Collectif

“ Ne doit-on pas chercher la cause de tous ces faits dans la séparation trop grande entre la théorie et la pratique ; le mathématicien qui s’absorbe dans son rêve est un peu dans la situation de l’élève pour qui les francs des problèmes ne sont pas des francs réels, servant à acheter des objets ; il vit dans un monde à part, construction de son esprit, en ayant le sentiment que ce monde n’a souvent aucun rapport avec le monde réel. ”

“ Nous pouvons espérer ainsi former des hommes ayant foi dans la raison, et sachant qu’il ne faut pas chercher à biaiser en face d’un raisonnement juste : on n’a qu’à s’incliner. Ils auront aperçu, sur des exemples multiples, le déterminisme des phénomènes naturels et seront préparés à comprendre la notion de loi physique. Mais, en même temps, ils se défieront de tout raisonnement en l’air, sans bases dans le réel, portant sur des mots mal définis, de tout calcul effectué sur des nombres abstraits dont la signification concrète n’est pas précisée ”

“ Tous les professeurs de Mathématiques n’ont pas le goût, ni même peut-être la compétence, d’enseigner ce qu’on peut appeler la partie technique du dessin géométrique ; il n’y a pas d’inconvénients, surtout dans les classes élevées, à confier cet enseignement, soit à un spécialiste, soit à celui des professeurs de Mathématiques du lycée qui s’y intéresse le plus. Seulement on devrait admettre, comme un principe essentiel, que la haute direction de cet enseignement appartient, pour chaque classe, au professeur qui enseigne la Géométrie dans cette classe ”

“ On peut même, sans paradoxe, soutenir que, plus un élève est capable de raisonner juste, plus une faute de calcul doit être regardée comme grave dans son devoir ; car la confiance même qu’il a légitimement dans l’exactitude de ses raisonnements entraînera des inconvénients pratiquement plus graves que si, se méfiant de lui-même, il n’utilisait son résultat pour un but réel qu’après l’avoir vérifié par une autre méthode ou recouru aux lumières d’un conseiller plus habile. ”

“ « Dans cette île, il y avait des rois dont le pouvoir était très grand et s’étendait sur cette île, et beaucoup d’autres, et des parties de continents. Ces rois régnaient en outre sur tous les pays du côté de la Libye jusqu’en Égypte et du côté de l’Europe jusqu’à la Tyrrhénie...
« Mais, dans les derniers temps, il survint des tremblements de terre et des inondations, et dans l’espace d’un jour et d’une nuit fatale, l’île Atlantide disparut sous la mer. » ”

“ La séparation à la lisière américaine fut antérieure à la séparation du côté européen ; de toute façon, entre les deux côtes persista pendant quelque temps une terre isolée, plus ou moins étendue, l’Atlantide géologique, dont les restes peuvent être représentés par la bande axiale de hauts-fonds sur lesquels s’élèvent les Açores.
Or, ces événements, antérieurs à l’ère quaternaire, ne peuvent servir de base à la légende platonienne. L’humanité consciente, capable de conserver une tradition, leur est postérieure. ”

“ Qu’une telle éducation soit indispensable pour former de bons professeurs, c’est ce qu’il paraît difficile de soutenir ici, car, sans aller bien loin, nous trouverions d’excellents professeurs à qui elle a fait défaut. Mais que cette éducation puisse être utile pour fournir le nombre maximum de meilleurs professeurs, c’est ce qu’il paraît impossible de nier, à moins d’admettre que l’expérience acquise n’est en aucune manière transmissible, ce qui serait la négation de presque tout enseignement. ”

“ Quelle conception pouvons-nous donc avoir d’un laboratoire de Mathématiques ? Tout d’abord, il ne doit pas coûter cher ; les appareils coûteux et encombrants n’y sont pas à leur place. Sans doute, si l’on peut, sans aucun frais, montrer à des élèves un théodolite de précision ou une lunette astronomique d’observatoire, il n’y a pas d’inconvénient à le faire. Mais il ne faut pas s’exagérer le profit qu’ils en retireront ; il leur sera autrement utile d’avoir entre les mains des appareils plus simples, dont ils puissent se servir seuls, sans crainte de les abîmer. ”

“ On étonnerait beaucoup cet élève en lui demandant s’il serait aussi satisfait si ses parents, après lui avoir promis 345 francs pour s’acheter une bicyclette neuve, lui donnaient seulement 34 fr. 50. Il n’a, en effet, nullement l’idée que l’on puisse songer à établir un rapport quelconque entre les nombres qu’il manie dans ses problèmes et des francs réels, servant vraiment à acheter des choses. Les nombres des problèmes ne sont pas pour de bon ; une erreur de virgule n’y a pas d’importance. ”

“ Les étiquettes ont, d’ailleurs, peu d’importance et si, dans tel établissement, le laboratoire de Mathématiques n’est qu’un coin du laboratoire de Physique ; si c’est le professeur de Physique qui y dirige les exercices pratiques de Mécanique et même de Géométrie, de Cosmographie et d’Arpentage, nous n’y verrons aucun inconvénient. Les organisations les plus souples sont les meilleures et l’on ne saurait trop multiplier les occasions de mettre en évidence l’unité de la science. ”

“ L’Américain Donnelly [2] croit en une civilisation bien antérieure aux Atlantes, d’où les peuples connus les plus anciens auraient reçu tous leurs enseignements. Pour prouver l’existence de l’Atlantide, il recherche le témoignage de la mer, de la flore et de la faune, croyant rencontrer le récit de la catastrophe qui détruisit cette terre dans les légendes du Déluge communes à l’Ancien et au Nouveau Monde. ”

“ Si la création de laboratoires en partie communs, se prêtant des appareils, utilisant même, dans un petit établissement, les mêmes outils, pouvait avoir pour résultat de rapprocher les physiciens et les mathématiciens, ce serait déjà une raison suffisante pour les créer. Je crois que les physiciens s’accorderont assez généralement pour céder aux mathématiciens l’enseignement des éléments de la Mécanique, mais à une condition évidente : c’est que ces éléments seront enseignés d’une manière expérimentale et non pas purement abstraite. ”

“ Il n’existe aucune preuve indubitable de l’existence de l’humanité avant le Quaternaire. Les instruments d’origine indiscutablement humaine sont tous postérieurs, de même que les restes fossiles de l’homme. La mandibule de Mauer, près d’Heidelberg, reste humain le plus ancien de date authentique, est de la période rissienne, c’est-à-dire de la troisième glaciation.
Il est certain que les conditions physiques de la Terre pendant l’ère tertiaire, surtout au Pliocène, ne s’opposent en aucune façon à l’existence de l’homme. ”

“ Le fameux Adiantum reniforme des Canaries n’est que pliocène, c’est-à-dire toujours tertiaire, au Portugal. Rien ne s’oppose à ce que, de même qu’il a persisté jusqu’à aujourd’hui dans l’archipel, il ait pu s’y maintenir depuis des époques antérieures, tout en disparaissant sur le continent, pour des raisons climatologiques ou d’un autre ordre à un moment donné, qui n’est pas forcément celui de la séparation des deux terres. On pourrait en dire autant de l’existence de la Rumina decollata, dans les gisements quaternaires des îles du Cap-Vert. ”

“ Quelques-unes, toutefois, méritent un certain intérêt, comme celle de Marcel, écrivain grec du 1er siècle avant J. C, qui, parlant des « sept îles » (Canaries) , dit que ses habitants conservent le souvenir d’une autre île plus grande, l’Atlantide, dont le domaine s’étendait bien au delà des autres terres atlantiques. D’après Théopompe, contemporain de Platon, dix millions d’hommes, habitant un immense continent situé « bien au delà de l’Atlantique », vinrent en Europe et s’étendirent sur les contrées qu’occupaient les races celtiques. ”

“ Ces arguments seront, cela va sans dire, presque toujours sous-entendus ; ils ressortiront de l’enseignement sans qu’il soit le plus souvent nécessaire de les formuler explicitement.
Il est inutile d’insister sur l’importance qu’a le choix des énoncés ; le temps n’est plus où l’on donnait des problèmes numériques avec des données tout à fait au hasard, sans s’inquiéter aucunement de la réalité. On a toujours soin, lorsque les données sont concrètes, de les choisir, sinon toujours réelles, du moins possibles. ”

“ Tout d’abord, je ne ferai aucune difficulté pour reconnaître que, sur plusieurs points, l’enseignement secondaire ne pourrait que gagner de ressembler davantage à l’enseignement primaire. On constate trop souvent aux examens du baccalauréat, et même aux examens d’entrée aux grandes Écoles, des ignorances scandaleuses, notamment sur le système métrique, qui ne seraient pas tolérées au moindre examen primaire. ”

“ L’Atlantique nord, le seul qui nous intéresse pour le moment, est sans doute plus moderne. Peut-être la fragmentation de ses terres a-t-elle commencé déjà aux temps secondaires, mais jusqu’à l’ère tertiaire nous ne pouvons reconnaître les traces d’une communication entre les eaux arctiques et méditerranéennes.
Ce phénomène se reconnaît à ce que la faune de la Méditerranée, de caractère équatorial, se charge brusquement de types propres aux mers froides, dont il faut chercher les ancêtres dans les eaux de l’océan Arctique. ”

“ La largeur maximum de cette langue de terre prolongée, dont la distance de la surface n’est en aucun point supérieure à 1 800 mètres, serait de 20° environ au niveau des Açores, pour se rétrécir beaucoup plus au Sud et s’élargir de nouveau depuis le parallèle de Tristan d’Acunha. Notons que la petite île de Sainte-Hélène n’est pas comprise dans ce plateau sous-marin, ni ne se réunit au continent africain ; c’est un pic aigu isolé et comme perdu dans l’immense solitude de l’Atlantique méridional. ”

“ Si j’ai mentionné en premier lieu ces moyens, en quelque sorte extérieurs, de donner plus d’importance aux applications pratiques dans l’esprit des élèves, c’est d’abord parce qu’ils sont les plus faciles à employer et aussi parce que l’ascendant du professeur est assez grand sur la plupart des élèves pour que ceux-ci ne puissent attacher une valeur réelle à des exercices pour lesquels leur professeur paraît avoir quelque mépris. Mais je n’oublie pas que le but final de tout enseignement est de former des hommes libres, capables de juger par eux-mêmes, sans se fier à la parole du maître ”

“ Cela étant bien entendu, il semble que la valeur éducative de l’enseignement mathématique ne pourra qu’être augmentée si la théorie y est, le plus souvent possible, mêlée à la pratique. L’élève comprendra qu’il est sans doute excellent de bien raisonner, mais qu’un raisonnement juste ne conduit à des résultats exacts que si le point de départ est lui-même exact ”

“ De ce fait, il déduit avec une grande probabilité que la séparation de l’Afrique et des Canaries serait de la fin du Pliocène ou peut-être du Quaternaire. Dans un travail postérieur, après avoir reconnu que l’âge de l’Atlas dans ces régions ne peut être précisé au moins d’une façon absolue, il se montre plus enclin à dater du Quaternaire l’effondrement des plis de la chaîne, phénomène auquel est dû le canal qui sépare aujourd’hui l’archipel des côtes africaines [6] . ”

“ La rencontre à Fuerteventura et sur la côte maurétanienne de dépôts quaternaires identiques à Helix Gruveli constitue un fait plus décisif, quoiqu’il n’indique en aucune façon la connexion des Canaries avec le continent jusqu’au Néolithique, mais seulement jusqu’au Quaternaire. La réalité du phénomène mériterait d’être confirmée par une exploration prolongée, qui permettrait d’étudier en détail la composition et la situation de ces dépôts et de les comparer avec ceux de la côte frontière. ”

“ En dehors du calcul numérique et du dessin géométrique, nous ne trouvons actuellement presque rien en fait d’exercices pratiques de Mathématiques ; en tout cas, rien de systématiquement organisé. Réservant pour l’instant la question d’une organisation générale et systématique, on peut signaler bien des moyens qui pourraient être employés pour introduire plus de vie et de sens du réel dans notre enseignement mathématique ”

“ Il y a là une petite subtilité très rarement comprise, je l’ai bien des fois constaté aux examens du baccalauréat. Si on leur disait ce que nous savons tous : ce théorème signifie qu’avec trois côtés donnés, on ne peut pas construire deux triangles différents, on serait, je crois, bien mieux compris, car le cas d’égalité aurait une base concrète : les constructions faites par l’élève. Bien des questions de Géométrie appelleraient des remarques analogues. ”

“ Mais, avec la bonne volonté qui existe dans notre corps enseignant, bonne volonté à laquelle tous rendent hommage, avec la largeur d’esprit et la hauteur d’idées qui y règnent, on peut être convaincu que ces difficultés seront très rares, aussi peu nombreuses que celles qui pourraient surgir actuellement entre plusieurs professeurs de Physique usant d’un même laboratoire. ”

“ L’enseignement primaire forme d’excellents esprits, et le jour où une législation plus démocratique leur ouvrirait toutes grandes les portes de l’enseignement supérieur, ils y feraient une concurrence redoutable aux élèves de l’enseignement secondaire. ”

“ Il se produit alors le plus souvent l’une des deux éventualités suivantes : ou bien le mathématicien construit a priori un monde réel, adéquat à son monde d’idées ; il aboutit alors à un système métaphysique ne reposant sur rien ; ou bien il établit une démarcation absolue entre sa vie théorique et sa vie pratique, et sa science ne lui sert de rien pour comprendre le monde ; il accepte, sans presque y réfléchir, les croyances du milieu dans lequel il vit. ”

“ N’allez-vous pas, me dira-t-on, transformer nos lycées et collèges en autant d’Écoles primaires supérieures ou d’Écoles d’Arts et Métiers. L’enseignement secondaire doit-il faire double emploi avec l’enseignement primaire supérieur ? ”