Germinal Pierre Dandelin

“ Par l’extrémité du grand axe menez une droite à volonté hors du plan de la courbe ; par chacun des foyers menez une sphère tangente au plan de la courbe et à la droite : faites alors tourner la droite et les deux sphères autour du diamètre commun à ces dernières, vous formerez une hyperboloïde dont la section aura deux foyers et un bout du grand axe, commun avec la courbe proposée ; c’est tout ce qu’il faut pour établir l’identité. ”

“ Si d’un point supposé lumineux on conçoit des rayons incidens, qui aillent se rendre sur une surface réfléchissante, ils s’y relèveront tous en fesant avec la surface, c’est-à-dire avec son plan tangent, des angles de réflexion égaux aux angles d’incidence. Si ensuite on suppose que par le point lumineux on ait mené un plan de manière à couper la surface suivant une courbe, on pourra isoler par la pensée les rayons compris dans ce plan, de tous les autres ”

“ Nous observerons d'abord que, pour ce point d'inflexion, le rayon osculateur de la focale doit être infini, donc le rayon réfléchi par la parabole au point corrélatif de ce point d'inflexion doit être infini. ”

“ Si l’on place une ligne droite indéfinie de manière à ce qu’elle soit en contact avec une sphère, et qu’on donne ensuite à la sphère un mouvement de rotation autour d’un de ses diamètres rendu immobile, elle emportera avec elle la droite qu’on lui suppose adhérente, et qui, dans ce mouvement, décrira la surface appelée hyperboloïde de révolution. ”

“ Si dans l’hexagone gauche on mène les trois diagonales qui joignent les sommets des trois couples des angles opposés, ces trois diagonales passent par le même point.
Soient en effet les deux angles opposés et : par les deux génératrices d’espèce opposée et , menons le plan [1] , ce qui est possible, ce plan contiendra la diagonale qui joint les sommets des deux angles. ”

“ En appliquant cette construction à la parabole génératrice de la focale et prenant le nœud pour point lumineux, on pourra donc construire la caustique par réflexion de cette parabole, c'est-à-dire la développante de notre focale : c'est ce que j'avais annoncé (28) .
En reprenant notre formule , on voit que ne peut-être infini qu'autant que l'on ait , ou , c'est-à-dire, que le point lumineux tombe sur le milieu de la corde ; ou en d'autres termes que le cercle ayant pour diamètre la première moitié du rayon osculateur à partir du point d'incidence, doit passer par le point lumineux. ”

“ En effet, si par un point quelconque on veut mener une tangente à la courbe, on observera d'abord que le problême est résolu en trouvant la normale; 2° que cette normale (21) passe par le point corrélatif ; 3° que ce point, corrélatif (15) se trouve sur la droite , menée perpendiculairement sur le milieu de , et 4° que cette droite étant tangente à la parabole, le point de contact ou corrélatif cherché se trouve sur la perpendiculaire menée par le foyer de la parabole sur le rayon , d'après une propriété connue de la parabole. ”

“ L’hyperboloïde de révolution contient le cône droit comme cas particulier ; on n’a pour cela qu’à donner à la droite une position telle qu’elle coupe le diamètre fixe. Ainsi on est en droit de conclure que toutes les sections coniques peuvent être considérées comme venant de l’hyperboloïde ; mais on peut démontrer cela autrement.
5. Sur le prolongement du diamètre immobile, et avant le mouvement de rotation, on peut supposer les centres d’autant de sphères qu’on voudra, tangentes à la ligne droite dont nous avons parlé, et que nous nommerons génératrice ”

“ Menez un cercle tangent en à la droite , et par le point conduisez lui une tangente . Le point de contact est à la focale, puisque l’on a évidemment , ce qui rentre dans la construction précédente.
10. Pour abréger nous appellerons désormais la ligne la directrice de la focale et le point son sommet.
En reprenant la construction (8) , que nous avons donnée pour la focale, on observera que si du point on mène deux droites et aux points et , l’angle est droit quelque soit la position de la droite . Or à mesure que l’on diminue l’angle , les droites et deviennent de plus en plus courtes. ”

“ III. Quand est sur la circonférence du cercle , comme pour , il n'y a plus qu'une tangente et partant les deux points d'intersection se réunissant en un seul, le cercle primitif ou donné est tangent à la courbe dans ce point . Dans ce cas, en voit que le centre de ce cercle tangent est sur la parabole dont le foyer est et la directrice . ”

“ On voit aussi directement par cette construction que les branches de la courbe ont pour asymptote l’arête ; car soit le point d’intersection de cette arête et de la tangente , on aura dans l’angle :
d’où
. Et dans l’angle
; or plus le point s’éloigne du sommet du cône, plus approche d’être égale à , donc il est clair que dans l’un et l’autre angle plus on éloignera le point et plus approchera de , qu’il ne peut atteindre qu’à l’infini. Maintenant soit le rayon du cercle , et nommons la ligne , perpendiculaire sur , nous aurons dans les deux angles
. ”

“ Si l'on désigne par la longueur du rayon incident, par celle du rayon réfléchi, par la corde ou , interceptée par le cercle sur le rayon incident, l'équation précédente donne cette formule pour la valeur du rayon réfléchi;
. Cette formule peut servir dans tous les cas à déterminer fort simplement le rayon réfléchi, lorsqu'on connait le cercle osculateur à la courbe au point d'incidence. Elle conduit à la formule graphique suivante.
[Fig. 9.]
Du point sur le rayon incident prenez , mais de l'autre côté; menez et parallèle à , le point sera à la caustique. ”

“ Par tout point de l’hyperboloïde passent deux génératrices, l’une directe, l’autre inverse.
8. Que chaque génératrice directe, rencontre toutes les inverses et réciproquement.
9. Qu’une génératrice directe ne peut jamais rencontrer une génératrice directe ; et vice-versa, que les génératrices inverses ne peuvent jamais se couper.
10. Théorème. Deux sphères tangentes à l’hyperboloïde étant données, si on mène un plan tangent en et à ces deux sphères, il coupera l’hyperboloïde suivant une courbe analogue aux sections coniques, et dont les foyers seront et . ”

“ Cette équation, qui appartient aux coordonnées du point corrélatif cherché, appartient à une hyperbole qui se construit de la manière suivante : par le foyer élevons perpendiculaire sur , puis prenons , et prenons perpendiculaire à , puis perpendiculaire à . Ces deux droites seront les asymptotes de l’hyperbole, du reste cette hyperbole passe par le point , puisque dans (4) pour on a . Ainsi, on connait tout ce qui est nécessaire pour construire cette hyperbole, une de ses branche coupe en la parabole, et le point est le corrélatif du point d'inflexion cherché. ”

“ Il résulte de là que tout cercle, qui passe par le nœud de la focale, la coupe généralement en deux points; mais la position du cercle introduit quelques modifications dans les valeurs des ordonnées de ces points. Les voici:
I. Tant que le point est hors du cercle , les deux points sont réels.
II. Quand est dans le cercle, il n'y a plus de tangente et le cercle proposé ne coupe plus la courbe qu'en . ”

“ La surface de la portion est égale à la différence entre le rectangle et le même secteur .
D'où il suit que la surface ND'N', c'est à-dire la différence des deux aires ci-dessus, est équivalente à la différence du rectangle au rectangle . Cette surface est donc exactement quarrable. ”