Pierre-Louis Lagrange

“ Lagrange, le plus sage, et peut-être le seul philosophe vraiment pratique qui ait jamais existé, recommandable par son imperturbable sagesse, ses mœurs, sa conduite de tout genre, en un mot l’objet du plus tendre respect du petit nombre d’hommes dont il se laisse approcher, Lagrange est mécontent, tout le convie à se retirer d’un pays ou rien n’absout du crime d’être étranger, et où il ne supportera pas de n’être pour ainsi dire qu’un objet de tolérance... ”

“ D'où il suit que les fonctions dérivées de l'ordre nième et des ordres suivants deviendront infinies lorsque x = a.
Dans ce cas donc, si n est l'indice de l'ordre de la première fonction qui devient infinie, le développement de f (x+i) devra contenir un terme de forme im, m étant un nombre compris entre n i et n. Si n = o, .,c'est-à-dire si la fonction f (.x) devient elle-même infinie, ce développement contiendra alors des puissances de i.
On doit appliquer aux logarithmes ce qu'on vient de démontrer sur les puissances fractionnaires de i ”

“ II (u) =y—Φ (u) et dy=II (u) dx,
II (u) et Φ (u) étant des fonctions données d'une variable u qu'il s'agissait d'éliminer.
L'élimination étant impossible en général, il eut l'idée heureuse de différentier la première et d'y substituer la valeur de cly, tirée de la seconde on a ainsi cette équation
[II (u) — (x—u) II' (u) —Φ (u) ] dn=o,
d'où l'on déduit deux valeurs de M, l'une donnée par l'équation II (u) (x il) II' (u) —Φ' (u) = o,
l'autre par l'équation
du = o,
laquelle donne, par l'intégration,
u=a,
a étant une constante arbitraire. ”

“ Cependant, si dans l'équation y=f (x) on fait disparaître ce même radical par l'élévation aux puissances, et que l'équation résultante soit représentée par
l'équation dérivée de celle-ci donnera
comme on l'a vu dans la Leçon VI; donc cette expression sera en défaut, dans le cas où l'on donnerait à x la valeur en question, ce qui ne peut avoir lieu qu'autant que les quantités F' (x) et F' (y) seront, l'une et l'autre, nulles à la fois. Ainsi, dans le cas dont il s'agit, l'expression dey' deviendra égale à zéro divisé par zéro ”

“ Au reste, en faisant
b = o,
l'expression
devient une valeur singulière; car, en prenant les fonctions dérivées relatives à a dans l'équation primitive
Ainsi on peut regarder aussi la seconde expression de y comme une valeur singulière du terme général; mais, comme elle conserve la constante b tant que les différences à sont finies, il est clair qu'elle a la même généralité que la première, en sorte qu'on peut supposer que la valeur de y soit donnée lorsque x = o, ce qui n'a pas lieu pour les valeurs singulières des équations primitives ordinaires. ”

“ Supposant, avec Leibnitz, que l'équation entre a et b soit celle de la parabole
k étant une constante, l'équation en x, y et a sera
y2+x2—2ax+a2—ak=o.
Faisant varier a seul, suivant la notation du Calcul différentiel, on a
pour la courbe cherchée, qu'on voit être aussi une parabole. On peut s'assurer a posteriori que cette courbe résout le problème. En effet, on sait que, y étant l'ordonnée qu'on regarde comme fonction de l'abscisse x, la fonction prime y' exprime le rapport de l'ordonnée à la sous-tangente, lequel est le même que celui de la sous-normale à l'ordonnée ”

“ Alors il faudra, par le moyen de ces relations, réduire les variations ẏ, y', y", dans les deux limites au plus petit nombre possible, et égaler à zéro les coefficients de celles qui demeureront indéterminées. L'équation générale
N — P' + Q" — = o,
que nous venons de trouver pour le maximum ou minimum de la fonction primitive de V, est, comme l'on voit, la même que celle que nous avons trouvée dans la Leçon précédente pour l'existence de cette fonction, indépendamment d'aucune relation entre les variables. ”

“ Il est clair que, pourvu que x + i ne soit pas égal à zéro, la quantité fμ (x+i) ne sera jamais infinie, et que sa plus grande valeur et sa plus petite, relativement à i, répondront à i = o et à i. On aura donc, par la formule générale, ces deux limites, pour la valeur de l (x+i) ,
où l'on pourra mettre à la place de i une valeur quelconque plus grande dans le dénominateur (x + i) μ. ”

“ Or, si l'on fait
et qu'on détermine a en fonction de x, y, z, de manière que les deux équations dérivées restent les mêmes que si a ne variait pas, ce qui donne l'équation primitive générale, il est visible que cette équation représentera une surface tout à fait différente, mais qui aura, en chaque point, le même plan tangent que si la quantité a demeurait constante, puisque les expressions des quantités (z' x') et (z' y') restent les mêmes. ”

“ C’est l’objet que se propose M. Lagrange ; il analyse les méthodes connues, en démontre l’incertitude et l’insuffisance ; il réduit le problème à la détermination d’une quantité plus petite que la plus petite différence entre les racines. C’est beaucoup. On ne peut trop admirer la science analytique qui brille partout dans cet Ouvrage ; mais, malgré toutes les ressources du génie de Lagrange, on ne peut se dissimuler que le travail ne soit encore bien long, et les calculateurs continueront sans doute de donner la préférence à des moyens moins directs et plus expéditifs. ”

“ Ainsi les principes du Calcul différentiel sont en défaut dans ce cas.
Suivant le principe que nous venons d'établir, la valeur de y ne sera nécessairement positive qu'autant que la fonction dérivée dy ne sera pas infinie dans l'étendue de la valeur de z. Or, étant égale à i, a 1." Z) - elle devient infinie lorsque z= a. Donc les valeurs de y seront nécessairement positives depuis z= o jusqu'à z= a; mais elles pourront ne pas l'être lorsque z>a, quoique les fonctions dérivées (a-z) 2 soient toujours positives. ”

“ La comparaison des autres termes donnera les valeurs de f" ( x) , f"' (x) , mais il est plus simple de les déduire successivement de celle de f' (x) .
La constante c dépend de la base a du système logarithmique, par les mêmes formules que nous avons trouvées plus haut: relativement, aux logarithmes, elle s'appelle le module du système logarithmique. De là résulte cette règle générale, que la fonction dérivée du loga-
rithme d'une variable est égale à l'unité divisée par celle variable multipliée par le module du système logarithmique. ”

“ On y voit enfin sa nouvelle Théorie des variations des constantes arbitraires du mouvement des planètes, qui avait paru avec tant d’éclat dans les Mémoires de l’Institut, où elle avait prouvé que l’Auteur, à l’âge de plus de soixante-quinze ans, n’était pas descendu du haut rang qu’il occupait depuis si longtemps, de l’aveu de tous les Géomètres.
Partout dans ses écrits, quand il rapporte un théorème important, il en fait hommage au premier Auteur.
Quand il rectifie les idées de ses prédécesseurs ou de ses contemporains, c’est avec tous les égards dus au génie ”

“ Pour en déduire l'équation primitive générale, on fera
b=φ (a) ,
et l'on prendra les fonctions dérivées par rapport à a seul; on aura les deux équations
z = ax + y φ (a) , x + y φ' (a) = o,
d'où il faudra éliminer a; comme la fonction o (a) est arbitraire, on peut, en lui donnant différentes formes, en déduire une infinité d'équations primitives complètes différentes, avec deux constantes arbitraires. Soit, par exemple,
qui est l'autre forme d'équation primitive que nous avions trouvée.
On pourra, de la même manière, en trouver tant d'autres qu'on voudra ”

“ Si donc on introduit entre les quatre variables t, x, y, z les relations déterminées par les trois équations
x' — t'L = o, y' — t'M = o, z' — t'N = o,
la fonction dérivée F' (t,x,y,z) deviendra nulle; par conséquent la fonction primitive F (t, x, y,z) ne pourra contenir que des constantes. Or les trois équations dont il s'agit, étant du premier ordre, auront trois équations primitives qui contiendront trois constantes arbitraires a, b, c, et par lesquelles trois des variables t, x, y, z pourront être
déterminées en fonction de la quatrième. ”

“ Ainsi le terme Mz" se changera en (Mz) ' — M',z, le terme Nz'' se changera en (Nz) ''— N,'z, et ainsi des autres, en conservant la position des virgules qui séparent les traits relatifs aux variables x et y. De cette manière on aura la transformée
On voit d'abord ici qu'il est impossible que la double fonction primitive de V devienne nulle, quelle que soit la variation z, à moins que les termes affectés simplement de z ne disparaissent; ce qui donne d'abord l'équation générale du maximum ou minimum
L-M'N',+P",+Q"+R'"+. = o. ”

“ La raison en est que, dans le passage supposé du fini à l'infiniment petit, les fonctions changent réellement de nature, et que le — qu'on emploie dans le Calcul différentiel, est essentiellement une fonction différente de la fonction y, tandis que tant que la différence dx a une valeur quelconque, aussi petite qu'on voudra, cette quantité n'est que la différence de deux fonctions de la même forme ”

“ Donc, en général, comme l’origine des est arbitraire, et qu’on peut prendre également positif ou négatif, il s’ensuit que si la quantité
est une différentielle exacte dans un instant quelconque, elle devra l’être pour tous les autres instants. Par conséquent, s’il y a un seul instant dans lequel elle ne soit pas une différentielle exacte, elle ne pourra jamais l’être pendant tout le mouvement ; car si elle l’était dans un autre instant quelconque, elle devrait l’être aussi dans le premier. ”

“ Si l'on prend l'équation dérivée relativement à a, on a
d'où l'on tire
a-y,
valeur qui, étant substituée dans la même équation, donne celle-ci x2—y'2=0, d'où y'=±x.
Cette valeur de y' satisfait aussi à l'équation proposée; màis c'est une valeur singulière, puisqu'elle n'est pas contenue dans l'équation primitive. ”

“ Si y est une fonction quelconque de x, et qu'on dénote par yo, y0', y0", y0' les valeurs de y et de ses fonctions dérivées y', y", y' qui répondent à x = o et qui sont par conséquent constantes, on aura, par ce que nous avons démontré à la fin de la Leçon IX,
et, si l'on veut arrêter la série au terme nieme, alors on aura les limites du reste, en substituant dans le terme suivant
à la place de y0 (n) , la plus grande et la plus petite valeur de y (n) depuis x = o jusqu'à la grandeur qu'on veut attribuer à x. ”

“ Pour que cette équation puisse être identique, il faut que le second terme ne contienne pas de fonctions dérivées de y plus hautes que le premier terme/' (y) ; or celui-ci ne peut contenir que la fonction y'; donc il faudra que l'expression f' (y') , dont la fonction dérivée forme le second terme, ne contienne pas y', autrement il entreraity" dans le second terme. Il suit de là que la fonction proposée ne peut être que de la forme
En la représentant par f (x, y, y') , et prenant les dérivées relatives à y et à y', on aura
.f' (y) = 1f' () ") + y' φ' (y) , f' (y') φ (x,y) . ”

“ Cette équation est, comme l'on voit, la même que celle qu'on trouverait pour le maximum ou minimum absolu de la formule f Z dx + a S Y dx, en ne faisant varier qu'une seule ordonnée. Si la même formule S Z dx ne devait être un maximum ou un minimum que dans une des courbes dans lesquelles deux autres formules f Y dx et Z X dx conservent les mêmes valeurs, on aurait alors le cas où il faut faire varier trois ordonnées successives, et où il faudra égaler
séparément à zéro les valeurs différentielles des trois formules dont il s'agit. ”

“ Supposons en second lieu que la même valeur de x, qui fait disparaître un radical dans f (x) , le fasse disparaître aussi dans f' (x) , sans le faire disparaître néanmoins dans (x) ; alors les valeurs correspondantes de f (x) et f' (x) seront en même nombre, mais celles de f" (x) seront en nombre plus grand. Si donc on fait évanouir ce radical dans l'équation y=f (x) , la valeur de y" qu'on en déduira se trouvera ô, et il faudra passer aux équations dérivées d'un ordre supérieur pour avoir la valeur de y". ”

“ Le livre n’avait pas encore paru quand l’Auteur vint s’établir à Paris. Plusieurs causes l’y déterminèrent ; mais il ne faut pas croire à toutes celles qu’on a alléguées.
La mort de Frédéric avait amené de grands changements en Prusse, et pouvait en faire craindre de plus grands encore ; les savants n’y trouvaient plus la même considération. Il était assez naturel que M. Lagrange sentit de nouveau ce désir qui l’avait autrefois conduit à Paris ; ces causes, avec la publication de sa Mécanique, étaient bien suffisantes ”

“ Suivant ce théorème, si l'on a une équation quelconque de la forme u — x + f (x) = 0,
où x est l'inconnue, la formulé
n'étant continuée que tant qu'il y aura des puissances négatives de u, donne la somme de toutes les racines élevées chacune à la puissance m mais, étant continuée à l'infini, elle ne donne que la même puissance de la plus petite des racines. Les quantités f2 (u) , /3 (u) . sont le carré, le cube, etc. de f (u) ; et les traits appliqués aux parenthèses désignent les fonctions dérivées des fonctions de it renfermées entre ces parenthèses. ”

“ Voici maintenant comment le principe dont il s'agit s'applique à la détermination des limites du développement de f (x + i) . Soient d'abord p et q les valeurs de x + i qui rendent la fonction dérivée f' (x+i) la plus petite et la plus grande, en regardant x comme-donné, et faisant varier i depuis zéro jusqu'à une valeur quelconque donnée de i. Dono f' (p) sera la plus petite valeur de f' (x+i*) , et f' (q) en sera la plus grande; par conséquent, f' (x + i) f' (p) et f' (q) -f' (x+i) seront toujours des quantités positives. Regardant ces deux quantités comme des fonctions dérivées, rela- ”