Jean le Rond d’Alembert

“ Il me semble que par les principes établis jusqu’ici, on peut démontrer ou plutôt expliquer cette fameuse loi de Mécanique, que dans un systême de corps pesans en équilibre, le centre de gravité est le plus bas qu’il est possible. Car supposons le systême dans un état infiniment proche de l’état d’équilibre ; il est certain qu’il y aura dans chaque corps un petit mouvement pour se remettre à l’état d’équilibre, & l’effort de la pesanteur de chaque corps doit être regardé comme composé de ce petit mouvement, & d’un autre qui est détruit. ”

“ Mais comment arrive-t-il que le Mouvement d’un corps suive telle ou telle loi particuliere ? C’est sur quoi la Géométrie seule ne peut rien nous apprendre, & c’est aussi ce qu’on peut regarder comme le premier Problême qui appartienne immédiatement à la Méchanique.
On voit d’abord fort clairement, qu’un corps ne peut se donner le Mouvement à lui-même. Il ne peut donc être tiré du repos, que par l’action de quelque cause étrangere. ”

“ Soit qu’un Corps ait une simple tendance à se mouvoir avec une certaine vitesse, tendance arrêtée par quelque obstacle ; soit qu’il se meuve réellement & uniformément avec cette vitesse ; soit enfin qu’il commence à se mouvoir avec cette même vitesse, laquelle se consume & s’anéantisse peu à peu par quelque cause que ce puisse être ; dans tous ces cas, l’effet produit par le Corps est différent, mais le Corps considéré en lui-même n’a rien de plus dans un cas que dans un autre ; seulement l’action de la cause qui produit l’effet est différemment appliquée. ”

“ Or quelle que soit la puissance accélératrice ou retardatrice, les espaces , parcourus en vertu de cette puissance, durant les instans , , sont entr’eux comme les quarrés de ces instans. D’où il s’ensuit que dans la courbe polygone, ou considérée comme l’effet de la puissance accélératrice ou retardatrice, doit être regardée comme parcourue d’un mouvement uniforme avec la vitesse infiniment petite que le corps a acquis à la fin de l’instant . On voit par-là de quelle maniere on peut réduire à un mouvement uniforme l’effet instantané de la puissance qui accélere ou qui retarde le mouvement. ”

“ D’où les partisans des forces vives concluent que la force des Corps qui se meuvent actuellement, est en général comme le produit de la masse par le quarré de la vitesse. Au fond, quel inconvénient pourroit-il y avoir à ce que la mesure des forces fût différente dans l’équilibre & dans le Mouvement retardé, puisque, si on veut ne raisonner que d’après des idées claires, on doit n’entendre par le mot de force, que l’effet produit en surmontant l’obstacle ou en lui résistant ? ”

“ Ce n’est pas que le repos lui soit plus essentiel que le Mouvement ; mais on pourroit penser qu’il ne faut autre chose à un Corps pour être en repos, que d’être un Corps, au lieu que pour le Mouvement il a peut-être besoin de quelque chose de plus, qui doit être, pour ainsi dire, continuellement reproduit en lui ; à peu près comme nous l’éprouvons dans le mouvement de notre corps, qui pour se mouvoir a besoin d’un effort continuel, lequel se consume & renaît à chaque instant. Nous ne prétendons pas donner pour juste le parallele des corps animés aux corps inanimés ”

“ Un obstacle invincible peut être tel, qu’il ne permette au corps aucun mouvement, comme quand un corps tire une verge droite attachée à un point fixe ; ou l’obstacle pourroit être de telle nature, qu’il n’empêchât pas le corps de se mouvoir dans une autre direction que celle qu’il a ; comme quand un corps rencontre un plan inébranlable. ”

“ Le Principe de l’équilibre joint à ceux de la force d’inertie & du Mouvement composé, nous conduit donc à la solution de tous les Problêmes où l’on considere le Mouvement d’un Corps, en tant qu’il peut être altéré par un obstacle impénétrable & mobile, c’est-à-dire en général par un autre Corps à qui il doit nécessairement comuniquer du Mouvement pour conserver au moins une partie du sien. ”

“ Le Mouvement uniforme d’un Corps ne peut être altéré que par quelque cause étrangere. Or de toutes les causes, soit occasionnelles, soit immédiates, qui influent dans le Mouvement des corps, il n’y a tout au plus que l’impulsion seule dont nous soyons en état de déterminer l’effet par la seule connoissance de la cause, comme on le verra dans la seconde Partie de cet Ouvrage. ”

“ Ainsi nous entendrons en général par la force motrice le produit de la masse qui se meut par l’élément de sa vitesse, ou, ce qui est la même chose, par le petit espace qu’elle parcourroit dans un instant donné en vertu de la cause qui accélere ou retarde son Mouvement ; par force accélératrice, nous entendrons simplement l’élément de la vitesse. ”

“ En général, pour que tant de puissances qu’on voudra dirigées dans un même plan se fassent équilibre, il faut que la somme des produits de chaque puissance par sa distance à l’appui, soit zéro, en prenant avec des signes contraires celles qui agissant dans des sens différens. ”

“ Comme les obstacles insurmontables anéantissent également toutes sortes de Mouvement, ils ne peuvent servir à faire connoître la force : ce n’est donc que dans l’équilibre, ou dans le Mouvement retardé qu’on doit en chercher la mesure. Or tout le monde convient qu’il y a équilibre entre deux Corps, quand les produits de leurs masses par leurs vitesses virtuelles, c’est-à-dire par les vitesses avec lesquelles ils tendent à se mouvoir, sont égaux de part & d’autre. ”

“ Ainsi dans le cas où les corps sont pesans, la somme des forces vives à chaque instant est égale à la somme des forces vives initiales, plus à la force vive d’un poids unique égal à la somme de tous les poids, lequel descendroit librement d’une hauteur égale à la quantité dont le centre de gravité est descendu. ”

“ La vitesse ne renfermant qu’une idée relative, n’a point de mesure absolue, on ne juge point de la vitesse d’un Corps en elle-même, mais en la comparant à la vitesse d’un autre Corps. Ainsi cette maniere de parler si commune chez les Mécaniciens, que la vitesse est égale à l’espace divisé par le tems, n’est qu’une expression abrégée pour dire que les vitesses de deux Corps qui se meuvent uniformément, sont entr’elles comme les espaces que ces Corps parcourent, divisés par les tems qu’ils employent à les parcourir ”

“ Comme un corps tend de lui-même à se mouvoir en ligne droite, il ne peut décrire une ligne courbe, qu’en vertu de l’action d’une puissance qui le détour ne continuellement de sa direction naturelle. On peut déduire de l’article précédent, les principes du mouvement d’un corps sur une courbe. ”

“ Il résulte de là, que quand un corps se meut sur une courbe, sa vitesse à chaque point de la courbe est précisément altérée de la même maniere, toutes choses d’ailleurs égales, que s’il se mouvoit sur la tangente de la courbe en ce point. ”

“ Nous voyons que les corps qui nous environnent restent en repos, tant que rien ne les en tire ; & s’il arrive quelquefois qu’ils paroissent se mouvoir sans que nous en voyons la cause, nous avons lieu de juger par l’analogie, par l’uniformité des loix de la nature, & par l’incapacité de la matiere à se mouvoir d’elle-même, que cette cause n’en est pas moins réelle pour nous être cachée. ”

“ Ajoûtons que si plusieurs corps, considérés comme des points, se meuvent en ligne droite, dans un milieu résistant en raison de la vitesse, leur centre de gravité se mouvra aussi en ligne droite, avec un mouvement retardé en raison de la vitesse. En effet quand la résistance est comme la vitesse, les espaces que les corps décriraient à chaque instant, sont diminués dans la raison de ces mêmes espaces. Donc le chemin du centre de gravité continue d’être en ligne droite, & l’espace qu’il parcourt est seulement diminué à chaque instant d’une quantité qui lui est proportionnelle. ”

“ Un Corps en repos y persistera, à moins qu’une cause étrangere ne l’en tire. Car un Corps ne peut se déterminer de lui-même au mouvement, puisqu’il n’y a pas de raison pour qu’il se meuve d’un côté plutôt que d’un autre. ”

“ Car (art. 6) le Mouvement d’un Corps est uniforme par lui-même : il ne devient accéléré ou retardé qu’en vertu d’une cause étrangere, & alors il est susceptible d’une infinité de loix différentes de variation. La loi d’uniformité, c’est-à-dire l’égalité entre le rapport des tems & celui des espaces parcourus, est donc une propriété du Mouvement considéré en lui-même. Le Mouvement uniforme n’en est par-là que plus analogue à la durée, & par conséquent plus propre à en être la mesurre, puisque les parties de la durée se succedent aussi constamment & uniformément. ”

“ On démontre d’ordinaire ce dernier Théorême, en regardant la courbe comme un polygone d’une infinité de côtés, dont les angles extérieurs sont infiniment aigus ; les sinus verses de ces angles étant infiniment petits du second ordre, on en conclut qu’un corps ne perd à chaque instant qu’une partie de vitesse infiniment petite du second genre, de sorte que la perte totale de en n’est qu’infiniment petite du premier. ”

“ On voit aisément que cette démonstration peut s’étendre à tel nombre de corps qu’on voudra ; car tout ce qu’on y a supposé, c’est que si la vitesse ne varie qu’infiniment peu d’un instant à l’autre, & que les corps ne soient point animés de forces accélératrices, la somme des produits des masses par les quarrés des vitesses fait toujours une somme constante. ”

“ Les forces centrales, & en général toutes les forces accélératrices (si par le mot de force nous n’entendons que les effets) sont entr’elles comme les petits espaces qu’un corps parcourt dans un même instant en vertu de ces forces. On a coutume de comparer toutes ces forces à la force accélératrice constante que nous connoissons le mieux, je veux dire à la pesanteur. ”

“ D’où il s’ensuit que l’action mutuelle de ces puissances, n’est autre chose que l’action même des corps animés par les vitesses qu’elles leur donnent. On ne doit donc entendre par l’action des puissances, & par le terme même de puissances dont on se sert communément dans la Statique, que le produit d’un corps par sa vitesse ou par sa force accélératrice. De cette définition, & des articles précédens, on conclut aisément que deux puissances égales & directement opposées se font équilibre ; que deux puis sances qui agissent en même sens produisent le même effet que leur somme ”

“ Il est démontré qu’un arc infiniment petit d’une courbe quelconque, peut être pris pour un arc de cercle, dont le rayon seroit égal au rayon de la développée de cet arc de la courbe. On réduit par ce moyen le mouvement d’un corps sur une courbe quelconque, au mouvement de ce même corps sur un cercle dont le rayon change à chaque instant. ”

“ Si l’obstacle, invincible ou non, que le corps rencontre, ne fait qu’altérer & changer son mouvement sans le détruire, ensorte que le corps ayant, par exemple, la vîtesse avant que de rencontrer l’obstacle, il soit obligé de prendre une vitesse dont la quantité & la direction soit différente de la premiere ; il est évident qu’on peut regarder la vitesse que le corps a lorsqu’il rencontre l’obstacle, comme composée de la vitesse & d’une autre vitesse , & qu’il n’y a que la vitesse qui ait été détruite par l’obstacle. ”

“ Si l’obstacle est une surface immobile, le point par où passe la direction de la force résultante est nécessairement un point qui touche cette surface, & dont le mouvement instantané est suivant la direction de cette surface même, tandis que la direction de la force résultante est perpendiculaire à cette surface. Donc en général , quand il y a un point fixe. Il est donc démontré, que quand les corps se tiennent par des leviers inflexibles, fixes ou non fixes, la conservation des forces vives a lieu. ”

“ Puissent, Monseigneur, les Sciences & les Lettres, fideles à conserver le souvenir de ceux qui les ont aimées, célébrer d’une maniere digne de la France & de Vous tant d’établissemens glorieux à Votre Ministère, qui laisseront à Vos successeurs l’honneur de les faire fleurir ! Puissiez-Vous goûter en paix dans votre retraite la consolation que procure la vie privée, de ne point voir de trop près les malheurs des hommes ! ”