L'intuition et l'automate, une tension au cœur de la découverte mathématique

“ Plus que les autres sciences, les mathématiques exigent de ceux qui sont appelés à augmenter par de nouvelles conquêtes le domaine du savoir, une imagination puissante. La clarté de la pensée n’a jamais, à elle seule, fait de découvertes. La meilleure œuvre du mathématicien est de l’art, un art élevé, parfait, hardi comme les rêves les plus secrets de l’imagination, clair et limpide comme la pensée abstraite [9] . ”

“ Que l’esprit du mathématicien ressemble peu à celui du physicien ou à celui du naturaliste, tout le monde en conviendra ; mais les mathématiciens eux-mêmes ne se ressemblent pas entre eux ; les uns ne connaissent que l’implacable logique, les autres font appel à l’intuition et voient en elle la source unique de la découverte. Et ce serait là une raison de défiance. À des esprits si dissemblables, les théorèmes mathématiques eux-mêmes pourront-ils apparaître sous le même jour ? La vérité qui n’est pas la même pour tous est-elle la vérité ? ”

“ Les autres, enfin, posséderont à un plus ou moins haut degré l’intuition spéciale dont je viens de parler, et alors non seulement ils pourront comprendre les Mathématiques, quand même leur mémoire n’aurait rien d’extraordinaire, mais ils pourront devenir créateurs et chercher à inventer avec plus ou moins de succès, suivant que cette intuition est chez eux plus ou moins développée.
Qu’est-ce, en effet, que l’invention mathématique ? Elle ne consiste pas à faire de nouvelles combinaisons avec des êtres mathématiques déjà connus. Cela, n’importe qui pourrait le faire ”

“ Car il est clair que si nous restons dans le domaine de l’Analyse pure, le succès ne peut plus se manifester comme en physique par une plus ou moins grande conformité de la théorie avec les données de l’expérience.
En fait, le mathématicien ne connaît aucun principe, aucun critère objectif qui lui permette de décider si une théorie vaut ou non la peine qu’il dépense pour la construire. Force lui est, pour diriger son activité, de s’en rapporter à son flair, de s’abandonner à son inspiration espérant qu’elle lui suggérera des aperçus nouveaux. ”

“ Ce qui se passe dans l’esprit de celui qui étudie les mathématiques n’est que l’image de ce qui s’est passé dans la création et dans l’organisation de la science ; dans ce long travail, la rigueur déductive n’a pas été seule à jouer un rôle. On peut raisonner fort bien et fort longtemps sans avancer d’un pas, et la rigueur n’empêche pas un raisonnement d’être inutile. Même en mathématiques, c’est souvent par des chemins peu sûrs que l’on va à la découverte. ”

“ Vos principes de géométrie, vos formules algébriques contiennent une portion de la vérité et l'expriment dans la langue qui leur est propre. Quand un de ces pionniers du travail mathématique est parvenu à faire une nouvelle trouée dans le champ des abstractions, c'est qu'il a regardé plus loin que ses devanciers, c'est qu'il a reconnu des espaces qui n'avaient point encore été franchis ; il ne crée pas, mais il découvre ; et la réalité la plus sérieuse n'est point celle qu'atteignent ses sens; c'est celle qu'entrevoit son esprit, dans la sérénité de ces hauteurs où la science le place. ”

“ Mais c'est peut-être à l'égard des mathématiques que le fait intellectuel de l'invention semble plus mystérieux, car la série de ces transitions, où l'on reconnaîtrait la voie réellement suivie dans la recherche, le plus souvent n'apparaît pas d'une manière sensible dans la démonstration. Cette facilité d'isoler ainsi la preuve et d'ajouter à la concision du raisonnement, sans rien lui ôter de sa rigueur et de sa clarté, explique toute la difficulté de l'analyse des méthodes en mathématiques. ”

“ Les mathématiques progressent donc par créations totales ou par généralisations, et toujours le géomètre devine d’abord, puis cherche à prouver ; plus il a de génie, et plus rarement ses prévisions sont en défaut.
L’intuition a toujours le rôle de devancière ; elle est aux avant-postes. Ceci est vrai pour toute science ; mais de même que la théorie mathématique est plus artistique, de même l’intuition du géomètre est plus artistique que toute autre, et nous l’allons montrer. ”

“ Je vois chez les modernes un algorithme tout-à-fait inconnu aux anciens ; mais j’aperçois en même temps que cet algorithme ne présente qu’une traduction abrégée de la manière de raisonner et de découvrir la vérité que Platon avait enseignée à ceux-ci, et que son principal avantage est seulement de réduire le raisonnement à des procédés sûrs et purement mécaniques ; ce qui a permis à un plus grand nombre d’hommes de s’occuper des spéculations mathématiques, d’en perfectionner l’instrument, et de les pousser plus avant ”

“ Et, comme nous ne saurions nous promettre d’avoir toujours l’esprit convenablement disposé au moment même où nous avons besoin de résoudre un problème, le plus grand service que puissent nous rendre les sciences est de nous faire devenir machines par rapport à la plupart des objets dont nous avons à nous occuper ; d’autant que, comme l’a dit un écrivain philosophe, les machines ont sur l’intelligence le précieux avantage de n’éprouver ni distraction ni lassitude. ”

“ L’apport subjectif contenu dans nos perceptions non seulement déforme la réalité, mais est impuissante à la comprendre. Il n’y a cependant pas arrêt dans le progrès, la progression. Voici que surgit un nouvel instrument, la mathématique. Elle est créée par l’homme comme une véritable machine intellectuelle amplifiant l’effort de la pensée et capable de faire pour elle ce qu’elle même ne saurait accomplir. ”

“ Les enfants n'apprennent la langue de leurs pères, que parce qu'ils en sentent de bonne heure l'analogie : ils se conduisent naturellement d'après cette méthode, qui est bien plus à leur portée que toutes les autres. Faisons comme eux, instruisons-nous d'après l'analogie, et toutes les sciences nous deviendront aussi faciles qu'elles peuvent l'être. Car enfin l'homme qui paraît le moins propre aux sciences est au moins capable d'apprendre des langues. Or, une science bien traitée n'est qu'une langue bien faite.
Les mathématiques sont une science bien traitée, dont la langue est l'algèbre. ”

“ Un problème scolaire d’arithmétique, traité par l’algèbre, donnera assez l’idée de cette machine à calculer, qui réduit le travail de l’entendement à reconnaître la disposition des symboles sur le papier, et à ne la point changer témérairement, par exemple à changer le signe, s’il transporte un terme d’un membre à l’autre. ”

“ Le système algorithmique de l’algèbre s’applique à des notions plus élevées ; c’est une machine plus puissante, plus riche en effets variés, en résultats inattendus. Elle décide des questions devant lesquelles l’arithmétique s’arrête, analysée. Le calcul différentiel et intégral vient à son tour avec ses méthodes plus efficaces encore prêter au géomètre une force considérable. Et à mesure que la machine se perfectionne, elle peut exécuter des ouvrages de plus en plus difficiles, de plus en plus compliqués, de plus en plus délicats.
II. De l’utilité de l’algorithmie logique. ”

“ Mais cet algorithme est d'une haute importance, il est pour la méthode d'exhaustion ce qu'est l'algèbre ordinaire pour la pure synthèse ; les anciens ne connaissaient que la synthèse et la méthode d'exhaustion, qui n'est elle même qu'une branche de la synthèse : les modernes en imaginant l'algèbre ordinaire et l'algorithme infinitésimal, se sont procuré des avantages immenses.
C'est un instrument avec lequel ils abrègent et
facilitent le travail de l'esprit, en le réduisant pour ainsi dire en travail mécanique. ”

“ Inversement, quelque rompu qu’il soit au mécanisme de son art, le mathématicien ne voit pas toujours clairement quels sont les problèmes auxquels il doit appliquer cet art. De là vient qu’aujourd’hui ce n’est pas nécessairement le même homme qui est, en mathématiques, un inventeur original et un habile technicien ; les qualités qui font de l’un un novateur perspicace, apte à la découverte, et de l’autre un maître de la démonstration, ont cessé, semble-t-il, d’être les mêmes.
En d’autres termes, un dualisme se manifeste au sein des Mathématiques pures. ”

“ Il va de soi que les mathématiques supérieures ne sont pas un pur produit de l’automatisme, et que la pensée et même le génie ont eu part et ont part à leur élaboration ; il en résulte un extraordinaire mélange d’opérations aveugles avec des éclairs de pensée ; mais là où la pensée ne domine pas tout, elle joue nécessairement un rôle subordonné. Et plus le progrès de la science accumule les combinaisons toutes faites de signes, plus la pensée est écrasée, impuissante à faire l’inventaire des notions qu’elle manie. ”

“ OPINIONS AMÈRES L’enseignement mathématique fait l’homme machine et dégrade la pensée. L’âme d’un peuple n’est pas ce chiffre muet et mort à l’aide duquel il compte des quantités et mesure des étendues : la toise et le compas en font autant. ”

“ Nous voyons comment ces vues achèvent de ruiner la conception classique de la science.
Pour ceux qui les adoptent, en effet, la Mathématique cesse d’être une science objective et les notions qu’elle étudie n’ont plus de valeur par elles-mêmes. Désormais on ne doit plus voir dans l’algèbre ou dans la démonstration géométrique qu’une méthode qui réussit. Les propriétés mathématiques ne sont ni vraies, ni fausses, ni belles ou intéressantes ; elles sont seulement conformes aux définitions et aux axiomes, aux hypothèses d’où elles résultent. ”

“ Si l’on prétend qu’il ne faut pas appliquer la géométrie à tout, on a raison, mais si l’on croit que la méthode des géomètres n’est pas applicable à tout, on se trompe. Même quand on ne doit pas l’employer, il ne faut jamais la perdre de vue, — c’est la boussole d’un bon esprit, c’est le frein de l’imagination... Si les mots usuels étaient aussi bien définis dans les langues que les mots angles et carrés, il resterait peu d’erreurs et de disputes entre les hommes. C’est à ce point de perfection que tout travail sur la langue doit tendre. ”

“ Quand une question physique a été soumise au calcul mathématique, la nature, docile à la voix de l’homme, vient sanctionner les oracles de la science, et l’on ne peut douter que « le type de l’être ait une réalité absolue, lorsqu’on voit la langue du calcul faire jaillir d’une seule réalité dont elle s’est emparée, toutes les réalités liées à la première par une erreur commune ».
C’est par l’emploi de la langue parfaite, mais bornée des mathématiques, que Sophie Germain espère « l’abolition des idées systématiques et la conquête des régions qui en furent longtemps le domaine ». ”

“ Sans doute, il ne faut pas à tout propos mettre la philosophie en réquisition et tirer l’antinomie de son écrin pour élucider des questions d’art ; mais vouloir absolument avoir raison de tout art à l’aide de la mathématique, c’est substituer un moyen mécanique à l’inspiration et le croire suffisant. ”

“ Le but principal de l'enseignement mathématique est de développer certaines facultés de l'esprit et parmi elles l'intuition n'est pas la moins précieuse. C'est par elle que le monde mathématique reste en contact avec le monde réel et quand les mathématiques pures pourraient s'en passer, il faudrait toujours y avoir recours pour combler l'abîme qui sépare le symbole de la réalité. ”

“ En géométrie, comme en algèbre, la plupart des idées différentes ne sont que des transformations; les (p. 40) plus lumineuses et les plus fécondes sont pour nous celles qui font le mieux image et que l'esprit combine avec le plus de facilité dans le discours et dans le calcul.
Le calcul n'est qu'un instrument qui ne produit rien par lui-même, et qui ne rend en quelque sorte que les idées qu'on lui confie. ”

“ La mathématique peur fournir et fournit à cette réflexion une matière d'autant plus précieuse qu'elle est plus élaborée par l'esprit, mais logique et mathématique ne se confondent point pour cela. Il y a même un risque sérieux pour le logicien à imiter de façon servile les méthodes de l'algébriste, à s'abandonner de façon unilatérale à la pente des automatismes du calcul logique, sans un effort constant pour les confronter avec cette expérience de signification logique que nous avons essayé de décrire. ”

“ On sait combien les opérations de l'Arithmétique sont nécessaires, non-feulement dans le commerce le plus ordinaire de la société, mais encore dans toutes les applications qu'on peut faire des Mathématiques à la Physique & aux Arts, puisqu'en derniere analyse, les relations des quantités qui entrent dans un problême, doivent toujours être exprimées en nombres. Mais quand les méthodes pour exécuter les calculs numériques, sont une fois trouvées, l'usage monotone & prolixe de ces méthodes fatigue très-souvent l'attention, fans attacher l'esprit. ”

“ Aucun théorème ne devrait être nouveau si dans sa démonstration n’intervenait un axiome nouveau ; le raisonnement ne pourrait nous rendre que les vérités immédiatement évidentes empruntées à l’intuition directe ; il ne serait plus qu’un intermédiaire parasite et dès lors n’aurait-on pas lieu de se demander si tout l’appareil syllogistique ne sert pas uniquement à dissimuler notre emprunt ?
La contradiction nous frappera encore davantage si nous ouvrons un livre quelconque de mathématiques ”

“ Pas plus que ces machines, le mathématicien n’a besoin de comprendre ce qu’il fait.
Ce caractère formel de sa géométrie, je n’en fais pas un reproche à Hilbert. C’était là qu’il devait tendre, étant donné le problème qu’il se posait. Il voulait réduire au minimum le nombre des axiomes fondamentaux de la géométrie et en faire l’énumération complète ; or dans les raisonnements où notre esprit reste actif, dans ceux où l’intuition joue encore un rôle, dans les raisonnements vivants, pour ainsi dire, il est difficile de ne pas introduire un axiome ou un postulat qui passe inaperçu. ”

“ Et puis la correction logique des raisonnements qui mènent des axiomes aux théorèmes n’est pas la seule chose dont nous devions nous préoccuper. Les règles de la parfaite logique sont-elles toute la mathématique ? Autant dire que tout l’art du joueur d’échecs se réduit aux règles de la marche des pièces. Parmi toutes les constructions que l’on peut combiner avec les matériaux fournis par la logique, il faut faire un choix ”