Arc et flèche

“ C’est ainsi que, dans les voûtes du XIIe siècle, nous voyons peu à peu les arcs doubleaux s’éloigner du plein cintre pour se rapprocher de l’arc en tiers-point. La meilleure preuve que nous puissions donner à l’appui de notre hypothèse, c’est le relevé exact d’un grand nombre de ces arcs brisés primitifs qui donnent exactement une flèche plus longue que le demi-diamètre, de l’épaisseur des sommiers, une fois, deux fois, trois fois. ”

“ Sur les barbes d'une flèche fichée en terre, dans la position qu'elle eût prise en s'échappant d'un arc éloigné, on appuie le fer d'une seconde flèche, dont les barbes touchent le sol de manière à former avec la première un angle assez ouvert. ”

“ Les flèches sont des armes beaucoup plus terribles qu'on pourrait le croire à première vue. Les arcs que les sauvages emploient sont d'une rigidité extraordinaire et il faut une force remarquable pour s'en servir. Celle-ci ne manque pas à la généralité des sauvages, lesquels sont, en outre, d'une habileté inouïe pour diriger la flèche et lui faire atteindre l'endroit voulu. Généralement, ils lancent les flèches en tenant l'arc horizontalement, mais bien souvent, l'arc est trop grand et ils doivent le maintenir verticalement en l'appuyant par le bas à terre. ”

“ Or, si l'arc a une flèche faible, la composante horizontale N prend une influence assez prédominante pour qu'on puisse négliger la composante verticale de C; si, au contraire, la flèche de l'arc est grande, l'arc devient assez déformable pour qu'on ne puisse se contenter de la seule hypothèse d'une surcharge uniformément répartie sur toute sa longueur, et qu'il devienne nécessaire de considérer le cas de surcharges placées seulement sur une certaine portion de longueur. ”

“ Dans les arcs d'une certaine dimension, l'âme, est constituée par des barres en diagonales.
Considérons une section quelconque de la figure 177 et reproduisons (fig. 178) le triangle des forces T, N, F, qui agissent sur cette section de l'arc. La partie de gauche de l'arc exerce donc sur la partie de droite, un effort F dirigé suivant la flèche. Les tensions des barres a et b, qui résistent à cet effort tranchant, se déterminent en décomposant F, suivant les directions de ces barres ; b mesure la compression que subit la barre b et a mesure la tension de la barre a. ”

“ Ld sx, signifie que la somme des flexions dans le sens vertical est nul, ce qui est évident en raison de la symétrie, comme cela aurait lieu pour une poutre droite égale à la corde de l'arc.
La dernière relation est la même que pour l'arc articulé, elle signifie, comme nous le savons, que la somme des flexions dans le sens horizontal ou pour une poutre fictive égale à la flèche de l'arc, est nulle.
Application. — Ferme encastrée. Pl. XXVIII. — Dans une ferme soumise à une charge uniforme, la courbe des pressions ou des moments est une parabole. ”

“ Et Per ferir altrui terse se stesso, pour frapper un autre il se courbe, il se gêne.
Arc-a-Jalet. Sorte de petite arbalète propre à jeter de petite balles. Arcus scapo instructus & emittendis globulis comparatus.
Arc, signifie en Géométrie, un trait de compas qui se meut sur un centre, & qui n’achève pas un demi cercle ; ou une partie de la circonférence d’un cercle, moindre que la moitié. La base ou la ligne qui en joint les deux extrémités s’appelle la corde, & la perpendiculaire élevée au milieu de cette ligne, s’appelle la flèche. Tous les angles sont mesurés par des arcs. ”

“ Le mot de corde est toujours demeuré ; mais on ne se sert plus guère de celui de flèche. Ce que les Anciens appeloient flèche, s’appelle maintenant le sinus du complément ; la moitié de la corde de l’arc double est ce qu’on appelle maintenant le sinus droit ; la différence de la flèche au rayon, ou la ligne qui va depuis la circonférence perpendiculairement sur le milieu de la corde, s’appelle sinus verse. La corde d’un angle & la corde de son complément au demi-cercle est la même chose. La corde de 50 degrés est aussi la corde de 130. On écrit toujours en françois corde sans h. ”

“ Pour tracer les seconds funiculaires ?>y' dxY^y, il est préférable, si l'arc est surbaissé, d'amplifier toutes ses ordonnées dans un rapport constant; sur notre épure nous les avons doublées, on a ainsi les ordonnées numérotées y, à Yu d'un polygone elliptique AcB. Il sera très simple de tenir compte de cette amplification.
Prenons la flèche amplifiée cD pour 2e distance polaire commune et portons les charges fictives y' à gauche et à droite de D. Pour limiter l'épure nous réduisons au
quart les longueurs de ces ordonnées. ”

“ Si l'on soumet une barre à la flexion et si l'on fait croître le moment fléchissant jusqu'à ce que l'on observe une flèche permanente sensible, la tension calculée de la fibre la plus fatiguée, correspondant à cette valeur particulière du moment de flexion, est généralement plus élevée que la limite d'élasticité du même métal, déterminée par un essai de traction. C'est ce que l'on exprime en disant que la limite d'élasticité de flexion est supérieure à la limite d'élasticité de traction. ”

“ Enfin, si nous passons au secours qui se tire du mouvement extérieur, nous en voyons un exemple dans ces flèches de bois dont la pointe est également de bois, et qui pénètrent plus avant dans d’autre bois que lorsqu’elles sont armées de fer ; effet qui a pour cause l’analogie de substance, l’inertie du bois étant surmontée par le mouvement rapide de la flèche. ”

“ Nous insistons sur ce point, parce que la détermination des flèches peut n'être pas seulement une recherche pratique destinée à éclairer sur les conditions de résistance d'une poutre employée dans les arts, dans lequel cas une erreur légère sur la valeur de la flèche réelle n'a aucune importance ; mais parce qu'elle peut avoir aussi un autre but pour lequel une exactitude minutieuse ne saurait être trop poursuivie : c'est lorsqu'il s'agit d'expériences sur la résistance de pièces à la flexion. ”

“ Si le moment d'élasticité est plus grand que le moment de flexion, la pièce tend à se redresser, à la manière d'un ressort auquel on rend la liberté après l'avoir courbé., et à revenir à sa position initiale. Dans ce cas, elle se trouve dans un état d'équilibre stable.
Dans le cas contraire, la déformation continue à s'accentuer jusqu'à ce que l'équilibre s'établisse entre le moment de flexion et le moment d'élasticité et la flèche prend une valeur que l'on peut calculer. ”

“ Quand un corps de forme prismatique a une longueur assez grande pour commencer à fléchir avant de s'écraser, si la charge acquiert une intensité suffisante pour que la flexion puisse exister en effet, on sait (n°84) qu'un faible supplément de charge peut entraîner un grand accroissement de flèche, et par conséquent la rupture de la pièce. ”

“ Détermination de la flèche de courbure. — Lorsque des matériaux de construction sont soumis à des efforts de flexion, il est encore une autre question dont la solution est fort intéressante : c'est celle de savoir le changement de forme qu'ils subissent sous l'action des forces infléchissantes, et notamment la grandeur de la flèche de courbure.
Pour parvenir à cette solution, il n'y a qu'à exprimer le moment des résistances moléculaires du corps, en fonction du rayon de courbure du solide fléchi, et du coefficient d'élasticité. ”

“ Elle donne la flèche de l'arbre au pivot de manivelle.
Le polygone ADB est copié de la figure 584.
Nous supposons que la partie de l'arbre, comprise entre les paliers G et D, est encastrée. La flèche est trouvée égale à 2,75 mm., donc par mètre courant, 0,4 mm.
Tout en n'étant, pas exagérée, elle peut cependant conduire à de fortes pressions au bord du coussinet, l'user rapidement et inégalement.
Détermination du centre de gravité et du moment d'inertie
d'une surface plane au moyen du plan des forces. ”

“ Les uns , du côté de l'angle obtus, tendront à glisser suivant la direction de la flèche b, mais ils rencontreront dans la masse une résistance suffisante, et l'effet sera réduit à la compression des mortiers. Mais , du côté de l'angle aigu, le danger peut être beaucoup plus grand ; et si les matériaux n'ont pas été bien liés, une partie HH' de la maçonnerie du mur, fig. 6 et 5 , pourra se détacher et tomber dans le vide , en glissant sur l'extrados des voussoirs , suivant la direction indiquée par la flèche d. ”

“ XXX VII, 11° 11.) 13. — L. o m. 077. - Flèche complète, à tête carrée, fine et assez courte. (Pl. XXXVII, n° 7.) trI. — L. o m. 027. — Pointe d'une petite flèche à trois faces un peu concaves. Spécimen unique, très intéressant. (Pl. XXXVII, ii° 21.) 15. — L. o m. 077. - Pointe de flèche quadrangulaire, longue et fine. Le fer est barbelé, et pour obtenir les barbelures on a fait des entailles dans le métal encore chaud sans doute, et retourné les copeaux en dehors. (Pl. XXXVII, n° 2.) 16. — L. o m. o45. - Pointe de flèche plate, en forme de feuille allongée; la tige est brisée. ”

“ Il faudrait, pour en tirer parti dans la pratique, connaître quelle flèche on peut faire prendre à une pièce sans altérer sensiblement son élasticité, et sans que l'action du poids qui aurait causé cette flèche fût capable de l'augmenter avec le temps. ”

“ Le métal est fendu dans le sens de la longueur. (Pl. XXXVII, n" 27.) 5. — L. o m. 08. - Pointe de flèche à tête longue et mince, de forme quadrangulaire, peu distincte de la tige. (PI XXXVII, n° 34.) :..
6. — L. o m. o65. - Tête de flèche de même type que le n° 1, mais plus étroite et plus allongée. (Pl. XXXVil, n° 3o.) 7. — L. o m. o fi 8. - Petite pointe de flèche de forme lancéolée, large et courte. (Pl. XXXVil, n°5.) 8. — L. o m. 08. - Flèche complète. La tige est plus longue que la tête, laquelle est plate et de pointe peu ellilée. ”

“ Tout étant symétrique par rapport au milieu de la pièce, au delà de ce point le moment fléchissant repasse par les mêmes valeurs, ha flèche est donnée par la formule :
Ainsi la flèche n'est que le 1/5 de celle qui a lieu, pour la même charge, quand la pièce repose librement sur deux appuis.
Dans les constructions, les poutres n'étant, en général, prises dans les murs que de 0m,30 à 0m,50 au plus, cela ne suffit pas pour produire un encastrement complet, et il est prudent de supposer que les pièces reposent sur deux appuis.
56. Résultats d'expériences à la flexion faites sur les poutres. ”

“ Son carquois renferme deux espèces de flèches : l’une est armée d’une pointe d’acier, l’autre se termine par une boule percée de plusieurs trous et fend l’air avec un sifflement que l’homme le moins nerveux ne peut entendre sans tressaillir. ”

“ « La position relative de la pyramide sur les prismes qui doivent lui servir de points d'appui est évidemment le sujet principal de la question qui nous occupe, non-seulement par rap¬
port au poids nouveau que ces points d'appui auront à supporter, mais plus particulièrement encore, à cause de la poussée résultant de la contexture même de la flèche.
» Les développements dans lesquels nous devons entrer pour exprimer ce que devra être cette poussée, nous obligent à dire quelques mots de la matière qui serait employée à la construction de ces flèches, ainsi que de son poids. ”

“ Les conditions d'équilibre des solides fléchis ont été établies dans la proposition I de ce paragraphe. — Il en résulte une proportionnalité entre les effets de la charge et de la flexion, suivant les positions respectives de la charge et de la pièce fléchie. — Cette proportionnalité est la même pour les flèches des courbures. Il s'agit d'en calculer une pour en déduire les autres. Ainsi une charge uniformément répartie sur un solide encastré à un bout, produit une certaine flèche, laquelle peut être reproduite par les 3/8e du même poids ”

“ Don. M. Alexandre.
121. — Pointe de flèche. Forme carrée, barbelures coupées carrément. Un des côtés porte une ouverture cintrée par le haut et destinée sans doute à permettre l'introduction d'une cheville assurant l'adhérence de la pointe à la tige de la flèche.
Epoq. gauloise (Hallstattienne) .
Long. 25 mill., plus gr. larg. 8 mill. — Patine brune. V. pl. XIV.
Paraît avoir la même provenance que la précédente.
Don. M. Alexandre.
122. — Pointe de flèche à douille et à nervure médiane. ”

“ L'arc biais est celui que forme une voûte dont la tête n'est pas d'équerre sur son axe, et qui par conséquent a un pied-droit en angle aigu, et l'autre en angle obtus.
L'arc angulaire est celui qui est formé par une voûte dont les pieds droits forment un angle; telles sont les têtes des voûtes sur le coin ou dans l'angle. Ces arcs sont ordinairement composés de deux portions de cercle, ou même trois, qui ont chacune leur centre différent. L'arc en talus est celui dont la tête est dans un mur en talus. ”

“ Enfin, si on considère, par exemple, la section milieu entre deux charges, il suffira de décomposer chaque résultante de translation suivant le rayon passant par cette section et suivant une perpendiculaire à ce rayon, pour avoir l'effort tranchant F, et la compression normale N qui se produisent en chacune des sections de l'arc.
Moments fléchissants. — Les ordonnées de la surface comprise entre la fibre moyenne de l'arc et le funiculaire des forces extérieures représentent à l'échelle
wH, comme nous le savons, le moment fléchissant en chaque point de l'arc ”

“ Accroissement de flèche produit par une dilatation linéaire indépendante des charges. — Lorsque, par une cause quelconque, telle que le changement- de température, il se produit une dilatation ou contraction de la matière qui compose la pièce, toutes les dimensions tendent à augmenter ou à diminuer dans un rapport constant. ”

“ Dans le cas où la flèche d'un appareil est équilibrée, en tant qu'influence du vent sur son orientation, il est indiqué d'orienter la dite flèche, lors des arrêts de l'appareil, de telle sorte qu'elle se trouve défilée par rapport à la direction des vents violents régnant dans la région où la grue est installée, et cela afin d'atténuer l'importance du moment de renversement. ”