Euclide

“ Quand une ligne droicte tombant sur une autre s’incline ou panche plus d’un costé que de l’autre, elle fait consequemment deux angles inégaux, dont l’un est plus grand que l’angle droict, & se nomme angle obtus ”

“ Mais toutes superficies esquelles il y a des endroits les uns plus eslevez que les autres, tellement qu’on n’y peut pas accommoder une ligne droite par tous les lieux & endroits d’icelles, telle qu’est la superficie interieure d’une voulte ou arcade, ou bien l’exterieure d’un globe, ou d’une colomne ronde, & aussi d’un cone, &c. ”

“ Mais si on dit que la circonférence ADB ne se rencontre pas avec la circonference AEB, ains qu’elle tombe au dessus ou au dessoubs d’icelle, comme en la 2.figure, soit tiree du centre C une ligne droicte laquelle couppe la circonférence ADB en D, & la circonference AEB en E ; les deux lignes droictes CD & CE, qui sont tirées du centre à la circonference d’un mesme cercle, seront égales entr’elles, par la définition du cercle : Ce qui est absurde, car l’une n’est que partie de l’autre. ”

“ Aux grandeurs egales AB, CD, estans adioustés les inégales BE, DF, desquelles la difference ou excés est G E ; il est manifeste que la toute AE excedera la toute CF du mesme excez GE, 16. Si à choses inégales on adiouste choses egales, l’excez des toutes sera le mesme que l’excez de celles qui estoient au commencement.
Comme si (en la figure precedente) aux grandeurs inegales BE, DF, dont l’excez ou difference est GE, on adiouste les grandeurs inegales AB, CD : il est manifeste que la toute AE excedera la toute CF du mesme excez GE.
17. ”

“ Car d’autant que toute quantité continue peust estre infiniment augmentee par additition, & diminuée par division, il ne se peut donner quantité continue si grande, qu’il ne s’en puisse donner encore une plus grande ; ny une si petite qu’il ne s’en puisse encore donner une plus petite. Ce qui est dit icy touchant l’addition, est aussi veritable aux nombres ; car chaque nombre peut estre augmenté à l’infiny par l’addition continuelle de l’unité, jaceoit qu’en la diminution d’iceluy on parvienne à l’unité indivisible. ”

“ Cercle, est une figure plane, contenue par vne seule ligne qu’on appelle circonference, vers laquelle toutes les lignes droictes menées d’un seul poinct de ceux qui sont en icelle figure, sont égales entr’elles. ”

“ AE sera à EF comme AE à EH : mais AE estant egal soy mesme, il faudroit aussi par la 14. prop. 5. que EF 2° fust egale à EH 4°. c’eft à sçauoir le tout à la partie, ce qui est absurde : donc le parallelogramme total BD, & le retranche GE, estoient constituez à l’entour d’vu mesme diametre : car il aduiendra tousiours la mesme absurdité, si on dit que le diametre de BD couppe à quelconque autre poinct, soit le costé EF ou FG, du parallelogramme retranché GE. Si donc d’vn parallelogramme on oste vn parallelogramme, &c. Ce qu’il falloit demonstrer. ”

“ Et est à noter, qu'en tout parallelogramme si un seul angle est donné droict, il est necessaire que les trois autres soient außi droicts : comme par exemple, si l'angle E du parallelogramme EFGH est droict. Ie dis que les trois autres F, G, H, sont außi droicts. Car d'autant que les lignes EF, GH sont paralleles, les angles internes E & H, sont egaux à deux droicts par la 29. p. i. leurs opposez G & F seront außi droicts. ”

“ Grandevrs commensurables, sont celles là qui sont mesurees par une mesme mesvure..
Ainsi les deux lignes droictes A & B, estans mesurees par vne mesme ligne C, seront dictes commensurables. Ainsi außi une ligne de 6 pieds est commensurable auec vne autre ligne de 7 pieds, pource qu’elles sont toutes deux mesures tant par la ligne d’un pied, quee par celle d’vn demy pied, d’un tiers de pied, & semblablement les superficies, qui sont mesurees par une mesme superficie, sont dites commensurables : Item les corps, ou solides qui sont mesurés par un mesme corps, sont außi dits commensurables. ”

“ Mais les grandeurs incommensurables, sont celles là qui n’ont aucune commune mesure.
Telles grandeurs sont le diametre & le costé de quelconque quarré : car icelles grandeurs n'ont aucune commune mesure, comme il sera demonstré à la derniere prop. ”

“ Et cependant est à noter que ceste superficie est souventesfois appellée plan par les Mathématiciens : tellement que quand ils parlent de plan, il faut tousjours entendre une superficie plane. 8. Angle plan, est l’inclination de deux lignes, l’une à l’autre se touchant en un plan non directement. Euclide enseigne ici que quand deux lignes constituées en quelque superficie plane concurrent en vn point d’icelle superficie, et ne se rencontrent directement, alors l’inclination d’icelles deux lignes s’appelle angle plan. ”

“ Car EF eftant plus grande que GF, elle pourra plus qu*ic^lle, 8c foit du quarré de H. Donc puis que comme AC eft à AB, ainfi le quarré de GF au quarré de EF} en changeant* comme AB fera à AC, ainfi le quarré de EF fera au quarré de GF. Maintenant nous demonftrerons comme en la preced. que la ligne H eft commenf. en longitude à icelle EF. Parquoy puis que la toute EF, peut plus que l’adiouftee GF, du quarré de H, qui luy eft commenf. en longitude, comme auffi à la rationele propolee D : par lestroifiefmesdef. EG fera refidu fécond. ”

“ Quant à l’impression, sa diligence accoustumee à corriger ses œuvres te peut asseurer qu’il y aura peu ou point de fautes : si toutesfois tu en rencontres, il te sera facile de les corriger sans accuser l’autheur qui t’auroit exempté de ceste peine s’il eust vescu iusques icy. ”

“ Donc l’une de ces circonférences là ne tombera pas au dessus ny au dessoubs de l’autre ; mais se rencontreront & conviendront totallement l’une avec l’autre, & par conséquent seront égales : ce qu’il falloit demonstrer. ”

“ Car s’il eft poflible, en foit encore vne autre BD : il fe prouuera comme en la 80. pr. 10.que les quarrez de AC, & BÇ, excedent les quarrez de AB& BD d*vn mefme excez, que deux fois le reâangle de AC & BC, excédent deux fois 1èreâ &ngle de AB de BD, lequel excez comme en la precedente feroit rationel Sc irra. tionel, fi à la ligne AB on pouuoit encore Joindre BD incommenf. en puiffance à la toute AD, de c. Parquoy à vne ligne faifant au cc vne fupeificic rationelle vn tout hiedial, dec. Ce qu’il falloit demonftrer ? ”

“ Bc au rè&angte de A C, C B eft com menfur. fon double : Donc le compofé des quarrez de AC, CB, c’eft à dire le reétangle D K, eft incommenf au double du reâanglc dé AC, CB : c’eft Idire au reâangle LF.par le fcholiede la14.prop.10. parquoy les lignes A E DL, LG qui font en mefme raifon que D14, auantage. qu ilelt binômetroflielme. Garila efté demonftré que les deux noms font incommenfurables en longitude à la rationele DE ; Et feprçuuera comme à la ôV.prop. que DL peut plus que LG du quarré d’vne ligne qui luy eft commenfurable en longitude ”

“ Soient iûinét es deux fuperficies A rationele, & B mediale i ie dis que la ligne qui peut toutes les deux eft binôme, ou bimediale première, ou ligne majeure, oU Ügne pouuant vn rationel &vnmediàl. Car premièrement les deux fuperficies ne fçauroient eftre égalés ( car ou elles feroient toutes deux rationeles, ou toutes deux mediales.) ”

“ Ce icelles D & E ? . . a feront rationeles eommenfurables en longitude. En après, par le corol. de >1« | 6. prop. 10. foit fai# que comme le nombre AB eft au nombre AC, ainfi le quar» TTTTr
450 DIXIEME
ré de E F Foit a» quarré de F G. le dis que Ta toute EG eftbinonse pretftîer. Car puis que les quarrez de EF,FG, qui font entr’eux commelesïnombres AB, AC.font commenfuiablesparlatî.prop.io. auffi les lignes EF, FG feront com* menfurables, au moins en puiftance : Et dautant que EF eftrationele, auffi FG Fera rationefe. ”

“ Le tout est plus grand que sa partie.
10. Tous les angles droicts sont egaux entr'eux.
De ce principe, nous pouvons convertir & prendre pour maxime, que tout angle rectiligne egal à un angle droict, est aussi droict.
11. Si une ligne droicte tombant sur deux autres lignes droictes, faict les angles interieurs d’un mesme costé plus petits que deux droicts, icelles deux lignes estans. continuées à l'infiny, se rencontreront du costé où les angles sont plus petits que deux droicts. ”

“ Telle figure est tousiours l’une de ces quatre : Quarré, Quarré long, Rhombe, & Rhomboide, car elles ont toutes leurs costez opposés parallels.
37. Mais quand en un parallelogramme on mene un diametre, & deux lignes droictes paralleles aux costez lesquelles couppant iceluy diametre à un méme poinct, divisent le parallelogramme en quatre autres parallelogrammes ; ces deux là par lesquels le diametre ne passe point, sont appellez complemens ; mais les deux autres par lesquels le diametre passe, sont dicts estre à l’entour du diametre. ”

“ Car iceux reâangles eftans médiaux, f excez d’iceux ne peut eftre rationel. Doue à la ligne mineure AB on ne peut adiouftet autre ligne conuenable que BC. Parquoy à la ligne mineure s’accorde vne feule ligne, de c. Ce qu’iLfalloit prouuer.
THEOR. 66. PROP. LXXXIIII.
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À la ligne faifant auec vne fuperficie rationele vn tout medial, s’accorde vne feule ligne incommenf en puiflànce à la toute* Ôc faifant auec icelle vn rc&angle rationel : mais le compofé . de leurs quarrez medial. ”

“ COROLLAIRE. Par cecy est euident que si une grandeur mesure trois grandeurs qu'elle mesure aussi la plus grande commune mesure d'icelles. Car il a esté demonstré que si F mesure A, B, C, qu'elle mesurera pareillement E plus grande commune mesure d'icelles. ”

“ T fes noms au pofti&C, tellement que AC Se ^ ®. c & BC foient médiales comment. ’en puiflance
feulement, comprenant vn reÔangle rationel, comme veut la38. prop. xo. le dis qu’on ne la peut diuifer en fes noms en v neutre poirift. Car s’il lè peut faire, foit AB derechef diuifee en D, fçauoir que AD & DB foient médiates commenfurablcs en puiflance feulement, comprenant vn rectangle rationel. ”

“ Mais icelles toutes font commenf. en longitude par la u.prop. 10, pource que 1’vn.e & l’autre eft commenf.à CD : donc aufii BH>AC feront commenfurahies en longitude par la 10. prop. io. de par confequent les re&angles HC-& B A eftans par la 1. prop. 6. en meime raifon que BH, & AC, ils feront aufsi commenfurables. Mais HC, egal au quarré de la rationele G, eft rationel : donc aufsi AB fera rationel} & partant la ligne F qui peut iceluy A B, fera anfii rationele. Si donc vn re&angle eft compris d’vn refidu, & d’vn binôme, &c. Cequ’il falloit demonftrer. ”

“ THEOR. 20. PROP. XXVII. De tous les parallelogrammes appliquez selon vne mesme ligne droite, & defaillans de parallelogrammes semblables & semblablement posez à vn autre descrit sur la moitié de la mesme ligne ; le plus grand est celuy-là qui est descrit sur l’autre moitié de la ligne 3. & semblable au defaut. ”

“ Soit la rationele A, & le binôme BC, duquel le plus grand nom foit BD : 8c à icelle BC foir appliquéle reftangle BEegal agi quarré delà rationeleA. le disque l’autre cofté CE eft refidu duquel les noms, c’eft à dire la ligne totale ôc fa conuena* bie, fon t proportionnaux 8c commenf aux noms BD, DC du binôme BC : &cn outre qu.’içeluy refidu eft de mefme ordre que ledit binôme. Car au moindre notb CD foit appliqué leie&anglcDF auffi égal au quarré de la rationele A ”

“ Que fi la plus grande peut plus que la plus petite du quarré d vne ligne qui luy (bit incomenîurable endongitude, eftant appliqué vn re&angle fur la plus grande ligne, égal au quart du quarré de la plus petite, ^ défaillant d’vne figure quarree, le ré&angle diuifera la plus grande ligne eh parties incommenfurables en longitude.
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Soient deux lignes inégalés A B & C, & fur la pins grande À B foit appliqu é rpar la z8. prop. 6. ) vn re&angle égal au quart du quarré de C, de* . ”

“ Amy Lecteur voicy le dernier des Œuvres du sieur Henrion Professeur és Mathematiques, contenant les quinze livres des Elements d’Euclide, traduicts en François, avec des Commentaires beaucoup plus amples & faciles, & des figures mieux taillées qu’en toutes les traductions precedentes : ausquels il a adiousté le livre des Donnez, du mesme Euclide, außi traduict en François ”

“ Donc afin que de deux triangles les bases soient égales entr’elles, & leurs angles außi égaux entr’eux, & pareillement les trian-gles égaux ; il est du tout necessaire que non seulement chaque costé de l’vn soit égal a chaque costé de l’autre, mais außi que les angles contenus d’iceux costez soient égaux entr’euxt comme a fort bien dit Euclide. ”

“ Et partant per- sonne ne pourra nier que la ligne droicte AB cy-dessus ne puisse estre continuée iusques en C, puis encore iusques en D, & ainsi à l’infiny, comme Euclide demande qu’on luy accorde par la 2. pétition. Mais si on conçoit quelconque ligne droite terminee se mouvoir à lentour d’un de ses poincts extremes qui demeure fixe, iusques à ce qu’elle retourne au mesme lieu où elle a commencé son mouvement, sera descrit un cercle, & fait ce qui est requis par la 3. ”

“ Les lignes droictes sont considerees ou selon leur longueur, ou selon leur puissance ; & en l'une & l'autre Vorte elles sont dites commensuurables, & incommensurables. Aux deux premieres definitions Euclide a expliqué quelles sont les lignes commensurables, & incommensurables considerees selon leurs longitudes, mais en ceste-cy, & en la suiuante, il declare sont celles dites commensuarbles, & incommensurables en puissance. ”

“ Et puis que par la 34. p. i. tout parallelogramme a les costez opposez egaux, il n'y peut auoir en un parallelogramme que deux costez inegaux, lesquels constituent chaque angle d'iceluy : C'est pourquoy Euclide dit icy, tout parallelogramme rectangle estre contenu sous deux lignes droictes, qui comprennent un angle droict ; tellement que le parallelog. ”