Triangle de Scarpa

“ Par suite, notre interprétation diffère encore des explications antérieures, en un point capital : c'est que nous considérons le triangle comme pris au hasard, le premier venu pour ainsi dire, ou comme ayant une forme quelconque, au lieu que les autres commentateurs, pour nous borner même à ceux qui lisent rpiymov (4) , supposent le triangle, soit rectangle, soit isoscèle, soit même équilatéral (5) , tandis que rien dans l'argumentation de Socrate ne paraît motiver une telle détermination. ”

“ Mais, de même que le rayon du cercle circonscrit a un triangle peut être exprimé dans deux seulement des élémens de ce triangle : savoir, dans un de ses côtés et dans l’angle qui lui est opposé ; on peut aussi exprimer le rayon de la sphère circonscrite à un tétraèdre dans quatre seulement des élémens de ce tétraèdre ; savoir, dans une de ses arêtes, dans l’inclinaison des deux faces dont cette arête est la commune section et dans les angles opposés à cette arête dans les plans de ces faces. ”

“ Nous savons que, dans tout triangle sphérique, un côté quelconque est moindre que la somme des deux autres, et que la somme des trois côtés est plus petite qu'une circonférence de grand cercle. Pour que le triangle existe, il faut donc 1° que le plus grand des côtés donnés soit moindre que la somme des deux autres ; 2° que la somme des trois côtés soit plus petite qu'une circonférence de grand cercle. ”

“ Nous venons de voir (Théorème IV) que, lorsqu’un même triangle est à la fois circonscrit à un cercle et inscrit à un autre cercle, une infinité d’autres triangles peuvent aussi, à la fois, être circonscrits au premier de ces cercles et inscrits au second ; la distance entre les centres des cercles inscrits et circonscrits à chacun d’eux est donc la même pour tous ; elle doit donc être indépendante de la nature du triangle que l’on considère en particulier, et ne doit dépendre que des élémens qui leur sont communs à tous, c’est-à-dire, des rayons des deux cercles. ”

“ Si l’on prolonge les côtés du triangle sphérique deux à deux au-delà de leur point de concours, jusqu’à ce qu’ils rencontrent de nouveau la circonférence dont le troisième côté fait partie, on formera trois nouveaux triangles sphériques tels que chacun aura un angle égal, comme opposé au sommet, à l’un des angles du triangle proposé, compris entre deux côtés qui seront les supplémens des deux côtés correspondans de celui-là. ”

“ Lorsqu'une circonférence est circonscrite à un triangle, le produit des distances d'un point du cercle à deux côtés du triangle égale le produit des dislances du même point au troisième côté et à la tangente menée par le sommet opposé. ”

“ On tracera sur la sphère deux grands cercles faisant entre eux l'angle donné, et, à partir du sommet, on portera les côtés donnés, puis on joindra les extrémités par un arc de grand cercle.
Le triangle est toujours possible. Et, comme on peut porter de deux manières les arcs donnés sur les côtés de l'angle, on obtient deux triangles symétriques l'un de l'autre. ”

“ Il faut bien en effet qu’il en soit ainsi ; car, lorsque du centre du cercle circonscrit à un triangle on abaisse des perpendiculaires sur les directions de ses trois côtés, les pieds de ces perpendiculaires sont les milieux de ces mêmes côtés, et par conséquent le triangle qui a ses sommets à ces pieds est le quart du premier. ”

“ On obtient au compas un triangle équilatéral en traçant d'abord un cercle, et après avoir porté six fois l'ouverture du compas qui a servi à tracer le cercle sur la circonférence, on joint les six points par des lignes droites, ce qui donne un polygone
régulier de six côtés ”

“ Je dis que, si le triangle est le plus grand, parmi tous ceux de son espèce, qui puisse être circonscrit au système des trois cercles dont les centres sont ces cercles seront, à l’inverse, les plus petits de tous ceux qui, ayant leurs rayons dans le même rapport que les leurs, puissent être inscrits au triangle de manière que chacun d’eux touche les deux autres et un côté du triangle. ”

“ On a vu (pag. 123) que le problème où l’on propose d’inscrire à un cercle un triangle dont les côtés passent par trois points donnés el celui où l’on propose de circonscrire à un cercle un triangle dont les sommets soient sur trois droites données, sont tellement liés entre eux que la résolution de chacun d’eux entraîne nécessairement celle de l’autre ; et il est aisé de voir qu’il en est encore de même lorsqu’on substitue au cercle une courbe quelconque du second degré. ”

“ De plus, cette image manque de netteté, parce que chaque point de l'objet s'y traduit par un espace triangulaire plus ou moins étendu, suivant la distance de l'écran au volet, suivant aussi l'ampleur de l'orifice. Ces triangles empiètent l'un sur l'autre, se superposent en partie, et jettent ainsi de la confusion dans l'image qui résulte de leur ensemble. Les choses se passent de la
même manière que si un stylet très effilé à une extrémité, élargi à l'autre en triangle, décrivait de sa pointe le contour d'un dessin en tournant autour d'un point de son axe. ”

“ On a fait tourner successivement un triangle sphérique appartenant à une sphère qui a son centre à l’origine des coordonnées rectangulaires, et son rayon égal à l’unité, autour des sommets de ses trois angles ; le mouvement angulaire autour de chacun est supposé assez petit pour que le sinus de l’angle décrit soit censé se confondre avec cet angle même, et son cosinus avec l’unité. On connaît la grandeur de chacun des mouvemens angulaires ; on connaît, de plus les coordonnées primitives des sommets des trois angles du triangle sphérique ”

“ Il est aisé de voir que cette courbe passe par l’origine ; et, comme cette origine est un quelconque des sommets du triangle donné, il s’ensuit qu’elle doit passer par les trois sommets de ce triangle et quelle doit conséquemment lui être circonscrite. Cette circonstance, au surplus, était facile à prévoir. En prenant, en effet, un des sommets pour le point la direction de l’une des trois droites qui doivent concourir à former le triangle dont l’aire doit être égale à demeurera indéterminée ; d’où il suit qu’on pourra toujours prendre cette direction telle que la condition soit remplie. ”

“ Le triangle est le seul système que l'on ne peut déformer sans allonger ou raccourcir les barres qui le composent. On sera donc toujours certain que le contour d'un pan de charpente conservera une forme invariable, si la figure qu'il dessine est divisée en triangles par un nombre suffisant de diagonales. ”

“ La bissectrice de l'angle au sommet de chacun d'eux passe au milieu du côté opposé ; donc les traces sur le plan ABC des trois plans menés dans le trièdre sont les médianes du triangle ABC ; or ces lignes se coupent en un même point M; par suite, les trois plans se coupent suivant SM.
Problème.
184. Circonscrire un cône de révolution à un trièdre donné.
D'après le théorème précédent, on voit qu'il suffit de circonscrire une circonférence au triangle ABC, obtenu en prenant :
SA = SB = SC.
I
Les arêtes étant égales, le cône sera de révolution. ”

“ Ainsi S' est le centre permanent de similitude du groupe de triangles semblables à D'E'F'.
Il est d'ailleurs facile dé le prouver directement, car
l'angle AS'B = w — («' + P') ou ^ 4" P) > quantité qui ne dépend que de S ; donc S' est déterminé par trois arcs de segments connus. Le théorème est donc démontré quelle que soit la position du premier triangle inscrit. 1
2482. Remarques. 1» Les points S, S1 sont les foyers d'une ellipse tangente aux trois côtés du triangle ABC, le cercle DD'EE'FF' en est le cercle principal. ”

“ En se servant d'un triangle équilatéral parfait en carton et en le faisant glisser sur une règle comme une équerre, on peut toujours tracer des parallèles sous un angle de 60o, cela peut toujours servir à construire des triangles parfaits de la grandeur qu'on voudra, puisqu'il suffira de tracer sur une ligne quelconque et à ses deux extrémités deux lignes sous un angle de 60' pour avoir un triangle parfait. ”

“ Depuis, nous avons lu, dans Mathesis (1902, p. 85-89) , un bel article do M. NKUBEIIG sur la similitude des cercles.
Relations numériques dans le Triangle.
1181. On peut trouver un grand nombre de relations numériques entro les côtés d'un triangle et les lignes principales telles que les hauteurs, les bissectrices, les médianes et les segments déterminés sur ces lignes par les divers points de concours auxquels elles peuvent donner lieu.
On emploie les triangles semblables, et on utilise aussi les relations
déjà obtenues. ”

“ On coupe les côtés d'un triangle ABC par une droite quelconque A'B'C ; par les sommets du triangle donné, on mène des parallèles à la sécante; les parallèles rencontrent le cercle circonscrit en A", B", G"; prouver que les droites A'A", IVB", C'G" se rencontrent en un même point M du cercle circonscrit. ”

“ Soit ABC le triangle demandé.
On sait que les quatre points B, O, C, O' appartiennent à une circonférence dont le centre est au point F ; par suite, DF = R (n° 1259) .
D'ailleurs, le théorème d Euler (n° 327) donne :
OD 2 = R (R — 2r) ,
O'D 2 = R (R + 2r') .
Fig. 977.
Ainsi dans lo triangle ODO', on connaît deux côtés OD, O'D et la médiane DF du troisième côté, et l'on peut construire le triangle (n° 980, 2°) .
Puis on décrit les cercles O et O', et l'on mène les tangentes communes AB, AC, BC.
Problème 504. ”

“ Non-seulement il n'a pas cherché à nous convaincre en établissant directement par des faits le point fondamental sur lequel repose son système , mais encore il laisse subsister dans toute leur force les objections que les travaux de Scarpa lui opposent. Ce n'est donc que par une préscience, par une inspiration divine, qu'il vient nous apprendre que chaque ganglion régit souverainement un système nerveux particulier. ”

“ On donne trois points A, B, G, et une circonférence; inscrire dans cette circonférence un triangle DEE, tel que chaque côté passe par un des points donnés.
Soit le problème résolu et DEF le triangle demandé. Il suffit qu'un seul sommet soit déterminé. ”

“ Étant donnés deux nombres entiers, trouver deux triangles, desquels les aires soient en proportion de deux nombres donnés.
Il y a quatre règles pour soudre cette question en ce sens (2) .
6. Il y a des triangles dont les moindres côtés ne diffèrent jamais que de l'unité, comme 3, 4, 5; 20, 21, 29, lesquels se forment sur un des termes par règle infaillible à l'infini. Car il ne faut qu'ajouter le double de l'hypoténuse à la somme des deux autres côtés, et le tout, ajouté au moindre côté, fait le côté moindre du triangle requis. ”

“ Lorsqu'un triangle sphérique a deux angles égaux, les côtés opposés sont égaux et le triangle est isocèle (2) . Lorsqu'un angle est plus grand qu'un autre, le côté opposé est plus grand (3) . Les réciproques sont vraies : dans un triangle sphérique isocèle, les angles opposés aux côtés égaux sont égaux.
10° Si l'on prolonge de l'autre côté du centre les arêtes du trièdre on forme le trièdre symétrique qui détermine sur la surface de la sphère un second triangle A'B'C' qui a ses côtés et ses angles égaux à ceux du triangle ABC, mais disposés en ordre inverse ”