Module d'élasticité

“ On dit absolument qu'un corps est élastique, lorsque sans dépasser la limite d'élasticité on peut lui faire subir une déformation notable ; on dit, au contraire, qu'il est mou lorsque, même pour une petite déformation, la limite d'élasticité est atteinte et que le corps reste continu. ”

“ Mais
on verra qu'il peut exister, dans un corps solide, une telle distribution régulière des molécules, que les effets de l'élasticité soient complètement indépendants de la direction des axes de symétrie; lorsque ce mode de distribution a lieu, le corps solide est homogène et d'élasticité constante. ”

“ La théorie de l'élasticité comprend les lois qui relient les actions moléculaires ou forces de pression et de tension qui agissent à la surface et dans l'intérieur d'un corps, aux changements de dimensions et de figure qui se produisent en même temps dans le corps et dans ses différentes parties. Cette théorie est donc la base des principes qui régissent la résistance et la raideur des matériaux de construction. La théorie de l'élasticité s'applique à beaucoup d'autres sujets: à la cristallographie, à l'étude de la lumière, du son, de la chaleur et des autres branches de la physique. ”

“ Les valeurs numériques de ces coefficients, pour un corps solide homogène et d'élasticité constante, de nature donnée, pourraient se déduire d'expériences faites sur ce corps, dans les deux cas d'équilibre d'élasticité les plus simples.
Lorsque le solide est soumis à une pression uniforme (— P) sur toute sa surface, il doit se contracter en restant semblable à lui-même ”

“ En effet, si l'on voulait suivre ce dernier ordre, il faudrait successivement étudier l'élasticité dans la sphère, dans le cylindre et dans le parallélipipède. On voit facilement que le nombre des équations à la surface croît dans le même sens, et c'est ce nombre qui limite ici la puissance de l'analyse mathématique, en multipliant les difficultés qu'elle doit vaincre. Mais comme nos équations de l'élasticité sont exprimées en coordonnées reetilignes, occupons-nous d'abord du genre de solide auquel ces coordonnées suffisent, ou qui n'exige aucune transformation. ”

“ À son aspect, grand serait le désappointement de celui qui aurait attendu une explication des lois de l’élasticité ; comment, en effet, s’expliquerait l’élasticité des ressorts à boudin ? Aussi, le grand physicien anglais n’a-t-il point donné ce modèle pour une explication. « Bien que la constitution moléculaire des solides qui a été supposée dans ces remarques, et qui a été illustrée mécaniquement dans notre modèle, ne doive pas être regardée comme vraie en nature, néanmoins la construction d’un modèle mécanique de ce genre est certainement très instructive. » ”

“ L'élasticité longitudinale, ayant pour coefficient E, fonctionne non-seulement quand il y a extension ou compression simples, mais encore quand il y a flexion simple, c'est-à-dire changement d'inclinaison relative de deux sections voisines, sans variation de longueur dans l'élément intermédiaire de l'axe du corps. Pareillement l'élasticité transversale, caractérisée par le nombre G, est mise en évidence dans les phénomènes de torsion, plus faciles à observer directement que ceux de glissement simple. ”

“ Elle est, en. effet, l'origine réelle ou l'intermédiaire indispensable des phénomènes physiques les plus importants de l'univers. C'est par elle que la lumière se répand, que la chaleur rayonne, que le son se forme, se propage et se perçoit, que noire corps agit et se déplace, que nos machines se meuvent, travaillent et se conservent, que nos constructions, nos instruments échappent à mille causes de destruction. En un mot, le rôle de l'élasticité, dans la nature, est au moins aussi important que celui de la pesanteur universelle. ”

“ Dans un solide isotrope ou amorphe, l'action des forces élastiques est la même dans toutes les directions. Une direction quelconque est un axe d'élasticité. Les coefficients d'élasticité oblique et de souplesse oblique sont tous nuls. ”

“ Ou, mieux encore, en s'appuyant sur une analogie remarquable avec les intégrales elliptiques, on pourrait appeler F potentiel , de la première espèce, p potentiel de la seconde espèce. Nous dirions alors : la température ou la dilatation dans un corps solide homogène en équilibre de chaleur ou d'élasticité est une fonction de même nature que le potentiel de première espèce; les projections du déplacement moléculaire, et les composantes des forces élastiques sont des fonctions de même nature que le potentiel de seconde espèce. ”

“ L'élasticité n'est plus entière; elle a été altérée. D'où provient cette altération? Est-elle due à des ruptures partielles qui se seraient produites entre quelques groupes de molécules? Faut-il l'attribuer à ce que, pendant les allongements ou les accourcissements, les molécules se seraient groupées dans un nouvel ordre auquel correspondrait un nouvel état d'équilibre? Peut-être à l'une et à l'autre de ces causes. Ce qu'il y a de certain, c'est qu'un corps perd de sa
résistance dès que son élasticité a été altérée ”

“ Dans chacune des colonnes de l'élasticité totale, la part de l'élasticité effective, équivalente au travail statique, garde une valeur constante qui est égale à 1, tandis que l'élasticité totale va, comme le raccourcissement, en croissant de 1 à 10. Il en résulte que le même travail statique entraîne la création d'un quantum d'élasticité totale bien différent, suivant que le muscle est à peine ou tout à fait raccourci. ”

“ Il importe souvent de considérer d'abord un corps solide dans son état d'homogénéité absolue, avant qu'aucune action étrangère ait mis en jeu son élasticité; que cette action provienne d'efforts exercés à la surface même du corps, ou qu'elle soit le résultat d'actions à distance. ”

“ L'élasticité a une limite. Quand l'effort extérieur a trop changé les positions relatives des molécules, ou lorsqu'il a trop longtemps exercé son action, le corps reste déformé ; c'est-à-dire que les molécules ne reprennent plus leurs anciennes places et s'arrêtent dans de nouvelles positions. Les déformations permanentes sont dues aux mêmes causes que l'élasticité, mais ce sont des effets d'une autre nature et que nous n'étudierons pas. ”

“ Dans la première hypothèse, où les éléments du milieu sont en repos et privés de force d'élasticité, il est manifeste que la communication du mouvement se fera suivant la loi des corps durs, c'est-à-dire qu'il se produira une translation simultanée de la masse heurtante et de la masse heurtée qui s'étendra jusqu'à l'extrême limite du milieu, sans autre effet qu'un déplacement d'une partie de la masse dans une certaine direction. Si l'on voulait, en dehors de cela, que de tels atomes fussent doués d'élasticité, mais sans rotation, l'effet se réduirait à une vibration et rien de plus. ”

“ Le retour incomplet vers la forme primitive après l'action d'une certaine force ne prouve pas que la matière ait perdu son élasticité, mais seulement que la force a dépassé la limite de celles auxquelles on avait précédemment soumis le corps dans des circonstances analogues, ce qui en fait un corps nouveau ayant ses molécules dans un état d'équilibre différent du premier.
Les formules fondamentales de la Résistance des Matériaux reposent sur plusieurs hypothèses, et entre autres sur celle de la proportionnalité des allongements et des forces qui les produisent. ”

“ La plupart des physiciens qui ont essayé de donner une théorie de l’élasticité, ont surtout considéré que quand on bande un corps élastique, par exemple un arc, les particules situées du côté convexe s’éloignent les unes des autres, tandis que celles qui sont du côté concave se rapprochent. ”

“ Nous ne considérerons que le cas d'une membrane plane; alors l'équation (6) se réduit à Z0 = ,wX0 -+- qY0-; d'où il suit qu'une membrane plane ne saurait être en équilibre d'élasticité si la force qui sollicite sa masse n'est pas parallèle à son plan. ”

“ Quand on connaît toutes les charges qui doivent agir sur une pièce, y compris son poids propre et les réactions des appuis, on peut construire, en s'appuyant sur les considérations du n° 167, une courbe telle, que si celle-ci était considérée comme le lieu des articulations, infiniment rapprochées entre elles, d'un système articulé, l'équilibre existerait. Or cette courbe peut aussi être prise pour fibre moyenne de la pièce, et alors on aura cet avantage que, dans toutes les sections transversales, la résultante des actions moléculaires passera au centre d'élasticité. ”

“ Si le corps appartient au système cubique, la sphère d'élasticité optique cessera d'être une sphère. Mais, la déformation étant symétrique par rapport à l'axe du prisme, cet axe sera un axe de révolution de la surface d'élasticité, qui sera un ellipsoïde de révolution. ”

“ C'est pourquoi nous avons cru devoir introduire une autre généralisation dans les formules théoriques, en admettant que l'élasticité n'est pas la même en tous les points d'une pièce donnée. Il ne résulte de là, pour ainsi dire, aucune complication; seulement le centre de gravité et le moment d'inertie d'une section transversale doivent recevoir une définition un peu différente de celle qu'on donne en général.
Quant aux applications que nous avons faites de la théorie, nous nous bornerons à mentionner ici les problèmes sur les
poutres droites à deux ou plusieurs appuis ”

“ Les équations (8) peuvent servir à résoudre deux problèmes inverses : si la forme du fil est connue ; ainsi que nous l'ayons supposé, ces équations donneront, par l'élimination de T à l'aide de l'équation (10) , deux conditions que devront vérifier les forces extérieures (X0, Y0, Z0) , pour que le filet puisse être en équilibre d'élasticité', ces conditions étant remplies, l'intégration de la. différentielle (10) , entre des limites données, déterminera la tension T en chaque point du fil. ”

“ Si cette observation ne nous fait pas connoître la cause propre & adéquate de l’élasticité, elle nous fait voir au moins la différence qu’il y a entre les corps élastiques & les corps non-élastiques ; comment il arrive qu’un corps perd son élasticité, & comment un corps destitué de cette force, vient à l’acquérir. ”

“ La détermination de ces fonctions, et l'étude de leurs propriétés, font l'objet principal du Cours actuel; on verra que ce problème général revient à déterminer trois fonctions de quatre variables seulement. On peut donner de la force élastique une autre définition, en apparence plus simple que celle qui précède. Le corps solide, légèrement déformé, étant en équilibre d'élasticité, imaginons qu'il soit coupé par un plan LN en deux parties A et B; la suppression de À détruirait évidemmeut l'équilibre de B ”

“ D'après ce qu'on a vu aux nos 64 et 65, on peut d'abord remplacer chaque force par deux composantes, l'une verticale, l'autre horizontale, appliquées toutes deux au centre d'élasticité de la section sur laquelle agit la force primitive, et par un couple ; puis faire la somme des poussées produites sur chaque point d'appui par toutes ces composantes et par la dilatation linéaire, considérées comme agissant successivement chacune à l'exclusion de toutes les autres. ”

“ On trouvera facilement quels ternies particuliers (U0, V0, W0) doivent entrer dans les valeurs intégrales des (U, V, W) , pour faire disparaître des équations (8) les termes en (R,,^,,, Z0) ; et l'on pourra faire abstraction de ces forces extérieures quand il s'agira d'étudier les effets de l'élasticité provenant d'autres causes, §§ 26 et 28.
186 LEÇONS.
Telles sont les équations et les formules de l'élasticité, transformées en coordonnées semi-polaires, et directement applicables aux solides de forme cylindrique. ”

“ L'élasticité d'un solide quelconque est à peu près parfaite tant que la déformation ne dépasse pas une certaine limite. Ce cas se présente même pour des corps qui offrent la plasticité de l'argile humide. Tous les solides présentent, dans leur déformation, des limites à partir desquelles il se produit une modification permanente dans leur volume ou dans leur forme, et ces limites d'élasticité sont inférieures et même souvent très-inférieures à la déformation qui amène la rupture. ”

“ A un point de vue scientifique les expériences sur la résistance des matériaux ont montré qu'on ne peut pas regarder comme vraies d'une manière absolue les hypothèses admises pour appliquer le calcul au problème de la flexion des poutres. La limite d'élasticité est d'une détermination à peu près impossible. Une tige métallique, une fois qu'elle a été soumise à une tension, ne revient pas exactement à sa première forme lorsque la tension cesse, et son élasticité a déjà subi une certaine altération. ”

“ Le coefficient d'élasticité, relatif à tel ou tel solide, exprime le poids qu'on devrait faire agir, pour doubler la longueur d'une règle, de substance identique à celle du corps, mais de longueur et de section égales chacune à leur unité ou en d'autres termes, ce nombre mesure le poids qui, à cette limite idéale, empêcherait la force d'élasticité de ramener les éléments de la règle à leur premier mode d'équilibre. ”

“ Un solide fléchi jusqu'à la dernière limite, où l'élasticité commence à s'altérer, prend une courbure qu'on appelle la courbure élastique ou simplement l'élastique.
Ces définitions étant adoptées, nous pouvons énoncer les conditions d'équilibre des corps soumis à la flexion ; elles sont déterminées par les principes suivants, basés sur des expériences et contrôlés par l'analyse : 1° Dans la flexion on admet l'égalité de la résistance à l'extension et à la compression; l'élasticité de l'allongement est sensiblement la
même que celle de la compression et de la tension. ”