Pointillisme

“ Des êtres dont l’esprit serait fait comme le nôtre et qui auraient les mêmes sens que nous, mais qui n’auraient reçu aucune éducation préalable, pourraient recevoir d’un monde extérieur convenablement choisi des impressions telles qu’ils seraient amenés à construire une géométrie autre que celle d’Euclide et à localiser les phénomènes de ce monde extérieur dans un espace non euclidien ou même dans un espace à quatre dimensions. ”

“ « Mais cet axiome n’est pas vrai ; une droite et un plan peuvent être parallèles et ne pas se rencontrer ».
Mais rappelez-vous qu’au point de vue de la géométrie projective une droite et un plan parallèle se rencontrent en un « point à l’infini » qualitativement équivalent à un point ordinaire.
Enfin M. Russell, aux trois axiomes précédents, qu’il considère comme a priori, en adjoint un quatrième qui à ses yeux a un caractère empirique : « L’espace a trois dimensions » ; d’après lui, tout ce que nous pouvions affirmer a priori c’est que le nombre des dimensions est fini et entier. ”

“ Et voici ce qui fait pour nous l’intérêt de cette Analysis Situs ; c’est que c’est là qu’intervient vraiment l’intuition géométrique. Quand, dans un théorème de géométrie métrique, on fait appel à cette intuition, c’est parce qu’il est impossible d’étudier les propriétés métriques d’une figure en faisant abstraction de ses propriétés qualitatives, c’est-à-dire de celles qui sont l’objet propre de l’Analysis Situs. On a dit souvent que la géométrie est l’art de bien raisonner sur des figures mal faites. ”

“ Savons-nous cette fois ce que c’est qu’un point défini ainsi par sa position relative par rapport à nous. Bien des gens répondront oui et diront qu’ils « localisent » les objets extérieurs.
Qu’est-ce à dire ? Localiser un objet, cela veut dire simplement se représenter les mouvements qu’il faudrait faire pour l’atteindre ; je m’explique ; il ne s’agit pas de se représenter les mouvements eux-mêmes dans l’espace, mais uniquement de se représenter les sensations musculaires qui accompagnent ces mouvements et qui ne supposent pas la préexistence de la notion d’espace. ”

“ Mais alors nous pouvons nous demander si la position relative d’un objet par rapport à d’autres objets a varié ou non, et d’abord si la position relative de cet objet par rapport à notre corps a varié ; si les impressions que nous cause cet objet n’ont pas changé, nous serons enclins à juger que cette position relative n’a pas changé non plus ; si elles ont changé, nous jugerons que cet objet a changé soit d’état, soit de position relative. Il reste à décider lequel des deux. J’ai expliqué dans Science et Hypothèse comment nous avons été amenés à distinguer les changements de position. ”

“ À ceux qui insistent, avec M. Le Roy, sur la part considérable de l’interprétation théorique dans l’énoncé d’un fait d’expérience, M. H. Poincaré [2] a opposé l’opinion même que nous combattons en ce moment ; selon lui, la théorie physique serait un simple vocabulaire permettant de traduire les faits concrets en une langue conventionnelle simple et commode. « Le fait scientifique, dit-il [3] , n’est que le fait brut énoncé dans un langage commode. » Et encore [4] : « Tout ce que crée le savant dans un fait, c’est le langage dans lequel il l’énonce. » ”

“ Pourquoi refuserait-on à ces transformations le nom de mouvements et l’accorderait-on aux translations et aux rotations ? Je n’en vois qu’une raison : c’est qu’il existe dans la nature des corps, les corps solides, qui peuvent prendre à peu près des mouvements de translation ou de rotation ; il n’y en a pas qui se meuvent à peu près suivant la loi projective.
J’ai écrit quelque part quelque chose qui pourrait sembler en contradiction avec ce qui précède : j’ai écrit que la géométrie projective est visuelle et que la géométrie métrique est motrice. ”

“ La géométrie ne serait que l’étude des mouvements des solides ; mais elle ne s’occupe pas en réalité des solides naturels, elle a pour objet certains solides idéaux, absolument invariables, qui n’en sont qu’une image simplifiée et bien lointaine.
La notion de ces corps idéaux est tirée de toutes pièces de notre esprit et l’expérience n’est qu’une occasion qui nous engage à l’en faire sortir.
Ce qui est l’objet de la géométrie, c’est l’étude d’un « groupe » particulier ; mais le concept général de groupe préexiste dans notre esprit au moins en puissance. ”

“ Mais nous n’avons fait là pour ainsi dire qu’une expérience de physiologie ; et même comme il suffirait d’adapter sur les yeux des verres de construction convenable pour faire cesser l’accord entre les sentiments de convergence et d’accommodation, allons-nous dire qu’il suffit de mettre des bésicles pour que l’espace ait quatre dimensions et que l’opticien qui les a construites a donné une dimension de plus à l’espace ? Évidemment non, tout ce que nous pouvons dire c’est que l’expérience nous a appris qu’il est commode d’attribuer à l’espace trois dimensions. ”

“ II. L’espace est continu et divisible à l’infini le résultat de la division infinie, ou le zéro d’étendue, s’appelle point.
III. Deux points quelconques déterminent une figure unique, appelée ligne droite ; trois points quelconques déterminent en général une figure unique, le plan. Quatre points quelconques déterminent une figure analogue à trois dimensions, et, jusqu’à preuve du contraire, il peut en être de même pour un nombre quelconque de points. Mais ce processus a, tôt ou tard, une fin, pour un certain nombre de points qui déterminent la totalité de l’espace [1] . ”

“ Que l’on imagine maintenant un monde où nos solides naturels ordinaires seraient inconnus, mais où il y aurait de pareils solides non-euclidiens ; que l’on suppose un géomètre élevé dans un pareil monde ; que va-t-il faire ? Son attention sera principalement appelée, non sur un des groupes qui satisfont aux trois conditions, mais sur un des groupes qui satisfont seulement aux deux premières.
C’est quand une figure sera entraînée dans un mouvement de ce groupe qu’il dira que cette figure reste égale à elle-même. C’est aux lignes principales relatives à ce groupe qu’il donnera le nom de droite. ”

“ Dans cette éducation progressive qui a abouti à la construction de l’espace, quelle est la part de l’individu, et quelle est celle de la race, c’est ce qu’il est bien difficile de déterminer. Dans quelle mesure un de nous, transporté dès sa naissance dans un monde entièrement différent, où par exemple domineraient des corps se déplaçant conformément aux lois de mouvement des solides non-euclidiens, dans quelle mesure, dis-je, pourrait-il renoncer à l’espace ancestral pour bâtir un espace complètement nouveau ? ”

“ J’ai dit cela en effet à la fin d’un paragraphe où j’avais énoncé certaines propositions, je voulais conclure que ces propositions, qui nous semblent nécessaires, à nous qui savons la géométrie, ne nous sont pas réellement imposées et qu’une discussion plus complète est indispensable. Cette discussion, je me suis ensuite efforcé de la faire.
« On commence par plonger l’homme physique dans l’espace à trois dimensions, et on cherche comment il entre en relation avec cet espace. » ”

“ Autant demander si le système métrique est vrai et les anciennes mesures fausses ; si les coordonnées cartésiennes sont vraies et les coordonnées polaires fausses. Une géométrie ne peut pas être plus vraie qu’une autre ; elle peut seulement être plus commode. ”

“ Et alors, nous devons nous demander s’il est possible de se représenter un point de l’espace. Ceux qui répondent oui ne réfléchissent pas qu’ils se représentent en réalité un point blanc fait avec la craie sur un tableau noir ou un point noir fait avec une plume sur un papier blanc, et qu’ils ne peuvent se représenter qu’un objet ou mieux les impressions que cet objet ferait sur leurs sens.
Quand ils cherchent à se représenter un point, ils se représentent les impressions que leur feraient éprouver des objets très petits. ”

“ Pour répondre à cette question, ceux qui sauraient déjà la géométrie raisonneraient comme il suit. Il y a des chances pour que l’objet A n’ait pas bougé entre les instants α et α', ni l’objet B entre les instants β et β' ; admettons-le. À l’instant α, l’objet A occupait un certain point M de l’espace. Or à cet instant, il touchait mon premier doigt, et comme le toucher ne s’exerce pas à distance, mon premier doigt était également au point M. J’ai fait ensuite la série S de mouvements et à la fin de cette série, à l’instant α', j’ai constaté que l’objet A touchait mon second doigt. ”

“ Subtiliser une difficulté, ce n’est point, vraiment la supprimer. Si vous coupez un aimant en deux avec l’espoir de faire disparaître la dualité des pôles, vous serez déçu, car vous retrouverez encore vos deux pôles dans chaque fragment. Vous auriez beau arriver à des fragmens indivisibles pour nos yeux, à des unités apparentes, ces fragmens seraient encore polarisés, ils seraient doubles. Telle est l’unité prétendue de la théologie ; si elle paraît une, c’est que l’œil de l’esprit finit par perdre la vision distincte des choses au milieu des entités. ”

“ À ce moment, il ne sait pas encore la géométrie, il ne sait pas que l’espace a trois dimensions, il ne sait pas que la position d’un corps est déterminée par six quantités.
Mais il commence à étudier expérimentalement les lois suivant lesquelles se composent les déplacements. L’expérience lui apprend qu’ils se comportent comme les substitutions d’un groupe d’ordre 6. ”

“ On reconnaît, à ces diverses propriétés, les figures homologiques dont M. Poncelet a donné, le premier, la théorie dans son Traité des Propriétés projectives. Le pôle S est le centre d'homologie, et la formatrice est l'axe d'homologie.
Les personnes qui ont l'habitude des pratiques de la perspective reconnaîtront aussi, dans ce mode de déformation, les figures mêmes que l'on trace sur un plan, comme devant être la perspective l'une de l'autre. ”

“ Ainsi M. Poncelet démontre a posteriori, au moyen de la Perspective, la généralité de ses transformations faites sur le plan, avec un cercle pour conique auxiliaire. Pour le cas de l'espace
l'un et l'autre doivent avoir une égale indépendance et une égale facilité d'action. Et si même l'on veut établir des rapports entre l'un et l'autre, ce sera la théorie des figures homologiques, qui pourra dériver complètement du principe de dualité, comme nous le ferons voir au commencement de la seconde partie de cet écrit, tandis que ce principe ne peut nullement dériver de cette théorie. ”

“ Ce que nous nous représentons sous le nom de droite est une image grossière qui ressemble aussi mal à la droite géométrique qu’au temps lui-même.
Pourquoi a-t-on dit que toute tentative pour donner une quatrième dimension à l’espace ramène toujours celle-ci à l’une des trois autres ? Il est aisé de le comprendre. Envisageons nos sensations musculaires et les « séries » qu’elles peuvent former. À la suite d’expériences nombreuses, les idées de ces séries sont associées entre elles dans une trame très complexe, nos séries sont classées. ”

“ L’expérience ancestrale. On a dit souvent que si l’expérience individuelle n’a pu créer la géométrie, il n’en est pas de même de l’expérience ancestrale. Mais qu’entend-on par là ? Veut-on dire que nous ne pouvons démontrer expérimentalement le postulatum d’Euclide, mais que nos ancêtres ont pu le faire ? Pas le moins du monde. On veut dire que par sélection naturelle notre esprit s’est adapté aux conditions du monde extérieur, qu’il a adopté la géométrie la plus avantageuse à l’espèce ”

“ Alors on ne pourrait plus se servir de sa figure et le raisonnement deviendrait impossible. L’intuition n’aurait pas été gênée par les défauts de dessin qui n’intéressaient que la géométrie métrique ou projective ; elle deviendra impossible dès que ces défauts se rapporteront à l’Analysis Situs.
Cette observation très simple nous montre le véritable rôle de l’intuition géométrique ; c’est pour favoriser cette intuition que le géomètre a besoin de dessiner des figures, ou tout au moins de se les représenter mentalement. ”

“ Des êtres qui y feraient leur éducation trouveraient sans doute plus commode de créer une géométrie différente de la nôtre, qui s’adapterait mieux à leurs impressions. Quant à nous, en face des mêmes impressions, il est certain que nous trouverions plus commode de ne pas changer nos habitudes. ”

“ Toute conclusion suppose des prémisses ; ces prémisses elles-mêmes ou bien sont évidentes par elles-mêmes et n’ont pas besoin de démonstration, ou bien ne peuvent être établies qu’en s’appuyant sur d’autres propositions, et comme on ne saurait remonter ainsi à l’infini, toute science déductive, et en particulier la géométrie, doit reposer sur un certain nombre d’axiomes indémontrables. Tous les traités de géométrie débutent donc par l’énoncé de ces axiomes. ”

“ Pour être complet, il conviendrait d’adjoindre à la loi d’homogénéité une foule d’autres lois analogues dans le détail desquelles je ne veux pas entrer, mais que les mathématiciens résument d’un mot en disant que les déplacements forment « un groupe ».
Le monde non euclidien. — Si l’espace géométrique était un cadre imposé à chacune de nos représentations, considérée individuellement, il serait impossible de se représenter une image dépouillée de ce cadre, et nous ne pourrions rien changer à notre géométrie. ”

“ Évidemment, parce que, dans un cas comme dans l’autre, je puis rétablir la sensation primitive en tournant autour de la sphère, en faisant les mêmes mouvements, et je sais que j’ai fait les mêmes mouvements parce que j’ai éprouvé les mêmes sensations musculaires ; pour le savoir je n’ai donc pas besoin de savoir la géométrie d’avance et de me représenter les mouvements de mon corps dans l’espace géométrique.
Autre exemple. Un objet s’est déplacé devant mon œil, son image se formait d’abord au centre de la rétine ; elle se forme ensuite au bord ”