Surface plane

“ Toute surface plane ou courbe, ou tout solide produit par le mouvement ou d’une ligne ou d’une surface, est égal au produit de cette ligne ou surface, par le chemin du centre de gravité, c’est-à-dire par la ligne que ce centre de gravité décrit. ”

“ Vous savez comment sur une surface plane qui n’a que deux dimensions on peut représenter la figure d’un solide à trois dimensions, et de là, ils soutiennent que par des images de trois dimensions ils pourraient en représenter une de quatre s’il leur était possible de se rendre compte de la perspective de la chose. ”

“ Une surface rectiligne est celle qui est comprise entre des lignes droites.
La curvi-ligne est comprise entre des lignes courbes. Voyez Courbe.
Une surface plane est la même chose qu’un plan. Voyez Plan.
L’aire d’une surface est l’étendue ou le contenu de cette surface. Voyez Aire & Mesure ; & sa quadrature consiste à déterminer cette aire. Voyez Quadrature.
Pour la mesure des surfaces des différentes especes de corps, comme les spheres, les cubes, les paralélipipedes, les pyramides, les prismes, les cônes, &c. Voyez Sphere, Cube, &c. ”

“ II. À quelle surface est constamment tangent un plan mobile qui coupe une surface du second ordre de manière que l’aire de la section plane soit constante, quelle surface décrit dans l’espace le sommet d’une surface conique circonscrite qui touche la surface courbe suivant le contour de cette section ? ”

“ En effet, qu'une figure plane soit donnée à transformer; on imprimera à son plan un mouvement infiniment petit dans l'espace; les plans normaux aux trajectoires des différents points de la figure envelopperont une surface conique (qui aura son sommet en un point du plan de la figure) 1, et un plan transversal, mené arbitrairement dans l'espace, coupera cette surface conique suivant une figure qui sera une transformée de la proposée. ”

“ En prolongeant, suivant des lignes de plus courte distance, les directions initiales situées dans un élément superficiel, on obtiendrait une surface illimitée de mesure de courbure constante, c’est-à-dire une surface qui, dans une variété plane de trois dimensions, prendrait la forme d’une surface sphérique, et qui serait par conséquent finie.
§ III.
Les questions sur l’immensurablement grand sont des questions inutiles pour l’explication de la nature. ”

“ Nous venons de voir que la surface à laquelle appartient l'équation aux différences partielles , est engendrée par le mouvement d'une courbe plane, dont le plan roule autour d'un cône qui a son sommet à l'origine : ainsi, deux caractéristiques consécutives sur la même surface, se coupent en un point; et le lieu de toutes ces intersections pour la série des caractéristiques d'une même surface, est une courbe , qui est l'arête de rebroussement de la surface. ”

“ En effet, soient A, B (fig. 1.) , deux points donnés, il est évident que la ligne AB qui les joint est plus courte que la ligne courbe ACB, et que celle-ci est aussi plus courte que la courbe ADB.
8. Un objet qui a longueur, largeur et point d'épaisseur prend le nom de surface.
La figure ABCD représente une surface.
9. L'ensemble que forment les lignes AB , AC, BD, CD s'appelle figure.
10. Une surface est dite plane, convexe ou concave.
La surface est plane lorsqu'il est possible de tirer dessus , et en tout sens , des ligues droites dont tous les points se confondent avec elle. ”

“ Fig. 4.
de la surface de l'eau n'est incliné d'aucun côté sur la verticale, c'est un plan horizontal; une ligne droite appliquée sur un pareil plan s'appelle une horizontale. Plongez la planchette en partie dans l'eau (fig. 4) ; quand l'agitation produite a cessé, la ligne AB qui sépare la partie immergée de la partie restante est une
ligne droite horizontale. Cette ligne s'appelle la ligne d'intersection du plan de la planchette et du plan de la surface de
l'eau. ”

“ Le planisphère, ou mappemonde de Mercator, développe la surface terrestre sous forme d'un rectangle, les cercles étant remplacés par des lignes droites.
Hémisphère oriental.
Projections. La surface d'une sphère, n'étant pas développable, ne peut se projeter ou se représenter exactement sur une carte dont la surface est plane: toutes les projections ont donc leurs défauts comme leurs avantages.
— 1° La projection droite, orthographique ou sphéroïdale, rend sensible la rondeur de la terre, mais rapetisse trop les parties fuyantes des bords. ”

“ Cherchons maintenant une formule pour exprimer la mesure de la courbure pour un point quelconque de la surface courbe. En dénotant par l’aire d’un élément de cette surface, sera l’aire de la projection de cet élément sur le plan des coordonnées et, par suite, si est l’aire de l’élément correspondant sur la surface sphérique, sera l’aire de la projection sur le même plan : le signe positif ou négatif de indiquera que la situation de la projection est semblable ou opposée à la situation de l’élément projeté. ”

“ Ainsi, les corps arrondis ou à superficies courbes, sont ceux sur lesquels on ne peut appliquer une règle ; telle qu'une boule ou forme appelée sphérique. Ou peut toujours appliquer la règle en tous sens sur un plan ou superficie plate.
Diversité des corps solides.
Corps rond. — Corps parfait de régularité qui se termine par une seule surface courbe rentrante sur elle-même. Un œuf ou sphéroïde est terminé aussi par une seule surface arrondie et allongée. Les procédés mécaniques de l'industrie produisent une infinité de corps à surfaces courbes. ”

“ Une masse matérielle glisse sur une surface ; aucune pesanteur, aucune force ne la sollicite ; aucun frottement ne gêne son mouvement. Si la surface sur laquelle elle doit demeurer est un plan, elle décrit une ligne droite avec une vitesse uniforme ; si la surface est une sphère, elle décrit un arc de grand cercle, également avec une vitesse uniforme. Si notre point matériel se meut sur une surface quelconque, il décrit une ligne que les géomètres nomment une ligne géodêsique de la surface considérée. ”

“ Dans le cas linéaire, les géomètres ont supposé que le mouvement s’exécute tout entier dans une direction perpendiculaire au plan de la lame en repos : j’admis la même chose par rapport aux surfaces planes. Guidée ensuite par l’analogie seule, je crus pouvoir supposer que le mouvement des divers points d’une surface courbe s’exécute tout entier dans des directions perpendiculaires aux plans tangents à chacun des mêmes points, considérés sur la surface en repos. ”

“ Pour embrasser avec la plus grande généralité la théorie de la figure de la Terre et des planètes, il fallait déterminer l’attraction des sphéroïdes peu différents de la sphère et formés de couches variables de figure et de densité suivant des lois quelconques ; il fallait encore déterminer la figure qui convient à l’équilibre d’un fluide répandu à leur surface ; car on doit imaginer les planètes recouvertes, comme la Terre, d’un fluide en équilibre ”

“ Savoir, à chaque partie de la surface courbe enfermée dans des limites déterminées, nous assignons une courbure totale ou entière, qui est exprimée par l’aire de la figure qui lui correspond sur la surface sphérique. ”

“ Si, autour d'un point fixe, on fait tourner une transversale qui rencontre en deux points une surface du second degré, de révolution; la somme ou la différence des distances de ces points, à un foyer de la surface, divisées par les distances des mêmes points, au plan polaire du point fixe, sera constante. ”

“ Dans une surface générale, les plans polaires de deux points sont toujours distincts; dans un cône, tous les points situés sur une même droite passant par le sommet auront même plan polaire ; dans le système de deux plans, tous les points situés dans un même plan passant par la ligne d'intersection des plans auront même plan polaire; enfin, dans le système de deux plans confondus, tous les points de l'espace ont même plan polaire. ”

“ « La Terre est sphérique, car toutes ses parties s’efforcent vers son centre de gravité. » L’eau et la terre y tendent toutes deux, ce qui donne à la surface des eaux la forme d’une portion de sphère ; la sphère serait parfaite si les eaux étaient en quantité suffisante. ”

“ Quelquefois, la surface est infinie dans ses deux dimensions, comme le plan en général et les cylindres et cônes qui ont pour directrices des courbes infinies; d'autres fois elle n'est infinie que dans un sens, comme le cylindre et le cône, lorsque leur directrice est une courbe fermée; enfin elle peut être finie en tous sens, comme la surface de la sphère.
156. En construisant un certain nombre de génératrices, et sur chacune d'elles les points suivant lesquels elle perce les plans de projection, on obtient les traces de la surface. ”

“ Quand une surface est l'enveloppe d'une sphère dont le centre se meut sur un plan, tandis que le rayon est proportionnel à la distance du centre à une droite fixe située sur le plan, les lignes de courbure sont toutes planes (Voir le mémoire de M. Bonnet, ou plus loin, § 63.) Ces lignes sont, les unes, les intersections successives de la sphère mobile, les autres, les sections de la surface par les plans menés suivant la droite fixe. ”

“ Soit un système de forces sollicitant un corps solide; que, pour chaque point m de l'espace, on conçoive le plan principal de ce système de forces, relatif à ce point, et la normale à ce plan, menée par ce point : Celles de toutes ces normales qui passeront par un point donné de l'espace, formeront un cône du second degré ; et les points m par lesquels elles seront menées, seront sur une courbe à double courbure, du troisième degré.
(14) Les tangentes aux différents points d'une courbe à double courbure, du troisième degré, forment une surface développable du quatrième degré ”

“ Par un point pris sur une surface de révolution, dont on connaît le méridien, mener un plan tangent à cette surface.
Problèmes relatifs aux intersections de surfaces.
Construire la section faite, sur la surface d'un cylindre droit et vertical, par un plan perpendiculaire à l'un des plans de projection. — Mener la tangente à la courbe d'intersection.—Faire le développement de la surface cylindrique, et y rapporter la courbe d'intersection, ainsi que la tangente. 1
Construire l'intersection d'un cône droit par un plan perpendiculaire à l'un des plans de projection. ”

“ On a imaginé, pour engendrer de telles surfaces, des procédés très-ingénieux, mais qui ont totalement manqué leur but, lorsqu’il a fallu passer de la surface simplement doucie à la surface parfaitement polie. ”

“ Revenons à la formule qui exprime généralement la grandeur de l’élément linéaire sur une surface courbe, et, avant tout, examinons la signification géométrique des coefficients Déjà, dans l’art. V, nous avons averti qu’on peut concevoir, sur la surface courbe, deux systèmes de lignes : l’un, pour lequel seul est variable, constant ; l’autre, dans lequel seul est variable, constant. Un point quelconque de la surface peut donc être considéré comme l’intersection d’une ligne du premier système avec une ligne du second ”

“ Les surfaces des sphères étant comme les carrés des rayons ou des diamètres et les volumes comme les cubes de ces mêmes rayons ou diamètres, il s’ensuit que la surface de la Terre est 16 fois plus grande que celle de notre satellite. ”

“ Deux points étant donnés, déterminer l’équation la plus générale des courbes planes qui, passant par ces deux points, sont telles que l’espace mixtiligne compris entre l’arc qui s’y termine et sa corde, soit équivalent à une surface donnée ?
Solution. Soit et ces deux points, et rapportons-les à deux axes rectangulaires ou obliques ; soit alors (a, b) les coordonnées du premier, et celles du second. ”

“ Quand l’on considère une surface non comme la limite d’un solide, mais comme un solide flexible quoique inextensible, dont une des dimensions est regardée comme évanouissante, les propriétés de la surface dépendent, en partie de la forme à laquelle on la conçoit réduite, en partie sont absolues, et restent invariables, suivant quelque forme qu’on la fléchisse. ”

“ Le champ d’étude par excellence de la géographie, c’est la surface ; c’est-à-dire l’ensemble des phénomènes qui se produisent dans la zone de contact entre les masses solides, liquides et gazeuses qui constituent la planète. Ce contact est le principe de phénomènes sans nombre, dont quelques-uns à peine soupçonnés encore ; il agit comme un réactif pour mettre en évidence les énergies terrestres. ”

“ En passant d’un milieu transparent dans un autre, un rayon lumineux s’approche ou s’éloigne de la perpendiculaire à la surface qui les sépare, de manière que les sinus des deux angles que forment ses directions, avec cette perpendiculaire, l’une avant, l’autre après son entrée dans le nouveau milieu, sont en raison constante, quels que soient ces angles. ”

“ I La nature d’une surface courbe est déterminée par une équation entre les coordonnées relatives à chacun de ses points. En vertu de cette équation chacune de ces trois variables peut être considérée comme une fonction des deux autres. La généralité est encore plus grande si l’on introduit en outre deux nouvelles variables et si l’on représente chacune des variables comme fonction de en sorte que, au moins en général, des valeurs déterminées de correspondent toujours à un point déterminé de la surface et réciproquement. ”

“ On considère aussi d'une manière spéciale les surfaces de révolution, c'est-à-dire celles qu'on obtient par la rotation complète d'une ligne autour d'un axe, bien que chaque surface de révolution rentre dans une des deux classes précédentes.
Surfaces réglées. Les surfaces réglées sont des surfaces qui peuvent être engendrées par une ligne droite. Exemple : cylindre, cône, hélicoïde. [Géométrie, n08 421, 435, 614.] Surfaces non réglées. Les surfaces non réglées sont des surfaces qui ne peuvent être engendrées par une ligne droite. ”