Leibniz

“ Car au lieu de l’infini ou de l’infiniment petit, on prend des quantités aussi grandes et aussi petites qu'il faut pour que l’erreur soit moindre que l’erreur donnée, de sorte qu’on ne diffère du style d’Archimede que dans les expressions qui sont plus directes dans nostre Methode, et plus conformes à l’art d’inventer. ”

“ C’est peut-estre ce que vous entendés, Monsieur, en parlant de l’inépuisable, et c’est sans doute en cela que consiste la démonstration rigoureuse du calcul infinitesimal dont nous nous servons, et qui a cela de commode, qu’il donne directement et visiblement, et d’une maniéré propre à marquer la source de l’invention, ce que les anciens, comme Archimede, donnoient par circuit dans leur réductions ad absurdum, ne pouvant pas faute d’un tel calcul, parvenir à des vérités ou solutions embarassées, quoyqu’ils possédassent le fondement de l’invention. ”

“ J’ay souvent considéré qu’un Geometre, qui repondroit aux objections de Sextus Empiricus et à celles que François Suarez, auteur du livre quod nihil scitur, envoya à Clavius, ou à d’autres semblables, feroit quelque chose de plus utile qu’on ne s’imaginerait peut estre. C’est pourquoy nous n’avons point sujet de regretter la peine qu’il faut prendre pour justifier nostre Analyse, envers toute sorte d’esprits capables de l’entendre. ”

“ D’où il s’ensuit, que si quelcun n’admet point des lignes infinies et infiniment petites à la rigueur métaphysique et comme des choses reelles, il peut s’en servir seurement comme des notions ideales qui abrègent le raisonnement, semblables à ce qu’on appelle racines imaginaires dans l’analyse commune (comme par exemple — 2) , lesquelles toutes imaginaires qu’on les appelle, ne laissent pas d’estre utiles, et même necessaires à exprimer analytiquement des grandeurs reelles ”

“ Mais il faut considerer en même temps, que ces incomparables communs mêmes n’estant nullement fixes ou déterminés, et pouvant estre pris aussi petits qu’on veut dans nos raisonnemens Géométriques, font l’effect des infiniment petits rigoureux, puis qu’un adversaire voulant contredire à nostre enontiation, il s’ensuit par nostre calcul que l’erreur sera moindre qu’aucune erreur qu’il pourra assigner, estant en nostre pouvoir de prendre cet incomparablement petit, assez petit pour cela, d’autant qu’on peut tousjours prendre une grandeur aussi petite qu’on veut. ”

“ D’ou'j’ay conclu que dans le calcul différentiel, Infini, Indéfini, Inépuisable en grandeur, plus grand que quelque grandeur qu’on puisse assigner, ou Indéterminablement grand, ne signifient que la même chose, non plus que Infiniment ou Indéfiniment petit, plus petit que quelque grandeur qu’on puisse assigner, ou Indéterminablement petit. ”

“ Comme il n’y parle point de moy, et qu’il ne seroit pas possible de luy répondre sans parler de luy et même d’une maniéré qui ne manquerait pas de contrevenir au silence que nous a imposé l’Academie, je n’oserois publier le projet de Réponse [4] que voici ; je me suis contenté de le donner à M. le Marquis de l’Hospital pour aider à quelqu’un, lequel n’étant point de l’Academie aura plus de liberté que moy de repondre à M. Rolle. ”

“ Cependant il ne faut point s’imaginer que la science de l’infini est dégradée par cette explication et réduite à des fictions ; car il reste tousjours un infini syncategorematique, comme parle l’ecoîe, et il demeure vray par exemple que 2 est autant que 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 etc. ”

“ La France ne trouvera pas aisément une personne qui oonnoisse si bien les droits et affaires de l’Empire. Je voua supplie de m’envoyer un jour ce que l’auteur des loix civiles dans leur ordre naturel a fait sur le droit public, quoyque d’ailleurs il s’en faille beaucoup que sa manière de réduire le droit en art me satisfasse, et il y a longtemps que j’ay fabriqué une idée du droit tirée dès raisons naturelles qui est bien differente de la sienne. ”

“ Au moins n’y avoit il pas la moindre chose qui dût faire juger que j’entendois une quantité très petite à la vérité, mais tousjours fixe et déterminée. Au reste j’avois écrit il y a déjà quelques années à M. Bernoulli de Groningue que les infinis et infiniment petits pourraient estre pris pour des fictions, semblables aux racines imaginaires, sans que cela dût faire tort à nostre calcul, ces fictions estant utiles et fondées en réalité. ”

“ C’est pourquoy à fin d’eviter ces subtilités, j’ay cru que pour rendre le raisonnement sensible à tout le monde, il suffisoit d’expliquer icy l’infini par l’incomparable, c’est à dire de concevoir des quantités incomparablement plus grandes ou plus petites que les nostres ”

“ C’est dans les Actes de Leipzik et à l'insceu de M. vostre frere, que le P. Gouye a pris la methode des rayons osculateurs qui luy a servi de pretexte à mal parler du calcul différentiel. Le procès n’est pas encor jugé entre M. Rolle et moy, quelques poursuites que je passe pour cela. Voicy la première de mes réponses que vous me marqués souhaiter. J’en ay encor une sixième contenant encor plusieurs paralogismes de M. Rolle que je vous envoyeray une autrefois, c’est la derniere. ”

“ C’est enoore de la même façon qu’on conçoit des dimensions au delà de trois, et même des puissances dont les exposans ne sent pas des nombres ordinaires, le tout pour établir des idées propres à abréger les raisonnemenB et fondées en réalités. ”