Paul Tannery

“ Nous n’avons pas à examiner ici les différentes valeurs [5] que l’on a prétendues, dans l’antiquité, devoir être assignées à cette grande année ; nous devons nous borner à l’opinion de Platon lui-même, suffisamment exprimée sur cette période dans le Timée.
Il y croit fermement ; il la définit avec précision ; il lui attribue certainement une influence majeure sur les phénomènes dont la terre est le théâtre ; cette croyance est le point de départ d’un mythe des plus hardis, développé dans le Politique. Mais il s’est bien gardé de proposer aucun nombre parfait pour cette année parfaite ”

“ Comme pour ce qui est divinement engendré, il y a pour la génération humaine une période comprise sous le premier nombre parfait, formé en sommant dans trois progressions semblables suivant la raison double, quatre termes qui se trouveront toujours deux à deux, avec leurs moyens, proportionnels ou non, leur somme ou leur différence, dans des rapports simples et facilement énonçables ”

“ Nous garderons seulement, en thèse générale, cette notion que le nombre inconnu devait représenter, pour Platon, une période en proportion avec la vie humaine et exerçant une influence marquée sur la génération. ”

“ Les Égyptiens paraissent s’être figuré le monde sous la forme du plus beau des triangles ; de même que Platon, dans sa République, semble l’avoir employé comme symbole de l’union matrimoniale. Ce triangle a son côté vertical composé de 3, la base de 4, l’hypoténuse de 5 parties, et le carré de celle-ci est égal à la somme des carrés des autres côtés. Le côté vertical symbolise le monde, la base la femelle, et l’hypoténuse la progéniture des deux [10] . ”

“ Si on prend une progression géométrique dont le premier terme soit l’unité et la raison 2, et qu’on fasse la somme des termes de cette progression, toutes les fois qu’on obtiendra un nombre premier, en le multipliant par le dernier terme sommé, on aura un nombre parfait, c’est-à-dire égal à la somme de ses parties aliquotes. ”

“ Certes, il est difficile d’ébranler un État constitué de la sorte ; mais tout ce qui naît doit mourir. Cette constitution ne peut donc durer éternellement ; elle périra et comment périra-t-elle ? Pour tout ce qui naît sur la terre, plantes attachées au sol, animaux se mouvant au-dessus, il y a fécondité et infécondité de l’âme et des corps, d’après des révolutions de temps faisant concorder, pour les différents êtres, différentes périodes dont les cycles sont plus ou moins rapidement parcourus, selon que la vie de ces êtres est de plus ou moins courte durée [2] . ”

“ Nous croyons enfin que les termes περιτροπαὶ ἑκάστοις κύκλων περιφοπὰς ξυνάπτωσι s’expliquent mieux en admettant l’hypothèse de périodes commençant à la naissance de chacun des deux époux ; l’opportunité de leur union consisterait alors dans la concordance de certaines époques des deux périodes respectives.
D’un autre côté, Aristote admet que la fin de chaque période amène infailliblement une révolution, ce qui conduit à supposer que la durée de la période doit avoir une valeur relativement considérable. ”

“ Dans la République, Platon parle des révolutions sous le nom de Socrate, mais ce qu’il en dit n’est guères satisfaisant ; car l’évolution qu’il attribue à la forme de l’État qu’il prend pour la meilleure et la première n’est pas particulière à cette forme. Il dit en effet que rien ne subsiste perpétuellement, que tout doit changer dans une certaine période ; ἀρχὴν δ' εἶναι τούτων ὧν ἐπίτριτος πυθμὴν πεμπάδι συζυγεὶς δύο ἁρμονίας παρέχεται, λέγων ὅταν ὁ τοῦ διαγράμματος ἀριθμὸς τούτου γένηται στερεὸς ; la nature produirait alors des enfants mal doués et rebelles à la discipline ”

“ Platon a bien le droit de dire πυθμὴν ἐπίτριτος au lieu de πυθμὴν ἐπίτριτων λόγων, pour désigner le couple 4 : 3 de deux nombres premiers entre eux ; mais entendre par ὧν des nombres étant dans ce rapport, ce serait lui faire commettre un lapsus singulier, comme si l’on disait en français, — la valeur irréductible de deux nombres — pour — la valeur irréductible du rapport de deux nombres.
On peut consulter à cet égard Théon de Smyrne (Paris, 1644, in-4o, édition Bouillaud, II, 19) , auteur auquel nous aurons souvent occasion de recourir. ”

“ V. L’art de Platon lui permet d’éveiller presque nécessairement l’idée des périodes cosmiques et palingénésiques, qui font partie de ses dogmes, tandis qu’il ne désigne logiquement et ne peut désigner qu’un seul nombre, relatif à la fois au divinement et à l’humainement engendré, θείῳ μὲν... ”

“ Ces deux derniers nombres sont effectivement facteurs de 2700 36 × 5 × 15, et 36 doit par suite être composé d’au moins deux facteurs égaux à des diagonales successives « énonçables » de 5, diminuées chacune d’une unité.
Il est clair que ces diagonales « énonçables » ne peuvent être que 5 lui-même (comme dans le tableau de Théon, 1 est diagonale de 1) et son double 10 (diagonale du carré construit sur la diagonale incommensurable du carré de côté 5) [14] .
Et en effet 36 = 4 × 9 = (5−1) × (10−1) .
La seconde harmonie correspond donc à la construction
2700 = 4 × 9 × 5 × 15. ”

“ L’irrationnelle est ἄλογος par exemple , qui ne satisfait pas d’ailleurs à la même condition. ↑ Nous avons traduit διάμετρος par « diagonale » parce que nous ne disons plus, comme Euclide, le diamètre d’un carré. La substitution d’un terme purement géométrique, à un terme qui a une signification originelle relative à des idées de mesure et de rapport, enlève peut-être quelque clarté à nos déductions. ”

“ Lorsque le fœtus est viable, si le corps n’est pas complétement formé, l’âme y est définitivement attachée. ↑ Dans ce triangle, 6 est la surface. ↑ On peut remarquer que 2700 est le produit par 10 (décade pythagoricienne) de 270, durée de la gestation, ce qui explique le choix de ce nombre pour une période relative à la génération. De même en multipliant par 10 le nombre 216 (temps après lequel le fœtus est viable) , on trouve 6 années de 360 jours, période qu’on peut, d’après Théon, attribuer aux Pythagoriciens, et à laquelle on peut supposer que Platon aurait fait une vague allusion. ”

“ Ὁμοιούντων τε καὶ ἀνομοιούντων καὶ αὐξόντων καὶ φθινόντων πάντα προσήγορα καί ῥητὰ πρὸς ἄλληλα ἀπεφήναν.
Nous avons d’abord à déterminer le sens des participes génitifs qui dépendent grammaticalement de πάντα par l’intermédiaire d’ἀπὸ exprimé dans ἀπεφήναν.
Le terme « semblables » (ὁμοίοι) est classique dans l’arithmétique grecque. ”

“ Ils n’existent pas, il est vrai, dans le genre diatonique, suivi dans le Timée ; dans ce genre, on n’admettait que les rapports entre les nombres 1, 2, 3, 4 du quaternaire pythagoricien et leurs puissances. ”