Triangle arithmétique

“ EUGÈNE. — Volontiers; comme tout triangle n'est toujours que la moitié d'un carré, qu'il soit équilatéral, obtusangle, isoscèle, scalène, rectangle, acutangle, la manière d'opérer pour en obtenir la surface est toujours la même, c'est-àdire qu'il faut toujours multiplier la hauteur par la base et la moitié du produit de cette multiplication sera la surface du triangle; ou si on aime mieux, on multiplie la base par la moitié de la
hauteur, et le produit de la multiplication de la base par la moitié de la hauteur sera la surface du triangle que l'on a mesuré. ”

“ Construire un triangle rectangle, connaissant un côté M de l 'angle droit et l'hypoténuse N (fig. 123) .
Je prends AB égal au côté donné M ; j'élève au point A sur AB une perpendiculaire indéfinie AD (n° 579) ; du point B, avec une ouverture de compas égale à l'hypoténuse N, je décris un arc de cercle qui coupe AD au point C ; je joins le point C au point B : le triangle ABC est le triangle rectangle demandé. ”

“ Un nombre de quelque ordre que ce soit, égale tous ceux tant de son ordre que de tous les precedens, dont la racine est moindre de l'unité que la sienne ; & partant le quatriéme des pyramidaux, par exemple, égale le troisième des pyramidaux, plus le troisiéme des triangulaires, plus le troisiéme des naturels, plus le troisiéme des unitez, c'est à dire l'unité. ”

“ On désigne un triangle par les trois lettres placées aux trois sommets : ainsi l'on dit le triangle ABC.
630. — Hauteur. La hauteur d'un triangle est la perpendiculaire CD (fig. 109) abaissée d'un des sommets du triangle sur le côté opposé AB, pris comme base.
Fig. 110, CD et la hauteur.
Dans certains cas (fig. 110) , la perpendiculaire CD tombe en dehors du triangle, sur le prolongement AE de la base ; cette perpendiculaire est encore la hauteur du triangle.
631. — La somme de trois angles d'un
triangle quelconque est égale à deux: angles droits ou 180°
Triangle Isocèle. ”

“ De même lorsque les trois angles sont égaux, le triangle est équilatéral; et réciproquement lorsque le triangle est équilatél'al, les trois angles sont égaux.
3° Dans un triangle scalène, comme ABC ( fig. 23 ) , ou la perpendiculaire BD tombe au-dedans du triangle, parce que chacun des deux angles à la base ADC, est
aigu, cette base AC est à la somme des deux côtés AB, BC, comme la différence des deux mêmes côtés est à la différence des deux segments AD, CD ”

“ Quelque chose de semblable se rencontre jusque dans les mathématiques, où la totalité nous est toujours déterminée moyennant un certain nombre des parties qui la composent, et cela non-seulement par le calcul ou par la construction, mais directement et en représentation même de la chose. Un triangle, par exemple, est achevé d'une manière visible, pour ainsi dire, sitôt que sa base et les deux angles adjacents sont tracés. ”

“ On démontrerait encore que les sciences mathématiques ne peuvent et ne doivent point s'appliquer aux arts, sous prétexte que le triangle idéal, exact, géométrique, n'existe pas in concreto, ou parce que l'effet expérimental contredit toujours la rigueur du calcul. ”

“ Puisque les médianes se coupent aux 2/3 de leur longueur (n° 447, ou G., n° 230) , les triangles AOB, BOC, COA, donnent: 2/3m+ 2f3 n > c 2⁄3 n + 2⁄3 P > a à 2hP +2/3m>k d'où 4/3 (m + n + p) > a + b + c
et, en multipliant par 3 et divisant par 4 : m + n+j9>3⁄4 (a + & + c) C. Q.F. D.
458. Théorème. Si, par le point de concours des bissectrices d'un triangle, on mène une parallèle à l'un des côtés, cette ligne égale la somme des segments déterminés sur les deux autres côtés, et compris entre les parallèles. ”

“ Ainsi, dans tous les cas, la question se réduit à démontrer que, lorsqu’un triangle, situé sur l’une des faces d’un angle dièdre a de plus sa base située sur son arête, l’aire de sa projection sur l’autre face est égale à l’aire du triangle, multipliée par le cosinus tabulaire de l’angle dièdre dont il s’agit. ”

“ Arithmétique ! algèbre ! géométrie ! trinité grandiose ! triangle lumineux ! Celui qui ne vous a pas connues est un insensé ! ”

“ Étant donnés deux nombres entiers, trouver deux triangles, desquels les aires soient en proportion de deux nombres donnés.
Il y a quatre règles pour soudre cette question en ce sens (2) .
6. Il y a des triangles dont les moindres côtés ne diffèrent jamais que de l'unité, comme 3, 4, 5; 20, 21, 29, lesquels se forment sur un des termes par règle infaillible à l'infini. Car il ne faut qu'ajouter le double de l'hypoténuse à la somme des deux autres côtés, et le tout, ajouté au moindre côté, fait le côté moindre du triangle requis. ”

“ Généralement parlant, le triangle sera déterminé, lorsque trois de ces quinze points seront donnés ; et on pourra se proposer de le construire : voici le tableau des problèmes réellement distincts, compris dans cet énoncé général.
Parmi ces 95 problèmes, il en est d’indéterminés ou de plus que déterminés ; il en est de première facilité ; mais il en est aussi quelques-uns d’assez piquans, à l’égard desquels nous prenons les mêmes engagemens qu’en l’endroit cité. ”

“ Lorsqu'un triangle a un côté invariable, ou bien un angle donné, et que les autres parties varient, le triangle isocèle donnera le maximum ou le minimum cherchés; car ce triangle est la limite commune de deux triangles égaux entre eux, ayant des positions symétriques par rapport à la perpendiculaire élevée au milieu de la base donnée, ou par rapport à la bissectrice de l'angle donné. ”

“ Théorème. Lorsque deux triangles rectangles sont semblables, le produit des hypoténuses est égal à la somme des produits des côtés homologues. (DOSTOR *, N. A. 1869, page 433.) Soient a, b, c les côtés d'un triangle; a', b', c' ceux du second. Si m est le rapport de similitude des côtés des deux triangles, on aura a' = am; b' = bm; c' = cm Or la relation à démontrer, c'est-à-dire aa' = bb' + cc' (1) peut se représenter par aam = bbm + ccm ou a2 = 62 + c2 égalité connue ; donc la relation (1) est démontrée. ”

“ Or, une chose qui ne peut être moindre qu'une autre, ni l'égaler, la surpasse nécessairement. Donc, l'angle A est plus grand que l'angle B.
164. On a souvent besoin dans les arts, de faire un triangle égal à un autre. Vous allez voir qu'il n'est pas nécessaire, pour cela, de connaître toutes les parties du triangle donné.
PROBLÈME : Tracer un triangle dont on connaît seulement les trois côtés A, B, C (P. VII, F. 9) . ”

“ Ainsi, lors même que nous nous aidons d’une image physique pour démontrer une propriété du triangle, nous ne devons voir dans cette image qu’un secours accessoire, un mode d’expression analogue à celui que nous offrent les signes de l’écriture : le triangle dont nous voulons, en réalité, parler, est celui qui existe dans notre esprit, et non celui qui est dessiné sur le sable ou sur le papyrus. ”

“ Déterminer un triangle dont on connaît deux côtés et l’angle opposé à l’un d’eux ? (lorsqu’il est possible et déterminé) a toujours deux solutions, en tant qu’on prend le mot inclinaison dans son acception générale, et qu’on se réserve de lever le doute si cette inclinaison est aiguë ou obtuse, d’après la relation des deux côtés qui fournit une raison déterminante pour lever ce doute. ”

“ Corollaire. Il est connu que, quelle que soit la situation du point dans l’intérieur du triangle équilatéral, on a toujours
d’où, en quarrant
mettant donc ici pour la somme des produits deux à deux sa valeur transposant et réduisant, on aura
c’est-à-dire, si, de l’un quelconque des points de la circonférence du cercle inscrit au triangle équilatéral, on abaisse des perpendiculaires sur ses trois côtés, la somme des carrés construits sur ces perpendiculaires sera constante et équivalente à la moitié du carré construit sur la hauteur du triangle. ”

“ Je dis que, si le triangle est le plus grand, parmi tous ceux de son espèce, qui puisse être circonscrit au système des trois cercles dont les centres sont ces cercles seront, à l’inverse, les plus petits de tous ceux qui, ayant leurs rayons dans le même rapport que les leurs, puissent être inscrits au triangle de manière que chacun d’eux touche les deux autres et un côté du triangle. ”

“ Un triangle, est isocèle lorsqu'il a deux bis-sectrices intérieures égales.
Soit la bissectrice AD = CE ; il faut prouver que l'angle A = C, ou que sa moitié CAD = ACE ; et comme les deux triangles CAD, ACE ont deux côtés respectivement égaux, il suffit de prouver que
* CD = AE.
Par les points D, E, menons des parallèles aux droites AE, AD ; on forme ainsi un parallélogramme :
Fig. 315. ”

“ Problème 612.
1703. A un cercle inscrire un triangle dont l'aire soit maxima. 1er Moyen. Il faut que le triangle soit équilatéral. En effet, soit un
triangle quelconque ABC. Par le point A, menons une parallèle à BC; si le triangle n'est pas isocèle, la droite AD sera une corde et non une tangente; donc le triangle OBC est plus grand que ABC.
Ainsi OB doit égaler OC.
Par un raisonnement analogue, on démontre que, par rapport à la base OB, il faut que OC = BC ; ainsi le triangle maximum est équilatéral. ”

“ Comme le triangle fait équilibre par rapport à Κ au segment, transporté au centre Θ (les distances de leurs centres de gravité au point fixe sont inversement proportionnelles à leurs aires) :
tr. ΑΖΓ/segm. ΑΒΓ = ΘΚ/ΚΧ = 3. D’autre part, le triangle ΓΑΖ est quadruple du triangle ΑΒΓ à cause de ΖΚ = ΚΑ, ΑΔ = ΔΓ ; donc finalement :
segm. ΑΒΓ/tr. ΑΒΓ = 4/3. [10] Ce qui précède ne constitue pas une démonstration (complète) [11] , mais suffit à donner à la conclusion une apparence de vérité. ”

“ En se servant d'un triangle équilatéral parfait en carton et en le faisant glisser sur une règle comme une équerre, on peut toujours tracer des parallèles sous un angle de 60o, cela peut toujours servir à construire des triangles parfaits de la grandeur qu'on voudra, puisqu'il suffira de tracer sur une ligne quelconque et à ses deux extrémités deux lignes sous un angle de 60' pour avoir un triangle parfait. ”

“ Nous montrerons aussi comment on a pu les introduire dans la trigonométrie , lorsqu'on remarquera que la résolution d'un triangle rectiligne, en général, se ramène à la résolution d'un triangle rectangle. N'aurait-on pas pu former une table dans laquelle on eût les valeurs des.
angles aigus, des côtés qui comprennent l'angle droit du
triangle rectangle, en imaginant que, l'hypoténuse étant constante , l'on fasse croître l'angle c qu'elle comprend depuis un arc zéro jusqu'à ce que les droites aient pour valeur 100°, c'est-à-dire qu'elles soient parallèles? ”

“ Enfin si l'angle A est aigu, la somme des racines de l'équation en c est positive, car cos A est positif èlles seront donc, toutes deux positives et par suite acceptables si leur produit b% a2 est positif, c'est-à-dire-si l'on a b > a tandis que- si ce produit est négatif, c'est-à-dire si l'on a a > b, l'une' seulement sera positive et il n'y aura qu'une solution. Lorsque A étant aigu, on a a b sin A, le radical s'annule et o prend une seule valeur b cos A qui est positive..Le triangle est alors rectangle. ”

“ Dans tout triangle circonscrit à une parabole, la droite qui joint le sommet au point de contact du côté opposé la parallèle au côté menée par le sommet qui lui est opposé, et enfin la parallèle menée au côté par le point de contact du côté se coupent toutes trois en un même point (fig. 16) .
Si l’on suppose (fig. 11) que le point sans quitter la courbe s’approche du point jusqu’à se confondre avec lui ; deviendra une tangente, le triangle se réduira à une corde, et l’on aura le théorème suivant :
THÉORÈME 17. ”

“ Circonscrivons au triangle DEF un triangle égal à ABC.
Sur DE décrivons un segment capable de l'angle B; sur DF, un segment capable de l'angle A; par le point D menons une sécante ab égale à AB (n° 139) .
Les triangles abc, ABC sont égaux, comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux; donc la figure de droite est semblable à celle qu'on demande. Prenons Ad = aD, etc., et def sera le triangle demandé.
Remarque. Dans bien des cas, on se borne à traiter le problème contraire; car de ce dernier on passe facilement à la question proposée. ”

“ Le triangle circonscrit ABC est minimum lorsque la base BC est divisée en deux parties égales par le sommet du parallélogramme.
350. Remarque. A toute question de maximum répond une question de minimum, et réciproquement ; on pourrait donc tirer de l'exemple ci-dessus la conclusion suivante : Théorème. Le parallélogramme APMQ, inscrit dans un triangle ABC, est maximum lorsque son sommet M est au milieu de la base. ”

“ Exercice.
266. Problème. Sur la base BC d'un triangle isocèle, on élève, en un point quelconque, une perpendiculaire PMN qui coupe les côtés BA, CA aux points M et N; la somme PM + PN est constante.
Que devient ce théorème pour un triangle quelconque?
Pour le triangle isocèle (fig. 159) , on a : PNI + PN = 2PO = 2AD.
Pour le triangle quelconque (fig. 160) , il faut que la droite MN soit parallèle à la médiane, car on aura : PM + PN = 2PO = 2AD; donc : Théorème. Dans un triangle quelconque, si l'on mène par un point quelconque de la base une
Fig. 159. ”

“ Si le triangle au lieu d’être tourné en sens inverse du triangle était tourné dans le même sens que lui, le problème serait impossible, puisque alors le point serait assujéti à se trouver à la fois dans les trois espaces déterminés par chaque côté du triangle et par les prolongemens des deux autres au-delà de celui-ci.
III. Quant au plus grand poids que la table puisse supporter, il est clair qu’il ne saurait surpasser la somme des résistances puisque, dans l’hypothèse contraire, l’une au moins de ses composantes surpasserait la résistance qui lui correspondrait. ”