Limite d'élasticité

“ Limite de l'élasticité. — On est convenu d'appeler limite d'élasticité : « le degré de distension qu'un corps ne saurait dépasser sans perdre définitivement sa forme ; au delà de cette limite, le corps n'est plus qu'imparfaitement élastique et ne revient iplus complètement, lorsque la force qui le déformait a cessé d'agir. » (Marey.) ”

“ En effet, si l'on voulait suivre ce dernier ordre, il faudrait successivement étudier l'élasticité dans la sphère, dans le cylindre et dans le parallélipipède. On voit facilement que le nombre des équations à la surface croît dans le même sens, et c'est ce nombre qui limite ici la puissance de l'analyse mathématique, en multipliant les difficultés qu'elle doit vaincre. Mais comme nos équations de l'élasticité sont exprimées en coordonnées reetilignes, occupons-nous d'abord du genre de solide auquel ces coordonnées suffisent, ou qui n'exige aucune transformation. ”

“ L'élasticité a une limite. Quand l'effort extérieur a trop changé les positions relatives des molécules, ou lorsqu'il a trop longtemps exercé son action, le corps reste déformé ; c'est-à-dire que les molécules ne reprennent plus leurs anciennes places et s'arrêtent dans de nouvelles positions. Les déformations permanentes sont dues aux mêmes causes que l'élasticité, mais ce sont des effets d'une autre nature et que nous n'étudierons pas. ”

“ Dans la première hypothèse, où les éléments du milieu sont en repos et privés de force d'élasticité, il est manifeste que la communication du mouvement se fera suivant la loi des corps durs, c'est-à-dire qu'il se produira une translation simultanée de la masse heurtante et de la masse heurtée qui s'étendra jusqu'à l'extrême limite du milieu, sans autre effet qu'un déplacement d'une partie de la masse dans une certaine direction. Si l'on voulait, en dehors de cela, que de tels atomes fussent doués d'élasticité, mais sans rotation, l'effet se réduirait à une vibration et rien de plus. ”

“ A un point de vue scientifique les expériences sur la résistance des matériaux ont montré qu'on ne peut pas regarder comme vraies d'une manière absolue les hypothèses admises pour appliquer le calcul au problème de la flexion des poutres. La limite d'élasticité est d'une détermination à peu près impossible. Une tige métallique, une fois qu'elle a été soumise à une tension, ne revient pas exactement à sa première forme lorsque la tension cesse, et son élasticité a déjà subi une certaine altération. ”

“ Le coefficient d'élasticité, relatif à tel ou tel solide, exprime le poids qu'on devrait faire agir, pour doubler la longueur d'une règle, de substance identique à celle du corps, mais de longueur et de section égales chacune à leur unité ou en d'autres termes, ce nombre mesure le poids qui, à cette limite idéale, empêcherait la force d'élasticité de ramener les éléments de la règle à leur premier mode d'équilibre. ”

“ Par conséquent, les diminutions de longueur sous les charges de compression dans la limite d'élasticité ont à peu près les mêmes valeurs que les allongements sous les efforts de traction dans cette même limite. Au delà de la limite d'élasticité, les résistances à la compression sont bien supérieures aux résistances à la traction. ”

“ Comme pour rechercher la limite d'élasticité, on a coutume de faire croître la traction par degrés, en supprimant la charge après chaque observation d'allongement afin de vérifier si le métal revient à sa longueur initiale, il résulterait de cette manière de procéder.que la limite d'élasticité fuirait en quelque sorte devant l'observateur, dont les opérations seraient entachées d'erreur dans leur essence même. ”

“ L'élasticité d'un solide quelconque est à peu près parfaite tant que la déformation ne dépasse pas une certaine limite. Ce cas se présente même pour des corps qui offrent la plasticité de l'argile humide. Tous les solides présentent, dans leur déformation, des limites à partir desquelles il se produit une modification permanente dans leur volume ou dans leur forme, et ces limites d'élasticité sont inférieures et même souvent très-inférieures à la déformation qui amène la rupture. ”

“ Un solide fléchi jusqu'à la dernière limite, où l'élasticité commence à s'altérer, prend une courbure qu'on appelle la courbure élastique ou simplement l'élastique.
Ces définitions étant adoptées, nous pouvons énoncer les conditions d'équilibre des corps soumis à la flexion ; elles sont déterminées par les principes suivants, basés sur des expériences et contrôlés par l'analyse : 1° Dans la flexion on admet l'égalité de la résistance à l'extension et à la compression; l'élasticité de l'allongement est sensiblement la
même que celle de la compression et de la tension. ”

“ De même si on décharge et recharge en d la limite d'élasticité est devenue a"b". Ainsi par des charges successives le métal se modifie les déformations se superposent en approchant de la rupture.
Tant qu'on ne dépasse pas la limite d'élasticité les déformations permanentes ne sont pas à craindre. Pour les fers et aciers, cette limite d'élasticité est sensiblement égale à la moitié de la charge de rupture.
Résistance vive. ”

“ Il est assez naturel d'admettre qu'elle lui L sera proportionnelle dans une certaine limite et de poser, en appelant d cette force,
relation dans laquelle G est un coefficient constant pour une même fibre élémentaire, mais variable de l'une a l'autre ; il représente d'ailleurs [comme E dans l'équation (i) ] le rapport constant entre la force - par unité de surface et le glissement
relatif L ; nous l'appellerons coefficient d'élasticité transversale. ”

“ Tous les éléments de volume ne sont pas entièrement compris dans l'intérieur du solide; il est nécessaire de traiter à part l'équilibre des éléments rencontrés par la surface extérieure, lesquels ne sont pas forcément complets, et qui d'ailleurs ne subissent pas sur toutes leurs faces l'action des éléments voisins. En résumé, les équations de la théorie de l'élasticité expriment les relations analytiques qui lient les déformations éprouvées par un corps de forme quelconque aux forces extérieures qui y sont appliquées. ”

“ Elle est, en. effet, l'origine réelle ou l'intermédiaire indispensable des phénomènes physiques les plus importants de l'univers. C'est par elle que la lumière se répand, que la chaleur rayonne, que le son se forme, se propage et se perçoit, que noire corps agit et se déplace, que nos machines se meuvent, travaillent et se conservent, que nos constructions, nos instruments échappent à mille causes de destruction. En un mot, le rôle de l'élasticité, dans la nature, est au moins aussi important que celui de la pesanteur universelle. ”

“ Ainsi, lorsque la loi du déplacement sera donnée par les valeurs (b) , et qu'il s'agira d'un solide homogène et d'élasticité constante, les trois Composantes N1, T3, T2 de la force élastique exercée en un point du méridien xz, sur un plan perpendiculaire aux x, seront nulles toutes trois. ”

“ La détermination de ces fonctions, et l'étude de leurs propriétés, font l'objet principal du Cours actuel; on verra que ce problème général revient à déterminer trois fonctions de quatre variables seulement. On peut donner de la force élastique une autre définition, en apparence plus simple que celle qui précède. Le corps solide, légèrement déformé, étant en équilibre d'élasticité, imaginons qu'il soit coupé par un plan LN en deux parties A et B; la suppression de À détruirait évidemmeut l'équilibre de B ”

“ Tous les solides naturels étant compris entre les deux limites extrêmes d'une élasticité parfaite et d'un défaut complet d'élasticité, il s'ensuit que le choc de ces solides doit présenter des circonstances intermédiaires entre celles qui se rapportent à ces deux limites. ”

“ Les valeurs numériques de ces coefficients, pour un corps solide homogène et d'élasticité constante, de nature donnée, pourraient se déduire d'expériences faites sur ce corps, dans les deux cas d'équilibre d'élasticité les plus simples.
Lorsque le solide est soumis à une pression uniforme (— P) sur toute sa surface, il doit se contracter en restant semblable à lui-même ”

“ Un corps solide pesant, rendu immobile, n'est plus dans cet état d'homogénéité absolue; s'il est suspendu par un fil, ou placé sur un support, l'élasticité y a développé des forces intérieures et d'intensités différentes, qui maintiennent au repos ses diverses parties; en réalité, sa densité n'est plus uniforme. Toutefois, pour presque tous les corps solides, pour ceux surtout que nous avons principalement en vue, la déformation qui résulte de l'action de la pesanteur sur ces corps seuls est tout à fait insensible ”

“ Mais
on verra qu'il peut exister, dans un corps solide, une telle distribution régulière des molécules, que les effets de l'élasticité soient complètement indépendants de la direction des axes de symétrie; lorsque ce mode de distribution a lieu, le corps solide est homogène et d'élasticité constante. ”

“ Il faut distinguer, parmi les équations que nous voulons transformer, celles qui établissent l'équilibre d'un élément du corps sous l'action des forces élastiques, et celles qui expriment ces forces élastiques à l'aide des projections du déplacement moléculaire. Les premières sont essentielles et générales , elles ont toujours lieu, que l'homogénéité existe ou non , et quelle que soit sa nature ; les secondes n'appartiennent qu'aux corps homogènes et d'élasticité constante. ”

“ Au reste, les expériences sur les ruptures étant plus nombreuses et plus sûres peut-être que celles qui ont pour objet la détermination des limites d'élasticité, c'est à elles que se rapportent habituellement les valeurs que la considération de l'élasticité conduit à attribuer aux résistances permanentes. ”

“ D'ailleurs la gravitation et l'élasticité doivent être considérées comme les effets d'une même cause, qui rend dépendantes ou solidaires toutes les parties matérielles de l'univers, la première manifestant cette dépendance à des distances considérables, la seconde à des distances très-petites. ”

“ La théorie de l'élasticité comprend les lois qui relient les actions moléculaires ou forces de pression et de tension qui agissent à la surface et dans l'intérieur d'un corps, aux changements de dimensions et de figure qui se produisent en même temps dans le corps et dans ses différentes parties. Cette théorie est donc la base des principes qui régissent la résistance et la raideur des matériaux de construction. La théorie de l'élasticité s'applique à beaucoup d'autres sujets: à la cristallographie, à l'étude de la lumière, du son, de la chaleur et des autres branches de la physique. ”

“ Il importe souvent de considérer d'abord un corps solide dans son état d'homogénéité absolue, avant qu'aucune action étrangère ait mis en jeu son élasticité; que cette action provienne d'efforts exercés à la surface même du corps, ou qu'elle soit le résultat d'actions à distance. ”

“ Dans un solide isotrope ou amorphe, l'action des forces élastiques est la même dans toutes les directions. Une direction quelconque est un axe d'élasticité. Les coefficients d'élasticité oblique et de souplesse oblique sont tous nuls. ”

“ Quelles que soient les forces que l’on considère, elles sont proportionnelles à l’effet qu’elles produisent ou tendent à produire. — Les forces d’élasticité tendent à détruire la différence entre la forme naturelle des corps qui en sont doués et la forme que les mêmes corps ont été forcés de prendre par l’action d’une cause extérieure. — Les forces d’élasticité qui agissent sur un corps élastique quelconque, ont donc pour mesure la différence entre la forme naturelle de ce corps, et la forme qu’une cause extérieure le force de prendre. ”

“ Le groupe des deux équations H — o, G = o, représentera une ligne courbe, lieu géométrique des points du solide où deux des forces élastiques principales sont nulles ; cette courbe pourra figurer un fil élastique, mais il faudra pour cela que la force élastique qui reste soit dirigée suivant la tangente. Enfin, le groupe des trois équations H = o, G=o, F = o, donnera un ou plusieurs points du solide où toutes les forces élastiques sont nulles.
SUR L' ELASTICITE. 121
DIXIÈME LEÇON.
Vibrations transversales des membranes planes. — Membrane carrée; classement des sons ; lignes nodales. ”

“ Les équations (8) peuvent servir à résoudre deux problèmes inverses : si la forme du fil est connue ; ainsi que nous l'ayons supposé, ces équations donneront, par l'élimination de T à l'aide de l'équation (10) , deux conditions que devront vérifier les forces extérieures (X0, Y0, Z0) , pour que le filet puisse être en équilibre d'élasticité', ces conditions étant remplies, l'intégration de la. différentielle (10) , entre des limites données, déterminera la tension T en chaque point du fil. ”

“ Si cette observation ne nous fait pas connoître la cause propre & adéquate de l’élasticité, elle nous fait voir au moins la différence qu’il y a entre les corps élastiques & les corps non-élastiques ; comment il arrive qu’un corps perd son élasticité, & comment un corps destitué de cette force, vient à l’acquérir. ”

“ L'élasticité n'est plus entière; elle a été altérée. D'où provient cette altération? Est-elle due à des ruptures partielles qui se seraient produites entre quelques groupes de molécules? Faut-il l'attribuer à ce que, pendant les allongements ou les accourcissements, les molécules se seraient groupées dans un nouvel ordre auquel correspondrait un nouvel état d'équilibre? Peut-être à l'une et à l'autre de ces causes. Ce qu'il y a de certain, c'est qu'un corps perd de sa
résistance dès que son élasticité a été altérée ”

“ On trouvera facilement quels ternies particuliers (U0, V0, W0) doivent entrer dans les valeurs intégrales des (U, V, W) , pour faire disparaître des équations (8) les termes en (R,,^,,, Z0) ; et l'on pourra faire abstraction de ces forces extérieures quand il s'agira d'étudier les effets de l'élasticité provenant d'autres causes, §§ 26 et 28.
186 LEÇONS.
Telles sont les équations et les formules de l'élasticité, transformées en coordonnées semi-polaires, et directement applicables aux solides de forme cylindrique. ”