Blaise Pascal

“ S'il est proposé de trouver la puissance quelconque, comme le quatriesme degré d'vn binome, dont le premier nom sont A, l'autre l'unité, c'est à dire qu'il faille trouver le quarré-quarré de A11.
Il faut prendre dans le Triangle Arithmetique la base cinquiesme, sçavoir celle dont l'exposant, 5, est plus grand de l'unité que 4, exposant de l'ordre proposé ; Les cellules de cette cinquiesme base sont, 1, 4, 6, 4, 1. Dont il faut prendre le premier nombre, 1, pour coefficient de A au degré proposé, c'est à dire de A 4. ”

“ Lors que de plusieurs choses, on donne le choix d'un certain nombre, toutes les manieres d'en prendre autant qu'il est permis, entre toutes celles qui font presentées, s'appellent icy, les disserentes combinaisons. ”

“ J'y ay monstré aussi que le Triangle Arithmetique n'est autre chose que la table des ordres numeriques ; en suitte dequoy il est evident que toutes les proprietez qui ont esté données dans le Triangle Arithmetique entre les cellules ou entre les rangs, conviennent aux ordres numeriques ; De sorte que si peu qu'on ayt l'art d'appliquer les proprietez des uns aux autres, il n'y a point de proposition dans le traitté du Triangle qui n'ait ses consequences touchant les divers ordres. ”

“ Le 1. qui est evident de luy-mesme, que dans le premier triangle, cette égalité se trouve ; puisque la somme des cellules de son unique rang, sçavoir, G, ou l'unité, égale la somme des combinaisons de 1, exposant du rang, dans l'exposant du Triangle.
Le z. que s'il se trouue vn Triangle Arithmetique dans lequel cette proportion se rencontre, c'est à dire dans lequel quelque rang que l'on prenne, il arrive que la somme des cellules soit égale à la multitude des combinaisons de l'exposant du rang dans l'exposant du Triangle ; Je dis que le Triangle suivant aura la mesme proprieté. ”

“ Le premier principe qui fait connoistre de quelle forte on doit faire les partis, est celuy-cy.
Si un des joüeurs se trouve en telle condition, que quoy qu'il arrive, une certaine somme luy doit appartenir en cas de perte & de gain, sans que le hazard la luy puisse oster, il n'en doit faire aucun party, mais la prendre entiere comme asseurée, parce que le party deuant estre proportionné au hazard, puis qu'il n'y a nul hazard de perdre, il doit tout retirer sans party. ”

“ Chaque nombre de quelque cellule que ce soit, est composé d'autant de nombres qu'il y a d'ordres depuis le sien jusqu'au premier inclusivement, chacun desquels nombres est de chacun de ces ordres. Ainsi un triangulotriangulaire, est composé d'un autre triangulo-triangulaires, d'vn pyramidal, d'vn triangulaire, d'un naturel, & de l'unité. ”

“ En toutTriangle Arithmétique, la somme de tant de cellules continues qu'on voudra de sa base, à commencer par une extrémité, est égale à autant de cellules de la base precedente, plus encore à autant hormis une. ”

“ Estans proposez deux joueurs, qui jouent chacun une mesme somme en un certain nombre de parties donné ; Trouver dans le Triangle Arithmetique, la valeur de la premiere partie sur la mise du perdant.
Par exemple, que deux joueurs jouent chacun trois pistolles en quatre parties ; on demande la valeur de la premiere sur la mise du perdant. ”

“ Soient adjoustez ces deux nombres 2, & 4, & soit leur somme, 6, soit prise la sixiéme base du Triangle Arithmetique P dans laquelle il y a par consequent six cellules P, M, F, w, S. Soient prises autant de cellules à commencer par la premiere P. qu'il manque de parties au premier joueur, c'est à dire les deux premieres P. M ; donc il en reste autant que de parties à l'autre, c'est à dire 4. ”

“ Il en est de mesme s'il manque deux parties à l'un, & deux à l'autre ; & de mesme quelque nombre de parties qui manque à l'un s'il en manque autant à l'autre.
Troisiéme Cas.
Si à un des joueurs il manque une partie, & à l'autre deux, voicy l'art de trouver le party.
Considerons ce qui appartiendroit an premier joueur (à qui il ne manque qu'vne partie) en cas de gain de la partie qu'ils vont jouer, & puis ce qui luy appartiendroit en cas de perte. ”

“ Dont le generateur est l'Unité.
APres auoir donné les pròportions qui se rencontrent entre les cellules & les rangs des Triangles Arithmetiques, ie passe à divers usages de ceux dont le generateur est l'unités ; c'est ce qu'on verra dans les traictez suivans. Mais i'en laisse bien plus que ie n'en donne ; c'est une chose estrange combien il est fertile enproprietez chacun peut sy exercer ; l'avertis seulement icy, que dans toute la suite, ie n'entends parler que des Triangles Arithmetiques, dont le generateur est l'unité. ”

“ Le 2. que si vne base quelconque contient les partys de ceux ausquels il manque autant de parties qu'elle a de cellules, la base suivante sera de mesme, c'est à dire quelle contiendra aussi les partis des joueurs ausquels il manque autant de parties quelle a de cellules.
D'où ie conclus en un mot que toutes les bases du Triangle Arithmetique ont cette propriété, car la seconde l'a par le premier lemme, donc par le second lemme, la troisiesme l'a aussi, & par consequent la quatriesme, CT ausi à l'infiny : Ce qu'ìl falloit demonstrer. Il fut donc seulement demonstrer ces 2. lemmes. ”

“ Par le rapport qu'il y a, des cellules & des rangs du Triangle Arithmetique, aux combinaisons, il est aisé de voir que tout ce qui a esté prouvé des uns, convient aux autres suivant leur maniere ; C'est ce que je monstreray en peu de discours dans un petit traitté que j'ay fait Combinaisons. ”

“ La somme de chaque mise est D f B f ô, -donc la valeur de la derniere partiesur la seule mise du perdant est cette fraction
double de la precedente, laquelle a pour numerateur
numerateur & pour denominateur la somme des cellules de la quatriesme base.
Ce qu'il falloit demonstrer
Problesme 3. ”

“ Un nombre de quelque ordre que ce soit, estant multiplié par la racine precedente, & divisé par l'exposant de son ordre, donne pour quotient le nombre de l'ordre suivant qui procede de cette racine.
Les manieres de tourner une mesme chose sont infinies ”

“ En toutTriangle Arithmetique, deux cellules contigues estant dans une mesme base, la superieure est à l'inferieure, comme la multitude des cellules depuis la superieure iusques au haut de la base, à la multitude de celles, depuis l'inferieure jusques en bas inclusivement. ”

“ Iam sit 126, numerus ordinis sextì cuius radix est 5. Igitur ipse 126, multiplicatus per productum numerorum 1, 2, 3, 4, aequatur producto numerorum, 6, 7, 8, 9, ex tractatu de ord. numer. Sed productus ille numerorum 6, 7, 8, 9, est major quam numerus datus 58 multiplicatus per productum numerorum, 1, 2, 3, 4, ex ostensis. Igitur, numerus, 126, multiplicatus per productum numerorum, 1, 2, 3, 4, est major quam numerus datus 58 multiplicatus per eundem productum numerorum 1, 2, 3, 4 ”

“ Dato enim numero, cuius radix cujusuis gradus quaeritur verbi gratia quartì, quaeruntur quatuor numeri aequales quorum productus aequetur dato ; Siergo inueniantur expraecedente tractatu, quatuor continui quorum productus aequetur dato, quis non videt, iuventam este radicem quaesitam, cum ea sit vnus ex his quatuor continuis ; Minimus enim ex his quatuor, quater sumptus & toties multiplicatus manifestè minor est producto continuorum, maximus verò ex his quatuor, quater sumptus ac toties multiplicatus, manifestè major est producto continuorum ; Radix ergo quaesita unus ex illis est. ”

“ Mais comme c'est vne loy volontaire, ils la peuvent rompre de gré à gré, & ainsi en quelque terme que le jeu se trouve, ils peuvent le quitter, &c au contraire de ce qu'ils ont fait en y entrant renoncer à l'attente du hazard, & rentrer chacun en la proprieté de quelque chose ”

“ Car la premiere base est l'unité.
La seconde est double de la premiere, donc elle est 2.
La troisiesme est double de la seconde, donc elle est 4.
Ht ainsi à l'infiny.
Advertissement.
Si le generateur n'estoir pas l'unité, mais un autre nombre comme 3, la mesme chose seroit vraye ; mats il ne saudroìt par prendre les nombres de la progression double à commencer par l'unité, sçauoìr, I, 2, 4, 8, 16. &c. mais ceux d'vne autre progression double à commencer par le generateur 3, sçauoir, 3, 6, 12, 24, 48,
Consequence neufiesme. ”

“ Et sic generaliter omnis numerus semel tantum in aequali
aequali
Lemma 3.
1 in 1 combinatur, 1 combinatione 1 in 2 combinatur 2 combinationibus 1 in 3 combinatur 3 combinationibus. Et generaliter unitas in quouis numero toties combinatur quoties ipse continet unitatem. ”

“ Summa omnium combinationum quae fieri possunt in numero quolibet unitate aucta, est numerus progressionis duplae quae ab unitate sumit exordium, quippe ille cuius exponens est numerus proximè major quam datus.
Sit numerus quilibet v. g. 4. Dico summam omnium combinationum quae sieri possunt in 4 nempe 15 unitate auctam nempe &, esse numerum quìntum (nempe proximè majorem quam quartum) progressionis duplae quae ab unitate sumit exordium. ”