Décanat

“ Il arrive souvent qu'ayant une fraction ordinaire, on veut la changer en une fraction décimale : c'est précisément le cas traité au n° 139, où l'on veut trouver au moyen des décimales, le quotient d'une division dans laquelle le dividende est plus petit que le diviseur. En relisant ce que nous avons dit dans cet article et en généralisant, on établira le procédé suivant : Pour convertir une fraction ordinaire en fraction décimale, disposez le numérateur et le dénominateur comme vous le feriez pour diviser le premier par le second, puis écrivez au quotient un zéro et une virgule. ”

“ Ainsi la mesure des grandeurs s'opérerait avec plus de facilité dans le système duodécimal; il y aurait beaucoup plus de chances d'arriver à une expression simple et exacte de la grandeur.
Les hommes ont adopté la numération décimale dès les premiers siècles, sans doute à cause des dix doigts de leurs mains; ils comptaient d'abord sur leurs doigts; arrivés au nombre dix, afin d'aller plus loin, ils ont été obligés de considérer la dizaine comme une unité nouvelle, pour recommencer à compter sur les doigts, de manière à former une nouvelle dizaine et prolonger ainsi la série des nombres. ”

“ Lorsque la division donne un reste, pour compléter le quotient par des décimales, on ajoute le nombre de zéros nécessaires pour le nombre de décimales que l'on veut obtenir, et ensuite on continue l'opération comme à l'ordinaire, en ayant soin de séparer la partie entière de la partie décimale par une virgule. ”

“ De même, pour réduire un nombre qui exprime des parties décimales de l’unité, c’est-à-dire, des dixièmes, des centièmes, des millièmes, &c. en parties décimales plus petites, il n’y a qu’à ajouter à ce nombre qui exprime des parties décimales, autant de zéro qu’il en faut pour lui donner le rang qui lui convient, par rapport aux parties décimales plus petites auxquelles on le veut réduire. ”

“ La division décimale suit les mêmes principes que les règles précédentes, en ce qui concerne la réduction des fractions à un seul et même dénominateur, tant pour le dividende que pour le diviseur.
L'opération se fait aussi comme si onn'avait point de fractions et son résultat ou quotient donne des entiers, telles que soient les décimales qu'on a ajoutées à chacun des deux facteurs. Si on a un reste on le multiplie par 100, ou on y ajoute deux zéros, ce qui est la même chose. On continue ensuite la division et ce qu'on obtient de ce reste donne des centièmes. ”

“ A moins de dérouler devant toi, ma chère Élisa, l'immense tableau de ce qui, dans l'univers connu, a reçu le nom d'unité, on ne saurait effleurer que d'une manière imparfaite la théorie des fractions: il faut, en ceci, se contenter du principe. Fort heureusement, le calcul décimal nous offre une compensation, un terme moyen fort agréable ; toute fraction possible peut se réduire en décimales ; et j'ai l'avantage de t'annoncer, pour la première fois, que les fractions anciennes n'existent plus que pour ceux qui persistent à s'en servir. ”

“ La soustraction décimale se fait exactement la même chose que la soustraction simple, si ce n'est qu'il faut placer les sommes, comme dans l'addition décimale, de manière à ce que les virgules décimales suivent la même ligne verticale. ”

“ Comme les zéros, que l’on écrit à la droite des nombres entiers, les font croître en raison décuple (puisque 2 devient 10 fois plus grand, ou 20, en lui mettant un zéro vers la droite) ; les fractions décimales décroissent pareillement en raison décuple, ou croissent en raison sous-décuple, c’est-à-dire deviennent dix fois plus petites, en leur mettant des zéros sur la gauche. Si vous voulez donc rendre la fraction décimale .5 dix fois plus petite, c’est-à-dire, si vous voulez qu’elle n’exprime que des centiemes, écrivez .05. ”

“ En un mot la fraction décimale périodique a pour limite
Le raisonnement que nous venons de faire s'applique évidemment à une fraction périodique simple quelconque. Nous transportons la virgule après la première période, en multipliant par une puissance de 10 marquée par le nombre des chiffres de la période ; nous retranchons du produit la fraction elle-même, ce
qui nous donne une différence égale à la fraction multipliée par un nombre formé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres à la période. ”

“ DÉFINITIONS. On appelle fractions décimales des fractions composées de parties de l'unité de 10 en 10 fois plus petite. Les chiffres qui représentent les parties décimales s'appellent décimales ou chiffres décimaux.
Un nombre qui renferme des décimales s'appelle nombre décimal. La virgule qui sépare les décimales du chiffre des unités s'appelle virgule décimale. ”

“ RÈGLE. Pour diviser un nombre décimal par un nombre entier, on fait la division comme- à l'ordinaire, en ayant soin. de placer une virgule au quotient avant d'abaisser la première décimale du dividende. Quant à la fraction qui complète le quotient, elle est rapportée à l'unité du dernier ordre décimal.
Remarqué. On pourrait raisonner ce 1" cas de ia division en prenant le 23e des unités des différents ordres du dividende, comme on l'a fait pour les nombres entiers. ”

“ Ainsi, vous pourrez vous exercer de vous-même quand bon vous semblera ; mais je ne veux cependant pas en rester tout-àfait là: je vais encore vous faire connaître quelques cas que vous écrirez sur vos cahiers pour vous en servir au besoin.
S'il y avait des décimales dans le dividende ou dans le diviseur, ou dans tous les deux, on les ramènerait d'abord à n'en point avoir, selon ce qui a déjà été dit, c'est-à-dire qu'on supprimerait la virgule qui sépare les entiers d'avec les décimales, après quoi on opérerait comme dans le dernier exemple de la nouvelle méthode. ”

“ Décimes, dixmes & dixième, sont trois mots qui ont la même origine, ils viennent de decimus, mot formé de decem, dix ; mais dans l’usage ils ont une signification différente. Décimes signifie ce que les Ecclésiastiques donnent de leurs biens Ecclésiastiques au Roi pour les guerres saintes, ou pour les besoins de l’Etat. Dixmes signifie ce que les fidèles donnent aux Ministres de l’Eglise pour les entretenir. Dixième ou dixième denier signifie la dixième partie des revenus que le Roi leve sur son peuple. ”

“ Voilà le principe sur lequel sont fondés les trois cas que nous venons d'observer sur la réduction du nombre des caractères exprimant les unités sous-décuples d'un nombre décimal.
202. Les quantités décimales, de même que les autres espèces de nombres, expriment des rapports plus ou moins considérables; aussi ces grandeurs sont-elles assujéties aux lois de la composition et de la décomposition des quantités.
Calcul des nombres décimaux.
203. Nous venons de voir qu'un nombre décimal quelconque est toujours conversible en fraction ordinaire. ”

“ Lorsque les premières décimales ne manqueront pas, il sera aussi facile d'écrire une fraction décimale qu'un nombre entier ; mais lorsque ce sera le contraire, on pourra se servir du moyen suivant : On comptera combien il faut de chiffres pour écrire le nombre proposé, et on retranchera le nombre qui indique combien il. en faut, de celui qui indique le rang auquel doit être la dernière décimale pour exprimer les unilés décimales de l'ordre demandé ; le reste indique le nombre des zéros qui doit suipre immédiatement la virgule. ”

“ Une unité décimale d'un certain ordre est toujours plus grande que la somme des nombres exprimés par les chiffres qui la suivent. On en conclut qu'un même nombre ne peut pas s'exprimer de deux manières en fraction décimale. — 178. Transformation d'un nombre décimal en fraction ordinaire. Transformation en nombre décimal d'une fraction qui a pour dénominateur une puissance de 4 0. — 176. Addition et soustraction des nombres décimaux. — 177. Multiplication des nombres décimaux. —178. Cas où l'on se contente d'un produit approché. ”

“ THÉODORE. — Très-bien! Léonidas; si ces Messieurs ont retenu le raisonnement comme vous, il n'y a plus de difficulté pour faire quelque addition que ce soit. Vous avez oublié seulement de parler des parties décimales.
LÉONIDAS. - Cela est vrai; mais je l'ai retenu comme le reste. Vous avez dit que pour additionner un nombre quelconque, où il y aurait des parties décimales, il fallait faire l'opération comme dans les règles ordinaires, vu que les unités marchant de dix en dix, chaque retenue valait toujours dix. ”

“ Pour rendre un nombre décimal 10, 100, 1000, etc, fois plus grand, il faut avancer la virgule d'autant de rangs vers la droite qu'il y a de zéros après l'unité. — Si le nombre à rendre plus grand n'a pas assez de chiffres décimaux, on y supplée par des zéros.
99. Pour rendre un nombre entier 10, 100, 1000, etc., fois plus petit (ou, en d'autres termes, le diviser par 10, 100, 1000, etc.) , il faut séparer,
par une virgule sur la droite du nombre entier, autant de chiffres qu'il y a de zéros après l'unité. ”

“ Dans ces sortes de nombres décimaux où l'on peut prendre autant de "chiffres que' l'on veut à la suite de la virgule, parce qu'ils, peuvent se prolonger ainsi indéfiniment par la .répétition d'un certain nombre de chiffres, la partie décimale se nomme fraction décimale périodique. ”

“ UNITÉS MILLE. MILLIÈMES.
MILLIONS MILLIONIÈMES.
BILLIONS. BILLIONIÈMES.
On voit par l'examen de ce tableau que les nombres décimaux se partagent par tranches comme les nombres entiers ; mais il est impossible, dans la pratique, de suivre cette division. On verra, dans les tableaux suivans, que l'unité décimale varie suivant la quantité de chiffres dont le nombre décimal est composé. Lorsqu'il est composé de quatre chiffres, l'unité est des dix-millièmes ”

“ En effet, voici les cinq mots primitifs : LE MYRIA.
LE KILO.
L'HECTO.
LE DÉCA. -
LE MONO.
qui , comme on le voit, concourent bien certainement à la formation des onze autres , puisque , quand on connaît l'hecto, on connaît nécessairement le double et le demihecto ; quand c'est le déca, on connaît de même le double et le demi-déca ; et enfin quand c'est le mono , il ne doit exister nulle part une tête assez dure pour ne pas concevoir que le déci en est la dixième partie, le centi la centième partie, et le milli la millième partie ”

“ Ainsi 7 dixièmes, 9 centièmes, 35 millièmes sont des fractions décimales, les parties d'unité de ces fractions s'appellent unités décimales. Les dixièmes sont aussi appelés unités du premier ordre, les centièmes unités du second ordre, etc., les chiffres, qui les expriment, s'appellent chiffres décimaux ou simplement décimales.
Les unités décimales sont, comme les unités des nombres enliers, de dix en dix fois plus grandes ou plus petites. Ainsi 1 dixième est dix fois plus grand qu'un centième ”

“ R. Une fraction décimale s'énonce comme un nombre entier, en observant seulement de remplacer le mot unités par le nom des plus petites parties décimales qu'elle renferme, c'est-à-dire, qu'on prononce sur chaque décimale de la fraction le nom qui lui est propre , et le dernier exprimé est celui qu'on cherche. ”

“ Pour réduire un nombre fractionnaire en nombre décimal, il faut réduire les unités en fraction, et ajouter à la suite du numérateur autant de zéros qu'on veut avoir de décimales au quotient, et le diviser ensuite par le dénominateur. ”

“ REMARQUE. On peut encore lire les nombres décimaux en considérant la totalité des chiffres comme neformant qu'un seul nombre, abstraction faite de la virgule, et en ajoutant à la fin le nom des parties décimales de la moindre grandeur que renferme le nombre proposé.
EXEMPLE. Le nombre décimal 79,4182 se lira: sept cent nonante-quatre mille cent quatre-vingt-deux dimillièmes.
DÉMONSTRATION. Car une dixaine vaut cent mille dimillièmes; donc les sept dixaines vaudront sept cent mille dimillièmes. De même, une unité simple vaut dix mille dimillièmes ”

“ Mettez à la suite de celui des deux nombres proposés qui a le moins de décimales, un nombre de zéros suffisant pour que le nombre des décimales soit le même dans chacun (cela ne changera rien à la valeur de ce nombre (30) ) ; supprimez la virgule dans l'un et dans l'autre, et faites l'opération comme pour les nombres entiers ; il n'y aura rien à changer au quotient que vous trouverez.
Exemple.
On propose de diviser 12,52 par 4,3
en complétant le nombre des décimales. ”