Auguste Clarinval

“ On remarquera que la valeur moyenne de la prime de 100 fr. décroît rapidement lorsque le nombre d'annuités augmente : cela se comprend ; d'abord la fraction de l'emprunt (ou la fraction des obligations non amorties) remboursée chaque année est d'autant plus petite que le nombre d'annuités de l'emprunt (ou le nombre d'annuités restant à courir) est plus considérable; ensuite les promesses de remboursement ont une valeur d'autant plus faible que les échéances sont plus éloignées.
Dans une colonne quelconque, la valeur de la prime est d'autant moindre que le taux de l'escompte est plus élevé. ”

“ Qu'un petit capitaliste, porteur de quelques obligations, se dise que la valeur probable lui semble déjà un prix suffisant des espérances de remboursement qu'il conçoit, rien de mieux; c'est un moyen prudent de s'épargner des mécomptes. Qu'il n'accorde même aucune valeur aux chances aléatoires du remboursement ; ces appréciations toutes personnelles sont indiscutables, et résultent du tempérament de chacun : les uns n'espèrent rien, les autres espèrent beaucoup. ”

“ Le placement sur obligations présente de grandes conditions de sécurité, puisqu'il offre pour garanties, soit l'actif social d'une compagnie de chemins de fer, soit les revenus d'une ville, ou même ceux d'un État. De plus, il réunit à l'avantage d'un revenu fixe et assuré, la perspective d'un accroissement de capital provenant de la prime de remboursement. ”

“ La loi d'amortissement, véritable loi de mortalité des obligations, est donc celle-ci : Les nombres d obligations amorties chaque année sont entre eux dans un rapport constant, qui est le même pour toutes les obligations de même taux nominal. Il nous sera donc possible de comprendre toutes les obligations de même taux nominal dans un même calcul.
40 De la valeur moyenne d'une prime d'obligation remboursable par annuités.
Pour ramener la question à sa plus simple expression, nous supposons qu'un seul capitaliste souscrive toutes les obligations d'un emprunt. ”

“ Pour calculer le taux réel d'un emprunt par obligations avec lots, on remarquera qu'il faut tenir compte non-seulement de la valeur moyenne de la prime de remboursement, mais aussi de l'escompte des lots payés à chaque tirage. ”

“ Toutes les .entreprises publiques qui ont contracté des emprunts par obligations, ont adopté, pour l'amortissement de leur dette, le principe des annuités constantes, présentant l'avantage d'une égale répartition des charges d'un emprunt sur chacune des années de l'amortissement. ”

“ Ce qui veut dire qu'à un taux égal au taux nominal, il n'y a aucun avantage à attendre du remboursement.
Le jour donc où on ne pourra plus placer son argent à un taux supérieur à 3 p. 100, toutes les obligations 3 p. 100 vaudront 500 fr., et par le fait même de l'abondance des capitaux, ou de la baisse de leur loyer, il n'y aura plus de bénéfice à recueillir de l'amortissement. ”

“ On calculera facilement une semblable progression ; mais on comprend que les termes donnés par le calcul seront la plupart du temps des nombres fractionnaires : or, comme il y a nécessité ici de n'amortir que des nombres entiers d'obligations, on cherchera une succession de termes qui s'éloigne aussi peu que possible de la progression calculée, en ayant soin surtout, que la somme de ces termes soit précisément égale au nombre d'obligations de l'emprunt.
Ces légers écarts seront la cause de la non-égalité parfaite entre les annuités ”

“ Dans un amortissement par annuités, on rembourse la dernière année toutes les obligations qui ne sont pas sorties au dernier tirage (celui qui a eu lieu l'année précédente) . Il n'y a donc plus de chances aléatoires; chaque titre, au contraire, devant être remboursé, devient un véritable billet à ordre qui, la veille du payement, vaut la somme à toucher le lendemain. Donc, la prime de 100 fr. la veille du remboursement de la dernière annuité vaut lOO'fr. Tous les nombres de la colonne (n = 1) sont donc égaux entre eux, quel que soit le taux de l'escompte, et égaux à 100 fr. ”

“ Dans les applications du calcul des probabilités, on entend par Espérance mathématique le produit de la somme à gagner, par la probabilité de l'obtenir. Si donc, une somme de 100 fr., est mise en jeu, et qu'un joueur n'ait pour lui qu'une chance de gain sur cent, sa mise, pour que le jeu soit équitable, ne devra être que le centième de 100 fr. ”

“ Supposons qu'il s'agisse d'une obligation produisant 15 fr. d'intérêt et remboursable à 500 fr. dans un délai de 99 années; celui qui la paye 300 fr. a donc un intérêt de 5 p. 100 de son capital, de plus, il court la chance d'être remboursé à 500 fr. dans un aveuir prochain, c'est - à - dire de toucher une prime de 200 fr. Indépendamment
du revenu fixe de son capital d'achat, il a donc un véritable billet de loterie de 200 fr., billet appelé à sortir de l'urne à l'un ou à l'autre des 99 tirages de l'amortissement. ”

“ L'importance de la déception variera avec le taux de l'escompte, puisqu'elle est la différence entre des quantités (les valeurs moyennes de la prime de la veille et du lendemain du tirage) variant elles-mêmes avec le taux.
La table V met en évidence l'influence du taux sur la déception d'une prime de 100 fr. ”

“ Pour ce capitaliste rien n'est livré au hasard, les chances de la loterie se changent en certitudes; tous les ans, il lui sera remboursé un nombre déterminé d'obligations à un prix supérieur au prix d'émission. Cette espérance des remboursements annuels constitue un bénéfice qui, comme toute promesse de payement, peut s'escompter, c'est-à-dire être ramené à sa valeur actuelle. Si donc on escompte à un taux donné la somme à recevoir en prime dans un an, la somme à recevoir
(*) Voir la note II, p. ”

“ Trouver la valeur moyenne d'une prime de 100 fr., d'une obligation 3 p. 100, escomptée la veille du tirage à un taux donné, lorsque l'obligation est remboursable en n annuités ou, ce qui revient au même, lorsqu'il reste n annuités pour le complet amortissement de l'emprunt dont elle fait partie. ”

“ La compagnie de l'Ebt est la seule qui se soit placée en dehors de
ces traditions, en émettant des obligations remboursables à 650 fr. dont le revenu annuel est de 25 fr. ; leur taux nominal est
Plusieurs obligations de ces deux dernières catégories ont été improprement désignées sous la dénomination d'obligations 5 p. 100. Cela tient à ce que les compagnies comptaient la prime en dehors du capital nominal ; pour elles, l'obligation était créée au capital nominal de 1000 fr. par exemple, rapportant 5 p. 100, soit 50 fr. d'intérêt, et remboursable à 1250 fr., dont 250 francs de prime. ”

“ A cette modification toujours minime de la valeur du titre converti, pourra s'en ajouter une autre non moins petite; c'est celle qui résultera d'un fractionnement différent des arrérages pour les deux titres mis en présence (le revenu annuel pouvant être payé par semestre, par trimestre ou en une seule fois) . ”

“ Et l'escompte de la prime P, lorsque le premier tirage n'a lieu que dans m années,' est l'escompte de x payable au bout de ce temps ou (**)
PREMIÈRE REMARQUE : La valeur moyenne est indépendante [du nombre d'obligations. —
Les équations [7] et [8] donnent en effet pour x et x', des valeurs qui sont indépendantes de.N. Les valeurs de x et x sont donc fonction seulement du taux de l'escompte et des limites de l'amortissement. ”