ont fort bien remarqué qu’entre les problèmes de géométrie, les uns sont plans, les autres solides & les autres linéaires, c’est-à-dire que les uns peuvent estre construits en ne traçant que des lignes droites & des cercles ; au lieu que les autres ne le peuvent estre, qu’on n’y emploie pour le moins quelque section conique ”

“ J’omets quantité d’autres réfractions & réflexions qui sont réglées par ces mesmes ovales, car n’étant que les converses ou les contraires de celles-ci, elles en peuvent facilement estre déduites. Mais il ne faut pas que j’omette la démonstration de ce que j’ai dit ; & à cet effect prenons, par exemple le point C, à discrétion en la première partie de la première de ces ovales ; puis tirons la ligne droite CP, qui coupe la courbe au point C à angles droits, ce qui est facile par le problème précédent. ”

“ Et on voit évidemment de ceci que la somme d’une équation qui contient plusieurs racines peut toujours estre divisée par un binosme composé de la quantité inconnue moins la valeur de l’une des vraies racines, laquelle que ce soyt, ou plus la valeur de l’une des fausses ; au moyen de quoy on diminue d’autant ses dimensions. ”

“ De plus du point P ayant tiré PQ à angles droits sur la droite FC, & PN aussi à angles droits sur GC Considérons que si PQ est à PN, comme d est à e, c’est-à-dire, comme les lignes qui mesurent les réfractions du verre convexe AC, le rayon qui vient du point F au point C, doit tellement s’y courber en entrant dans ce verre, qu’il s’aille rendre après vers G : ainsi qu’il est tres-évident de ce qui a été dit en la Dioptrique. Puis enfin voyons par le calcul, s’il est vrai, que PQ soyt à PN ; comme d est à e. ”

“ Je pourrais aussi en ajouter d’autres pour les équations qui montent jusqu’au sursolide, ou au carré de cube, ou au-delà, mais j’aime mieux les comprendre toutes en une, & dire en général que, lorsqu’on a taché de les réduire à mesme forme que celles d’autant de dimensions qui viennent de la multiplication de deux autres qui en ont moins, & qu’ayant dénombré tous les moyens par lesquels cette multiplication est possible, la chose n’a pu succéder par aucun, on doit s’assurer qu’elles ne sauraient estre réduites à de plus simples ”

“ Exemple touchant l’invention de plusieurs moyennes proportionnelles
Comme, par exemple, je ne crois pas qu’il y ait aucune façon plus facile pour trouver autant de moyennes proportionnelles qu’on veut, ni dont la démonstration soyt plus évidente, que d’y employer les lignes courbes qui se décrivent par l’instrument XYZ ci-dessus expliqué. ”

“ Car p est à a2 - c2, & p2 est a4 - a2c2 + c4, et 4 r est a4 + a2c2, et enfin -q2 est -a6 - 2a4c2 - a2c4.
Après que l’équation est ainsi réduite à trois dimensions, il faut chercher la valeur de y2 par la méthode déjà expliquée ; & si elle ne peut estre trouvée, on n’a point besoin de passer outre ; car il suit de là infailliblement que le problème est solide. Mais si on la trouve, on peut diviser par son moyen la précédente Équation en deux antres, en chacune desquelles la quantité inconnue n’aura que deux dimensions, & dont les racines seront les mesmes que les siennes. ”

“ Ainsi n’at'on autre chose à faire en Geometrie touchant les lignes qu’on cherche pour les preparer à estre connuës, que leur en adiouster d’autres, ou en oster ; Oubien en ayant vne, que ie nommeray l’vnité pour la rapporter d’autant mieux aux nombres, & qui peut ordinairement estre prise a discretion, puis en ayant encore deux autres, en trouuer vne quatrième qui soit a l’vne de ces deux comme l’autre est a l’vnité, ce qui est le mesme que la multiplication ; oubien en trouuer vne quatrième, qui soit à l’vne de ces deux, comme l’vnité est l’autre, ce qui est le mesme que la division ”

“ De plus il faut considérer, que lorsqu’il y a deux racines égales en une équation, elle a nécessairement la mesme forme, que si on multiplie par soy-mesme la quantité qu’on y suppose estre inconnue, moins la quantité connue qui luy est égale, & qu’après cela si cette dernière somme n’a pas tant de dimensions que la précédente, on la multiplie par une autre somme qui en ait autant qu’il luy en manque ”

“ Mais mon dessein n’est pas de faire un gros livre, & je tache plutost de comprendre beaucoup en peu de mots, comme on jugera peut-estre que j’ai fait, si on considère qu’ayant réduit à une mesme construction tous les problèmes d’un mesme genre, j’ai tout ensemble donné la façon de les réduire à une infinité d’autres diverses, & ainsi de résoudre chacun d’eux en une infinité de façons ”

“ Puis je fais RA égale à GA en la ligne A6, & du centre G décrivant un cercle dont le rayon soyt égal à R6, il coupe l’autre cercle de part & d’autre au point 1, qui est l’un de ceux par où doit passer la première des ovales cherchées. Puis derechef du centre F je décris un cercle qui passe un peu au-deçà ou au-delà du point 5, comme par le point 7, & ayant tiré la ligne droite 78 parallèle à 56, du centre G je décris un autre cercle dont le rayon est égal à la ligne R8, & ce cercle coupe celuy qui passe par le point 7 au point 1, qui est encore l’un de ceux de la mesme ovale ”